26.1 反比例函数(重难题思维训练)（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）安徽专版

第二十六章 反比例函数 26.1反比例函数 题型1比较函数值的大小 4 (2024·浙江)已知反比例函数)y=的图象上有P(,y),Q(1十4，y)两点，下列结论正确 的是 ( A.当t<-4时，y2<y1<0 B.当-4<t<0时，y2<y1<0 C.当-4<t<0时，0<y1<y2 D.当t>0时，0<y1<y2 拔【变式1】(@0西·安庆港山知中)若反比例两数y=是的图象上有P,),Mu十1， 高 y2),Q(t一1，y3)三点，则下列说法正确的是 () 题 A.当t<-1时，y2<y1<y3<0 B.当t<0且t≠-1时，y2<y1<y3<0 C.当t>1时，0<y1<y2<y3 D.当t>0且t≠1时，0<y1<y2<y3 【变式2】(2025·合肥声阳中学二模)已知(x1,1),(x2y2),(x,y)为双曲线y=2上 的三个点，且x1<x2<x3,则下列判断正确的是 () A.若x1x3>0,则y1y2y3>0 B.若x1x3<0,则y1y2y3>0 C.若x1x2>0,则y1y2y3<0 D.若x1x2<0,则y1y2y3<0 压⊙【变式31【-题多解】(2025·准北三模)已知双曲线y=(k≠0)与直线y=一2z十2 轴 题 相交于点A(x1),B(xy:),其中x1<0<x若点C(红1-1，y)在双曲线y= x (k≠0)上，则y1,y2,y3的大小关系为 () A.y1>y3>y2 B.y1>y2>y3 C.y3>y1>y2 D.y2>y1>y3 【变式4】已知点A(x1,m),B(x,m)是直线y=ax十6与双曲线y=的两个交 点.若x1<x2<0,则m,n的大小关系是 () A.m<n B.m=n C.m>n D.不能确定 【变式5】(2024·宿州萧县模教)已知点A(x1,y1)在反比例函数y=2的图象上，点 B(x2,y2)在一次函数y=kx一k的图象上.当>0时，下列判断正确的是 () A.当x1>x2>2时，y1>y2 B.当x1<x2<2时，y1>y2 C.当y1>y2>k时，x1<x2 D.当y1<y2<k时，x1>x2 第二十六章反比例函数1 题型2利用转化法解决三角形面积问题 圆(2025·合肥五十中东枚期中)如图，A是双曲线y-（(x>0)上的一点，C是0A的中点，过点 C作y轴的垂线，垂足为D,延长DC交双曲线于点B,连接OB,且△ABD的面积是3， 则k= () A.4 B.6 C.8 D.10 例题图 变式1图 拔⊙【变式1】(2025·六安金安区月考)如图，口ABC0的顶点B在双曲线y=8(x>0)上， x 高 题 顶点C在双曲线y=(z<0)上，BC的中点P恰好落在y轴上.已知SaAm=10,则 k的值为 式2](2025·六安金安区期中)如图，点A在反比例函数y三(z>0)的图象 AB⊥x轴于点B,C是x轴负半轴上的一个动点，D是线段AC上的一点，连接BD并 AD 1 延长，交y轴于点E,连接CE若△BCE的面积为18，AC5,则k的值为 变式2图 变式3图 0【变式3】®0灯·黄别无为二美)如图，反比例函数y=票的图象与正比例两数y=的 轴 图象交于A,B两点，点C在反比例函数位于第一象限的图象上，且坐标为(m,9m).若 题 △BOC的面积为6，则的值为 【变式4】如图，矩形ABCD对角线的交点为O,点P在x轴的正半轴上，DC平分 ∠BDP,△PAD的面积为6，.若双曲线y=飞(x>O)经过点D,交PD于点Q,且PQ= DQ,则k的值为 2 数学9年级下册RJ版 题型3数形结合法解方程与不等式有关问题 例阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务. 小丽在学习了方程、不等式和函数后，提出如下问题：如何求不等式x2一x一6<0的 解集？ 通过思考，小丽得到以下3种方法： 方法1：方程x2一x一6=0的两个根分别为x1=一2，x2=3,可得函数y=x2一x一6 的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为一2,3，画出函数图象，观察该图象在x轴下 方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集. 方法2：不等式x2一x一6<0可变形为x2<x十6，则问题转化为研究函数y=x2与 y=x十6的图象关系.画出函数图象，发现两图象的交点的横坐标也是一2,3，观察y= x2的图象在y=x十6的图象下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集. 方法3：当x=0时，不等式一定成立：当x>0时，不等式变为x一1<当<0时，不 等式变为工一1>问题转化为研究函数y一x一1与y一的图象关系… 6 任务： (1)不等式x2一x一6<0的解集为 (2)3种方法都运用了 的数学思想方法（单选）； A.分类讨论 B.转化 C.特殊到一般 D.数形结合 (3)请你根据方法3的思路，画出函数图象的简图，并结合图象作出解答. 拔◇【变式1】(2025·合肥三十八中期中)一元二次方程x2十2x一1=0可以转化为x十2= 高 】,所以其根可视为直线y=工十2与双曲线y=】的交点的横坐标根据此法可推断关 题 于x的方程x3十3x一6=0的实数根x。所在的范围是 () A.0<xo<1 B.1<xo<2 C.2<xo<3 D.3<x0<4 压○【变式2】(2025·芜湖一中自主招生)若平面直角坐标系内的M,N两点满足条件①M, 轴N都在函数y的图象上，②M,N关于原点对称，则称点对(M,N)是函数y的一个 题 “共生点对”（点对(M,N)与(N,M)看作同一个“共生点对”）.已知函数y= 2x2+4x+1(x≤0)， (x>0· 则函数y的“共生点对”有 () 3x A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 第二十六章反比例函数 3 题型4反比例函数与线段长相关问题 圆(2025·六安桌城中学期末节选)如图，一次函数y1=一x十4的图象与反比例函数y2= 二（及≠ 0,x>0)的图象交于A(1,a),B两点. (1)求反比例函数的解析式； (2)过线段AB上的动点P作x轴的垂线，垂足为M,PM交函数y2的图象于点Q,若 品名求点P的坐标 M 拔⊙【变式1】(2025·无期期未)如图，在平面直角坐标系0y内，函数y=7的图象与反 高 题 比例函数y=(k≠0，x>0)图象有公共点A,点A的坐标为(4，Q),AB⊥x轴，垂足 为B. (1)求反比例函数的解析式； (2)C是第一象限内直线OA上的一点，过点C作直线CD∥AB,与反比例函数y= (≠0，E>0)的图象交于点D.CD-AB,求点D的坐标和△AD0的面积 压◇【变式2】(2025·黄山歙县模拟)如图，已知A,B是直线y1=x上 轴 的两点，分别过点A和点B作AC∥BD∥x轴，AC和BD分 题 别交双曲线y=4(x>0)于点C和点D,连接OC,OD (1)直线y1和双曲线y2的交点坐标为 (2)若BD=√2AC,则2OC2一OD2的值为 4数学9年级下册RJ版 【变式3】(2025·马鞍山雨山区二模)如图，A,B两点在反比例函数 y=(k>0,x>0)的图象上，AC⊥y轴于点C,BD1x轴于点 D,连接OA,OB,AB. (1)若AC=BD=1,k>1,AO=AB,则k的值为 D (2)点A的横坐标为a,点B的横坐标为b,且a<b.若OA=OB,OC=3,则OD= 题型5反比例函数与线段和差最值问题 k 例(2025·毫州利辛期中)如图，一次函数y=一x十4的图象与反比例函数y=二(x>0)的图象 交于A(1,a),B两点.在y轴上有一动点P.当PA十PB的值最小时，点P的坐标为 ( A.(4,0) B.(0,4) D.(0, 5 ON 例题图 变式1图 拔⊙【变式1】(2025·六安舒装二中期中)如图，反比例函数y-(x<0)的图象与一次函数 高 1 题 )=2x十5的图象交于A,B两点，一次函数y=一2x的图象经过点A,C为y轴上的 一个动点.当△ABC的周长最小时，点C的坐标为 【变式2】(2025·池州青阳月考节选)如图，反比例函数y=2的图象和一次函数y=ax十b 的图象交于A(1,3)和B(-1.5,n)两点. (1)求，n的值； (2)在x轴上找到一点N,使NA一NB最大，并求出点N的坐标. 个y 3 A(1,3) 2 -7-65-4-3-2- 123x 第二十六章反比例函数5 题型6反比例函数与面积最值问题 圆(2025·安庆外国语期中节选)如图，一次函数y=一x十b的图象与反比例函数y=(x>0) 的图象交于点A(m,3)和点B(3,1). (1)求一次函数的解析式和m的值. (2)P是线段AB上的一点，过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP.若△POD的面积为S, 求S的最小值. 拔。【变式1】(2025·毫州利辛月考)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，口ABCD的 高 题 顶点A(4,)在反比例函数y=(x>0)的图象上，AD∥y轴，对角线AC,BD交于 x轴上的点E处， (1)线段OC的长为 (2)若P为对角线AC上的一个动点，点F在反比例函数y=(x>0)的图象上，点G 在y轴的正半轴上，则□OPFG的面积的最大值为 变式1图 变式2图 压⊙【变式2】(2025·宣城期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4),B是反比例函 轴 题 数y1-(≠0)的图象与一次函数=2x十6的图象的交点在线段AB上取一点 C,过点C作直线l∥x轴，交反比例函数y1的图象于点D,连接OD,OC. (1)k= (2)记△OCD的面积为SAOCD,则SAOCD的最大值为 6数学9年级下册RJ版10.C11.9612.613.414.(1)5(2)2.5 16 16.(1)8(2)y2>y117.略 18.①p-0v>0)(22m19.1略（②号 20.该古塔的高度约为59.2m 21.(1)反比例函数的解析式为y=9 ,一次函数的解 33 析式为y=4x一4 (2)(0,名)或0，-3)(3)-3<x<0或x>4 22.(1)略(2)323.(1)略(2)略(3)49 重难题思维训练 第二十六章反比例函数 26.1反比例函数 题型1比较函数值的大小 【例】A【变式1】A【变式2】D【变式3】A 【变式4】C【变式5】c 题型2利用转化法解决三角形面积问题 【1B【变式】-2【变式219【变式3】 【变式4】4 题型3数形结合法解方程与不等式有关问题 【例】(1)-2<x<3(2)D(3)略 【变式1】B【变式2】c 题型4反比例函数与线段长相关问题 【例】(1)y,=3（x>0)(2)(2,2) 1 【变式1】解：(1)：点A(4,a)在函数y=2x的图 象上， a=4X2=2,…点A的坐标为(4,2). ,点A在反比例函数y= 2(k≠0，x>0)的图象上， k 六2=4，解得=8， “反比例函数的解析式为y=工 8 (2)当，点C在，点A的右侧时，连接AD,OD,如图 所示. B ,AB⊥x轴，点A的坐标为(4,2)，AB=2. ·答多 1 设点C的坐标为(m,2m)(m>0). :CD∥AB,且点D在反比例函数y=8的图象上， x 8 点D的坐标为(m,m】 18 ∴.CD= 2m- m CD= 2AB, 183 m=2X2,解得m=8或m=-2. 2m- m>0,.m=8, .点D的坐标为(8,1)，点C的坐标为(8,4)， .CD=3, 1 1 六SaMO=Saco-SacM=2CD·xn-2CD· 。-)=号×8×8-×3X8-0=6i 1 当点C在点A的左侧时，连接AD,OD,如图所示. 设点C的坐标为(m,2n)(n>0). 8 CD∥AB,且，点D在反比例函数y=二的图象上， x 点D的金标为(，） 81 ..CD=- n 2n. CD-AB, 、8-号”=之X2,解得n=2或n三一8. .n>0,∴.n=2, 点D的坐标为(2,4)，点C的坐标为(2,1)， ∴.CD=3, 1 六SaAo=Saco+Saca=2CD·xn+2CD· (-2)=号×3x2+×8X4-2)=6i 1 综上所述，点D的坐标为(8,1)或(2,4)，△ADO的 面积为6. 【变式2】(1)(2,2)(2)8 【变式3】(1)2+√3(2)3 题型5反比例函数与线段和差最值问题 【1D【变式】(o,) 案13· 【变式2】解：(1)k=3,n=-2 (2)如图，作点B关于x轴的对称点B1,连接AB1交 x轴于点N,连接NB,此时NB=NB1,则NA NB=NA-NB,=AB,的值最大. y A(1,3) B N -764-3-26123 B 由(1)，知B(-1.5,-2),∴.B1(-1.5,2). 设直线AB1的解析式为y=mx十t. 把A(1,3),B1(-1.5,2)代入，得 2 m+t=3, m=5 解得 -1.5m+t=2, 13 t= 5, ∴直线AB1的解析式为y= 3 2 5 令y=0,得x= 号点N的坐标为-兰。)： 题型6反比例函数与面积最值问题 【例】(1)一次函数的解析式是y=一x十4，m=1 e号 【变式】号 7 (2)4 9 【变式2】(1)4(2)4 第二十七章相似 27.2相似三角形 题型7由动点引发的相似三角形存在性问题 【例】c【变式】12(2号普 【变式2】(05：8-40《21或器 (3)5-1 题型8作平行线转化线段间的关系 【例】1)略(2)丽 13 【变式】解：(1)：BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD. BD=CD,∠C=∠CBD,∴∠ABD=∠C. :∠BAD=∠CAB,.△ABD∽△ACB, 'AB-AC,AD-AB8 ..AD_AB AC=63, CD=AC-AD=6-8-10 Γ33 (2)①证明：：∠AEF=∠ABC,∠AEF十∠CEF= ∠AEC=∠ABC+∠BAG,∴.∠CEF=∠BAG. ·答 由(1)可知，∠ABD=∠C,∴.△ABG△ECF. 题型98字型（蝴蝶型）相似模型 5 【例】(1)略(2)略(3)2 【变式】解：(1)证明：，PA·PC=PB·PD, 胎腮 ,∠APB=∠DPC,∴.△ABP∽△DCP, ∴.∠ABP=∠DCP,即∠ABD=∠ACD. 4 (2)①7 ②7 题型10母子型相似模型 【例】(1)略(2)5-1 2 【变式】解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC, .∠ABF=∠BCG=90°. :GH⊥AF,.∠FAB+∠HBA=90. 又：∠HBA+∠HBF=∠HBA+∠GBC=90°， ∠FAB=∠GBC. 在△ABF和△BCG中， (∠ABF=∠BCG, AB=BC, ∠FAB=∠GBC, ∴△ABF≌△BCG(ASA),∴.AF=BG. 又点E与点F关于直线AB对称， ∴.AF=AE,∴.AE=BG. (2)5+1 2 题型11母子型相似模型一共边转化 【例】(1)16(2)5-1 2 【变式】(1)90°(2)5-1 2 【变式2】解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边 形，..∠C=∠A=45°. ,E为BC的中点，DE⊥BC, △DBC是等腰直角三角形， ∴.BE=CE=DE,∠BED=∠CED=90°. :EG⊥EF,∴∠GEF=∠BED=90°， ∴∠DEH=∠BEF. :∠BFD=∠BED=90°， B,D,E,F四点共圆， ∠EDH=∠EBF. 在△BEF和△DEH中， I∠BEF=∠DEH, BE=DE, ∠EBF=∠EDH, 案14.