专题06 反比例函数（期末复习知识清单，6知识&12题型&4易错&5方法清单）九年级数学上学期人教版

该初中数学反比例函数专题知识清单全面覆盖反比例函数核心内容，包含6大知识清单、12类典型题型、4类易错点分析及5类解题方法，构建了从概念定义到图象性质、从几何意义到综合应用的递进式学习支架。 清单以“知识清单+题型突破+方法总结”三维架构呈现知识体系，突出数学思维与应用意识。知识清单系统梳理概念、图象特征等，如k的几何意义归纳矩形和三角形面积类型；题型按基础到综合分级，每种配典例及变式。设计解题步骤模板，如待定系数法“定形式-代坐标-写解析式”三步法，易错点标注“忽略k≠0”提醒，助力学生高效学习，教师可直接用于备课或分层教学，提升课堂实效。

专题06 反比例函数（6知识&12题型&4易错&5方法清单） 【清单01】 反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： ①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0) 【清单02】 反比例函数的图象和性质 【清单03】 反比例函数图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 【清单04】 反比例函数中系数k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|. （2）常见的面积类型： 【清单05】 反比例函数与一次函数的综合 （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）. 【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【清单06】 反比例函数的实际应用 （1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 【题型一】反比例函数的定义 【典例1】（24-25九年级上·河南·期末）下列关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·重庆·模拟预测）若点在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A． B． C． D．6 【变式3】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）若函数的图象经过点，则的值为 ． 【题型二】反比例函数系数K的几何意义 【典例2】（24-25九年级上·河南安阳·期末）双曲线，在第一象限的图象如图所示，其中，的解析式分别为，，过图象上的任意一点，作轴的平行线交的图象于点，交轴于点，连接，．则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，点为反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点与点关于轴对称，连接．若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则 ． 【题型三】反比例函数的图象 【典例3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期末）函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【变式2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·山东济南·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（    ） A． B． C． D． 【题型四】 反比例函数图象的对称性 【典例4】（23-24九年级上·广东·期末）如图，已知反比例函数与正比例函数的图象交于点，则点B的坐标为 ． 【变式1】（23-24九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【变式2】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，正比例函数和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（2，1），则点B的坐标是 ． 【变式3】（24-25八年级下·浙江·期末）若反比例函数的图象经过点，则图象必经过的点是（    ） A． B． C． D． 【题型五】判断反比例函数图象所在象限 【典例5】（24-25九年级上·甘肃·期末）反比例函数的图象不经过（　　） A．第二、四象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第一、二象限 【变式1】（22-23九年级上·广西梧州·期末）函数的图象分布在（   ） A．第一、四象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 【题型六】已知反比例函数的增减性求参数 【典例6】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）已知反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，当时，，则k的取值范围是 ． 【变式3】（24-25九年级上·安徽六安·期末）若双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 【题型七】比较反比例函数值或自变量的大小 【典例7】（22-23九年级上·山东济南·期末）若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）若点和点在反比例函数的图象上，当时，．则的取值范围是 ． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【变式3】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）函数（k为常数）的图象经过点、、，若，则、、的大小关系是 ． 【题型八】反比例函数的性质综合 【典例8】（24-25八年级下·广东惠州·期末）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象过第一、三象限 C．若，则 D．点、是图象上的两点，，则 【变式1】（24-25九年级上·云南保山·期末）对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　） A．函数图象位于第一、三象限 B．若，，是图象上三个点，则 C．函数值y随x的增大而增大 D．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值 【变式2】（2025·广东佛山·三模）点在函数图象上，下列说法正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．图象关于轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【变式3】（24-25九年级上·广西梧州·期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．随增大而增大 B．随增大而减小 C．函数图象位于第一，二象限 D．函数图象位于第二，四象限 【题型九】待定系数法求反比例函数解析式 【典例9】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于，两点． (1)求的值； (2)请根据函数图象，直接写出当时，的取值范围． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为B，直线与反比例函数的图象交于点．求一次函数和反比例函数的表达式． 【变式2】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）已知点和点都是反比例函数的图象上的点，则 ． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点．求点的坐标． 【题型十】 反比例函数的实际应用 【典例10】（24-25九年级上·河南三门峡·期末）学校为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升 ，待加热到 ，饮水机 自动停止加热，水温开始下降，水温 与通电时间 x（分）的关系如图所示（图 中的曲线是双曲线的一部分），解答下列问题： (1)当 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)求图中 a 值 (3)一天早上 ，王老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在上课前能 喝到不超过的温开水，应在什么时间段内接水？ 【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)当气球的体积为时，气球内气体的气压是多少？ 【变式2】（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为（单位：N），动力臂长为（单位：m）．（杠杆平衡时，动力动力臂=阻力阻力臂，撬棍本身所受的重力忽略不计） (1)求关于的函数表达式． (2)小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【变式3】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）我国嫦娥六号探测器与地球之间的通信是通过无线电波实现的，电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化，已知某段电磁波在宇宙中，波长入与频率f的部分对应值如下表： 频率f（） 5 10 15 20 25 30 波长（m） 60 30 20 15 12 10 (1)选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式： (2)嫦娥六号探测器与地球之间的通信要求电磁波的频率f大于，求它的波长的取值范围． 【题型十一】反比例函数与一次函数的交点问题 【典例11】（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A． B． C．或 D．或 【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【变式3】（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【题型十二】反比例函数与一次函数的综合 【典例12】（24-25九年级上·广东清远·期末）已知：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，交点A、B的横坐标分别为和2． (1)求一次函数的表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)如图，连接、，求的面积． 【变式1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点P在轴上，连接，若，求点P的坐标； (3)根据图象，直接写出满足的的取值范围． 【变式2】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）一次函数与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，图象与直线在第三象限相交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点的横坐标为， ①求的面积； ②请结合函数图象，直接写出不等式的解集； 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)连接，，求的面积． 【题型01 ：求比例系数k的符号/值】 【典例1】（24-25八年级·全国·单元测试）若函数是反比例函数，则 ． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）已知函数是反比例函数，则 ． 【题型02 ：k的几何意义应用】 【典例2】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为 ． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为 ． 【题型03 ：增减性判断】 【典例3】（24-25九年级上·吉林·期末）已知反比例函数，若当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【变式1】（24-25八年级下·河南南阳·期末）反比例函数图象经过，且，那么m的取值范围是 ． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【题型04 ：与一次函数综合题】 【典例4】（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图象于点，且，连接．求四边形的面积． 【变式1】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点． (1)求m、k的值． (2)C是反比例函数图象上一点，连接，当时，求直线的解析式及的面积． 【变式2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，． (1)分别求出两个函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． (3)连接，，求的面积； (4)点是反比例函数上一点，轴交直线于，且请直接写出点的坐标． 【题型一】题型 1：求反比例函数解析式（基础必考题） 解题步骤(三步法) 1.定形式:根据题意设解析式为y =(k ≠ 0) 2.代坐标:将已知点代入解析式，得k (注意坐标符号，避免漏负号); 3.写解析式:将k的值代入，写出最终表达式(需验证k≠0，若k=0则不是反比例函数)。 题型 2：k的几何意义应用 1.判图形:识别题目中的图形(矩形、直角三角形、梯形等)，确认是否符合几何意义的适用条件(直角顶点在坐标轴上) 2.列关系:根据图形面积与k的核心结论，列出等式(如S△= ); 3.求|k:解等式得|k|的值，再结合双曲线所在象限判断k的正负(第一、三象限k >0，第二、四象限k < 0 4.验结果:将k代入解析式，验证图形面积是否符合题意。 题型 3：增减性应用 1.判k号:由解析式或图象确定k的正负, 2.定象限:判断所求点所在的象限(根据z的符号或图象位置): 3.比大小/判增减: （1）同一象限:用增减性直接比较 （2）不同象限:直接比正负 题型 4：与一次函数综合题 解题步骤(通用五步法) 1.求解析式:先根据已知条件求一次函数和反比例函数的解析式(若有未知参数): 2.联方程:联立两个函数解析式，消去y得关于x的方程); 3.求交点:解一元二次方程(注意x ≠ 0)，得交点横坐标，再代入任一函数求纵坐标; 4.判个数:通过判别式△判断交点个数(Δ>0-2个，=0-1个，△<0-0个)，同时注意k ≠ 0; 5.解不等式/求面积: 不等式:结合图象，按交点横坐标划分区间，判断每个区间内哪个函数图象在上方面积:用割补法转化为规则图形(如三角形面积=底x高/2，底为两点水平距离，高为纵坐标差)。 题型 5：实际应用问题 解题步骤(四步法) 1.设变量:设两个相关变量x(自变量)、y(因变量)，明确其实际意义 2.列解析式:根据题意得y =:(k为定值)，再根据已知条件求k(代入一组实际数据); 3.解问题:根据题目要求求变量的值(如已知必求y，或已知y求必) 4.验实际:验证结果是否符合实际意义(如长度、时间、速度为正数，故x > 0、y> 0) 学科网（北京）股份有限公5 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 反比例函数（6知识&12题型&4易错&5方法清单） 【清单01】 反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： ①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0) 【清单02】 反比例函数的图象和性质 【清单03】 反比例函数图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 【清单04】 反比例函数中系数k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|. （2）常见的面积类型： 【清单05】 反比例函数与一次函数的综合 （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）. 【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【清单06】 反比例函数的实际应用 （1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 【题型一】反比例函数的定义 【典例1】（24-25九年级上·河南·期末）下列关系式中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据形如的函数是反比例函数进行判断即可． 【详解】解：选项B符合反比例函数的定义，A，C，D均不符合定义， 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键． 根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A、是反比例函数，故该选项不符合题意； B、是反比例函数，故该选项不符合题意； C、不是反比例函数，故该选项符合题意； D、是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2025·重庆·模拟预测）若点在反比例函数的图象上，则的值是（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】将点代入反比例函数解析式，直接计算m的值． 本题考查了图象过点求坐标问题，熟练掌握图象过点的意义是解题的关键． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 所以将代入函数解析式，得： 因此，， 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）若函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把代入得到结论． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型二】反比例函数系数K的几何意义 【典例2】（24-25九年级上·河南安阳·期末）双曲线，在第一象限的图象如图所示，其中，的解析式分别为，，过图象上的任意一点，作轴的平行线交的图象于点，交轴于点，连接，．则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用到的知识点是三角形的面积与反比例函数系数的关系，由点B在的图象上可得出，由点A在的图象上可得出，再根据即可求出答案． 【详解】解：∵点B在的图象上， ∴， ∵点A在的图象上， ∴， ∴， 故选B 【变式1】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 【变式2】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，点为反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点与点关于轴对称，连接．若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，连接，可得，进而由轴对称可得，即得，再根据反比例函数的图象和性质即可求解，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故选：． 【变式3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象上任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．理解这个知识点后，可以构造出这个矩形，求出这个矩形的面积就可知的值，再根据图象所在象限即可求出k．过P点作轴于E，轴于F，根据矩形的性质得，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解． 【详解】解：如图所示，过P点作轴于E，轴于F， ∵四边形为矩形，面积为6，P为对角线的交点， ∴， ∴， 又∵图象的一支在第一象限， ∴， ∴． 故答案为． 【题型三】反比例函数的图象 【典例3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数的图象、反比例函数图象，解题关键是读懂图象信息． 根据一次函数解析式的特征判断出一次函数与轴交于，再根据两个函数中的值相同即可判断正确答案． 【详解】解：一次函数与轴交于， 而选项、选项中一次函数均与轴交于负半轴， 选项、选项错误； 又两个函数中的值相同， 时，一次函数经过一、二、三象限时，反比例函数经过一、三象限； 时，一次函数经过一、二、四象限时，反比例函数经过二、四象限， 选项错误，选项正确． 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期末）函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，函数图象平移规律，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键． 根据反比例函数的判断函数的图象经过的象限和增减性，再根据图象平移规律判断即可求解． 【详解】解： ， 函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大， 函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，分当时，当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意， 故选：C． 【变式3】（23-24九年级上·山东济南·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象的知识，关键是掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质．先根据二次函数的图象确定系数，，，然后判断出一次函数和反比例函数图象所在的象限逐一判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴， ∴， ∴直线过二、三、四象限，反比例函数的图象位于一、三象限， 故选A． 【题型四】 反比例函数图象的对称性 【典例4】（23-24九年级上·广东·期末）如图，已知反比例函数与正比例函数的图象交于点，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的性质，解题的关键是利用反比例函数求出点坐标，再根据两函数图象的对称性确定点坐标． 先将点的横坐标代入反比例函数求出，得到点坐标，再依据反比例函数与正比例函数图象的对称性（关于原点对称）求出点坐标． 【详解】解：∵， ∴， ∵A、两点关于原点对称， ∴， 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，知点A与B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴B点的坐标为． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，正比例函数和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（2，1），则点B的坐标是 ． 【答案】（-2，-1） 【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵A的坐标为（2，1）， ∴B的坐标为（﹣2，﹣1）． 故答案为：（﹣2，﹣1）． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数的对称性． 【变式3】（24-25八年级下·浙江·期末）若反比例函数的图象经过点，则图象必经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征，先求出比例系数k，再验证各选项是否满足函数解析式． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式 ，得：， ∴。 因此，函数解析式为 ， A、代入 ，得 ，与点的纵坐标一致，符合条件； B、代入 ，得 ，与点的纵坐标不一致，不符合； C、代入 ，得 ，与点的纵坐标不一致，不符合； D、代入 ，得 ，与点的纵坐标6不一致，不符合． 故选：A． 【题型五】判断反比例函数图象所在象限 【典例5】（24-25九年级上·甘肃·期末）反比例函数的图象不经过（　　） A．第二、四象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第一、二象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限． 根据反比例函数的图象与性质作答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴反比例函数的图象不经过第二、四象限， 故选：A． 【变式1】（22-23九年级上·广西梧州·期末）函数的图象分布在（   ） A．第一、四象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 根据平方非负性得到，由反比例函数图象与性质即可确定图象所在的象限． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数的图象分布在第一、三象限， 故选：C． 【题型六】已知反比例函数的增减性求参数 【典例6】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查反比例函数的图象性质．解题关键是明确“反比例函数，当时图象在第二、四象限”；易错点是混淆k的正负所对应的象限． 首先反比例函数中，；其次由图象在第二、四象限，得，即；最后解不等式得． 【详解】∵反比例函数 的图象在第二、四象限， ∴ ， 解得 ， 故选：C． 【变式1】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）已知反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】3（满足即可） 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性问题，在反比例函数中，当时，反比例函数的图象分布在第一和第三象限，在每一个象限内，随的增大而减小，当时，反比例函数的图象分布在第二和第四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小， ∴， ∴， ∴符合题意的k的值可以为3， 故答案为：3（满足即可）． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，当时，，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得，结合得出反比例函数图象分布在第一、三象限，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在反比例函数 (k是常数)的图象上，且， ∴， ∵， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·安徽六安·期末）若双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性得到，进行求解即可． 【详解】解：∵双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小， ∴， ∴； 故选：C． 【题型七】比较反比例函数值或自变量的大小 【典例7】（22-23九年级上·山东济南·期末）若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ， ， ， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）若点和点在反比例函数的图象上，当时，．则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， ∴反比例函数图象在第二，四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数的增减性是解题的关键． 先判断出反比例函数图象在第一、三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，随的增大而减小，即可解答． 【详解】， 反比例函数的图象上位于第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小， ， ， ， 综上，． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）函数（k为常数）的图象经过点、、，若，则、、的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据、、三点横坐标的特点判断出三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答． 【详解】解：∵反比例函数（为常数）中，则， ∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内随的增大而增大， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型八】反比例函数的性质综合 【典例8】（24-25八年级下·广东惠州·期末）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　） A．图象必经过点 B．图象过第一、三象限 C．若，则 D．点、是图象上的两点，，则 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数（为常数，）的图象与性质，包括图象经过的点、所在象限、函数的单调性等．根据反比例函数性质逐个选项分析即可． 【详解】A．当时，，所以图象必经过点，正确，故本选项不符合题意； B．，，所以图象过第一、三象限，正确，故本选项不符合题意； C．当时，，因为反比例函数图象在每一个象限内随的增大而减小，所以若，则，错误，故本选项符合题意； D．，，所以图象过第一、三象限，即、同号，所以，则，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·云南保山·期末）对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　） A．函数图象位于第一、三象限 B．若，，是图象上三个点，则 C．函数值y随x的增大而增大 D．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的性质是解决本题的关键． 根据可判断该函数所在象限，由此可判断A选项；根据反比例函数的增减性可判断BC选项，设出点P坐标，由三角形面积公式即可求解面积为定值． 【详解】解：A选项，∵， ∴可知函数图象位于第一、三象限，故该选项正确； C选项，∵该函数图象位于第一、三象限， ∴在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，故该选项错误； B选项，∵该函数在每个象限内，函数值y随x的增大而减小， 又∵，则， 又∵，则， ∴，故该选项正确； D选项，设点P的坐标为函数， ∴，是定值，故该选项正确． 故选：C ． 【变式2】（2025·广东佛山·三模）点在函数图象上，下列说法正确的是（    ） A．随的增大而增大 B．图象关于轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象和性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A．∵函数的， ∴在每一个象限内，随的增大而增大，故该选项错误； B．函数的图象是关于原点对称的双曲线，故该选项错误； C．∵点在函数图象上， ∴， ∵， ∴点和点都在图象上，故该选项正确； D．∵函数在每一个象限内，随的增大而增大， ∴当时，，故该选项错误． 故选C． 【变式3】（24-25九年级上·广西梧州·期末）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．随增大而增大 B．随增大而减小 C．函数图象位于第一，二象限 D．函数图象位于第二，四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据函数解析式的系数小于零，即可判断选项． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象经过二、四象限，在每一个象限中y随着x的增大而增大， ∴A、B、C错误，D正确，故D选项符合题意； 故选：D． 【题型九】待定系数法求反比例函数解析式 【典例9】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于，两点． (1)求的值； (2)请根据函数图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，或． 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式，不等式与函数的关系等知识，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． （）由一次函数的图象交于，则，所以，然后代入即可求解． （）直接根据图象可得答案； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象交于， ∴， ∴， ∵反比例函数图象过， ∴； （2）解：由（）得，， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得：或， ∴， ∴当时，或． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为B，直线与反比例函数的图象交于点．求一次函数和反比例函数的表达式． 【答案】一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．代入到，得到，得出一次函数的表达式，进而得到点的坐标，再代入到即可得出反比例函数的表达式． 【详解】解：代入到，得， 解得， ∴一次函数的表达式为， 代入 到，得， ∴， 代入到，得， ∴反比例函数的表达式为． 【变式2】（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）已知点和点都是反比例函数的图象上的点，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解反比例函数图象上点的横纵坐标与解析式里x和y的值一一对应的关系；分别把两个点代入解析式中即可得到答案； 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴， 故答案为：0． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点．求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，先求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后联立函数解析式解答即可，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴反比例函数， 由，解得或， ∴． 【题型十】 反比例函数的实际应用 【典例10】（24-25九年级上·河南三门峡·期末）学校为每个班级配备了一种可加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升 ，待加热到 ，饮水机 自动停止加热，水温开始下降，水温 与通电时间 x（分）的关系如图所示（图 中的曲线是双曲线的一部分），解答下列问题： (1)当 时，求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)求图中 a 值 (3)一天早上 ，王老师将放满水后的饮水机电源打开，若他想在上课前能 喝到不超过的温开水，应在什么时间段内接水？ 【答案】(1) (2) (3)他应在时间段内接水 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用； （1）由函数图象可设函数解析式，再将图中坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得与的关系式； （2）将代入，即可得到的值； （3）要想喝到不超过的开水，加20分钟即可接水，一直到； 【详解】（1）解：当时，设与的关系式为， 将，代入得：， 解得：， ∴当时，与的关系式为， （2）解：当时，设与的函数关系式为：， 将代入，得： 解得：， ∴当时，与的函数关系式为：； 将代入，得：； （3）解：依题意，得：， 解得：． ∵， ∴， ∴他应在时间段内接水． 【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)当气球的体积为时，气球内气体的气压是多少？ 【答案】(1) (2)当气球的体积为时，气球内气体的气压是 【分析】此题考查实际问题与反比例函数，解题关键是将函数解析式解出来后直接代入点的坐标进行求解． （1）设p与V的函数关系式为，把代入，然后即可求解； （2）把代入，然后即可求解； 【详解】（1）解：设p与V的函数关系式为， 由题可得：，把代入， 则， 解得， 函数关系式为． （2）解：当时，把代入， ． 当气球的体积为时，气球内气体的气压是； 【变式2】（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为（单位：N），动力臂长为（单位：m）．（杠杆平衡时，动力动力臂=阻力阻力臂，撬棍本身所受的重力忽略不计） (1)求关于的函数表达式． (2)小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的关系是解题关键． （1）根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； （2）根据以及（1）中所求解析式，可得出y的范围，进而与300进行比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：，则， 所以关于的函数表达式为； （2）解：不能撬动，理由如下： ， ， ， ， 不能撬动这块石头． 【变式3】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）我国嫦娥六号探测器与地球之间的通信是通过无线电波实现的，电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化，已知某段电磁波在宇宙中，波长入与频率f的部分对应值如下表： 频率f（） 5 10 15 20 25 30 波长（m） 60 30 20 15 12 10 (1)选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式： (2)嫦娥六号探测器与地球之间的通信要求电磁波的频率f大于，求它的波长的取值范围． 【答案】(1) (2)波长取值范围为 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解表格得到与成反比例函数关系是解题的关键． （1）观察表格可得是一个定值，即与成反比例函数关系，据此设出解析式利用待定系数法求解即可； （2）解方程，由反比例函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由表格可知，， ； （2）解：∵， 当电磁波的频率为时， ∴， 由反比例函数的性质知，当电磁波的频率大于时，， 答：波长取值范围为． 【题型十一】反比例函数与一次函数的交点问题 【典例11】（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键． 根据一次函数图象在反比例函数图象下方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象下方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，函数的图象等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．把A的坐标代入反比例函数，求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式求出B的坐标，根据A、B的横坐标结合图象即可得出答案． 【详解】解：把代入得：， 即反比例函数的解析式是， 把代入得：，解得：， 即B的坐标是， 所以当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，先利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式，进而求出点坐标，再结合图象解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：把代入得，， ∴， ∴一次函数为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数为， 由，解得或， ∴， 由图象可得，当或时，， 故选：． 【变式3】（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， ∴当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是：或． 故选：D． 【题型十二】反比例函数与一次函数的综合 【典例12】（24-25九年级上·广东清远·期末）已知：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，交点A、B的横坐标分别为和2． (1)求一次函数的表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)如图，连接、，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用； （1）先求解，，再利用待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）由，，结合函数图象可得答案； （3）如图，记与轴的交点为，求解，结合，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，交点A、B的横坐标分别为和2， ∴，， ∴，； ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式是． （2）解：∵，； ∴当时，x的取值范围为或； （3）解：如图，记与轴的交点为， ∵一次函数的解析式是， 当，则， 解得：， ∴， ∴ ． 【变式1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点P在轴上，连接，若，求点P的坐标； (3)根据图象，直接写出满足的的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法，能用图象解不等式是解题的关键． （1）将代入反比例函数求出，再求出的坐标，将将、代入即可求解； （2）由 得，即可求解； （3）由在上方的图象对应的函数值较大进行判断，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：， 反比例函数的表达式为， ， 解得：， ， 将、代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图， ， ， ， 解得：， 对于一次函数中，当时， ， 解得：， ， ， ， 解得：或， 的坐标为或； （3）解：由图象得 或． 【变式2】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）一次函数与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，图象与直线在第三象限相交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点的横坐标为， ①求的面积； ②请结合函数图象，直接写出不等式的解集； 【答案】(1) (2)①8；② 或 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用， （1）将代入一次函数可得的值为3，将代入反比例函数 可得的值，从而可得答案； （2）①先求解，再结合三角形的面积公式计算即可； ②根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：将代入一次函数中，得 ， ， ， 将代入反比例函数得： ， ， 反比例函数解析式为 ； （2）解：① 在中，当时， ， ， ∴， ； ②∵， ∴， 由图象可得：或． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)3 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数中的三角形面积问题，根据数形结合思想求解是解题的关键． （1）根据待定系数法求得反比例函数，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数； （2）根据，只需根据一次函数求得的长度，即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴， ∴，． ∴，， 则， 解得：， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：∵一次函数的图象与x轴交于点C， 令，则，解得：， ∴点C的坐标为， ∴． 【题型01 ：求比例系数k的符号/值】 【典例1】（24-25八年级·全国·单元测试）若函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）已知函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可求解，正确理解反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型02 ：k的几何意义应用】 【典例2】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．先得出，根据反比例函数k值的几何意义得出，故，进行解答即可． 【详解】解：如图，连接，，记交y轴于点C， ∵轴， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴ 故答案为： 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义、平行四边形的面积．连接，过点和点分别作轴的垂线段和，证明，则面积面积； 易知面积，面积，由此可得 面积面积面积面积，解即可，注意． 【详解】解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和， ∴， 又∵， ∴ ， ∴面积面积， ∵点在双曲线上， ∴面积， ∵点在双曲线上，且， ∴面积， ∵四边形是平行四边形，， ∴面积面积面积面积， 解得(正数舍去)， 故答案为：． 【题型03 ：增减性判断】 【典例3】（24-25九年级上·吉林·期末）已知反比例函数，若当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，即反比例函数在不同象限内的增减性与比例系数k的关系．解题的关键是牢记当时，反比例函数在每个象限内y随x的增大而增大这一性质，并结合题目条件确定k的取值范围． 熟知反比例函数的增减性与k的关系．根据题目中时y随x增大而增大的条件，匹配对应的k的取值． 【详解】对于反比例函数（k为常数，），其性质为： 当 0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，在每个象限内，y随x的增大而增大． 题目中给出当时，y随x的增大而增大，而属于第二象限，符合时反比例函数在对应象限的增减性，所以k的取值范围是． 【变式1】（24-25八年级下·河南南阳·期末）反比例函数图象经过，且，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的性质确定函数图象所在的象限． 根据点、的坐标以及，判断出反比例函数图象所在的象限，进而得出关于的不等式． 【详解】∵在同一反比例函数图象上， ∴点A，B分别在图象的两个分支上， ，且， ∴反比例函数图象只能分布在第二四象限， ， ． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的增减性，先由函数图象经过点求出的值，结合反比例函数的增减性可求出的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∴在每个象限内随的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，． 故答案为：． 【题型04 ：与一次函数综合题】 【典例4】（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图象于点，且，连接．求四边形的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2) 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质、求一次函数和反比例函数解析式、平行四边形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质、数形结合是解题的关键． （1）把代入求解，得出反比例函数的表达式，求出，把、代入求解，得出一次函数的表达即可； （2）连接，交轴于点，根据一次函数的表达式，求出，得出，根据，，证明四边形是平行四边形，得出，根据点在轴负半轴上，结合图形与坐标，，，得出点的纵坐标，的边上的高，的边上的高，求出点的纵坐标，代入求出，求出点的横坐标，得出，根据求出，根据计算，得出，根据四边形的面积，计算求出面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点， ∴把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， ∴把代入得：， 解得：， ∴， 把、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图，连接，交轴于点， ∵一次函数的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点在轴负半轴上，由（1）得：，， ∴点的纵坐标，的边上的高，的边上的高， ∴点的纵坐标， ∵点在反比例函数上， ∴当时，， 解得：， ∴， ∴点的横坐标， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【变式1】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点． (1)求m、k的值． (2)C是反比例函数图象上一点，连接，当时，求直线的解析式及的面积． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）把代入，即可求出m的值，得出点B的坐标，再把点B的坐标代入，即可求出k的值； （2）先求出，则，过点C作轴于点D，得出，设，则，求出，则，用待定系数法求出直线的解析式为，进而得出，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， 综上：，； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴，则， 过点C作轴于点D， ∵，轴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由（1）可得： 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令直线与x轴相交于点E， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴ ． 【变式2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，． (1)分别求出两个函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． (3)连接，，求的面积； (4)点是反比例函数上一点，轴交直线于，且请直接写出点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)； (3)； (4)或． 【分析】（1）把代入求出的值，即可得出反比例函数的解析式为，把代入，求出点的坐标，最后把，代入，求出和的值，即可得出一次函数的解析式为； （2）根据数形相结合即可得解； （3）过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，易得，则，进而推出，根据梯形面积公式，即可求解； （4）设点，则点的纵坐标为，进而得出点横坐标，根据，得出，求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：即是一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，对应自变量的取值， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．， ∴时，； （3）解：过点作轴于点，交于点，过点作轴于点， ∵点和点在反比例函数图象上， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． （4）解：设点， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 把代入得：， 解得：， ∵， ∴， ①当时，整理得：， 该方程无解， ②当时，整理得：， 解得：， ∴或． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，解一元二次方程，利用函数求不等式的值，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及反比例函数值的几何意义，是解题的关键． 【题型一】题型 1：求反比例函数解析式（基础必考题） 解题步骤(三步法) 1.定形式:根据题意设解析式为y =(k ≠ 0) 2.代坐标:将已知点代入解析式，得k (注意坐标符号，避免漏负号); 3.写解析式:将k的值代入，写出最终表达式(需验证k≠0，若k=0则不是反比例函数)。 题型 2：k的几何意义应用 1.判图形:识别题目中的图形(矩形、直角三角形、梯形等)，确认是否符合几何意义的适用条件(直角顶点在坐标轴上) 2.列关系:根据图形面积与k的核心结论，列出等式(如S△= ); 3.求|k:解等式得|k|的值，再结合双曲线所在象限判断k的正负(第一、三象限k >0，第二、四象限k < 0 4.验结果:将k代入解析式，验证图形面积是否符合题意。 题型 3：增减性应用 1.判k号:由解析式或图象确定k的正负, 2.定象限:判断所求点所在的象限(根据z的符号或图象位置): 3.比大小/判增减: （1）同一象限:用增减性直接比较 （2）不同象限:直接比正负 题型 4：与一次函数综合题 解题步骤(通用五步法) 1.求解析式:先根据已知条件求一次函数和反比例函数的解析式(若有未知参数): 2.联方程:联立两个函数解析式，消去y得关于x的方程); 3.求交点:解一元二次方程(注意x ≠ 0)，得交点横坐标，再代入任一函数求纵坐标; 4.判个数:通过判别式△判断交点个数(Δ>0-2个，=0-1个，△<0-0个)，同时注意k ≠ 0; 5.解不等式/求面积: 不等式:结合图象，按交点横坐标划分区间，判断每个区间内哪个函数图象在上方面积:用割补法转化为规则图形(如三角形面积=底x高/2，底为两点水平距离，高为纵坐标差)。 题型 5：实际应用问题 解题步骤(四步法) 1.设变量:设两个相关变量x(自变量)、y(因变量)，明确其实际意义 2.列解析式:根据题意得y =:(k为定值)，再根据已知条件求k(代入一组实际数据); 3.解问题:根据题目要求求变量的值(如已知必求y，或已知y求必) 4.验实际:验证结果是否符合实际意义(如长度、时间、速度为正数，故x > 0、y> 0) 学科网（北京）股份有限公2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $