方法归纳专题 5 圆中常见辅助线的归类（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（沪科版）安徽专版

该初中数学课件聚焦九年级下册“圆中常见辅助线的归类”，涵盖利用轴对称性、构造圆心角圆周角、直径构造直角三角形等五种类型，通过典型例题导入，搭建从基础知识点到辅助线添加的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点是分类归纳辅助线方法，结合中考真题与模拟题，以几何直观（数学眼光）呈现图形关系，通过逻辑推理（数学思维）分析解题思路，用规范步骤（数学语言）表达过程。例如类型3利用直径构造直角三角形，培养推理与应用意识，助力学生掌握解题技巧，教师可高效开展专题教学。

初中数学 九年级下册·（HK版）·安徽专版 第24章　圆 方法归纳专题 5　圆中常见辅助线的归类 类型1　利用圆的轴对称性添加弦心距或半径 1. （2025·阜阳期末）如图，AB为☉O的一条弦，CD垂直 平分AB交☉O于点C. 若CD＝1，AB＝4，则☉O的半径 为（　B　） A. 2 B. C. 3 D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上一页 下一页 2. （2025·淮南一模）已知☉O的半径为5，AB是☉O的弦，P 是弦AB的延长线上的一点.若PA＝8，PB＝2，则圆心O到弦 AB的距离为（　D　） A. B. 6 C. D. 4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上一页 下一页 3. 如图，在半径为5的☉O中，AB，CD是互相垂直的两条 弦，垂足为P. 若AB＝4 ，CD＝8，则OP的长是 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上一页 下一页 4. 如图，在半径为3的☉O中，AB是直径，AC是弦，D是　 　的中点，AC与BD交于点E. 若E是BD的中点，则AC的 长是 ⁠. 4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上一页 下一页 类型2　构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角 5. 如图，将一个含30°角的直角三角形的斜 边和量角器的直径所在的边重合放置，其中 点D所在位置在量角器外侧的读数为100°， ∠ACB＝90°，连接DC交AB于点E，则 ∠BEC＝（　A　） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 第5题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上一页 下一页 6. （2021·安徽）如图，△ABC内接于半径为1的☉O. 若∠A ＝60°，∠B＝75°，则AB＝ ⁠. 第6题图 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上一页 下一页 7. （2024·马鞍山七中一模）如图，在☉O中，AB，AC 为弦，CD为直径，AB⊥CD于点E，BF⊥AC于点F，BF与 CD相交于点G. （1）求证：ED＝EG； 解：（1）证明：如图，连接BD. ∵AB⊥CD于点E，BF⊥AC于点F， ∴∠CFG＝∠GEB＝90°. 又∵∠CGF＝∠BGE，∴∠C＝∠GBE. ∵∠C＝∠DBE，∴∠GBE＝∠DBE. ∵AB⊥CD，∴∠GEB＝∠DEB＝90°. ∵BE＝BE，∴△BGE≌△BDE（ASA），∴ED＝EG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上一页 下一页 解：（2）如图，连接OA. 设OA＝r，则DG＝r＋2， ∴ED＝EG＝ ，∴OE＝ . ∵AB⊥CD于点E，AB＝4 ， ∴AE＝ AB＝2 . 在Rt△OEA中，OE2＋AE2＝OA2， 即（ ）2＋20＝r2，解得r＝ 或r＝－6（舍去）， 即☉O的半径为 . （2）若AB＝4 ，OG＝2，求☉O的半径. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上一页 下一页 类型3　利用直径构造直角三角形 8. （2025·蚌埠三模）如图，AB是☉O的直径，弦AC，AD在AB的两侧，连接CD. 若∠BAC＝α，则∠ADC的度数为（　A　） A. 90°－α B. 180°－α C. 90°－ α D. 180°－2α A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上一页 下一页 9. 如图，☉O是△ABC的外接圆.若☉O 的半径为2， tan A＝ ，则弦BC的长为（　B　） A. B. C. 3 D. 5 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上一页 下一页 10. （2025·六安金安区一模）如图，AB是半圆O的直径，C 是 上一点，D是 的中点，连接AC，AD，OD. （1）求证：AC∥OD； 解：（1）证明：∵D是 的中点，∴ ＝ ， ∴∠CAD＝∠BAD. ∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA， ∴∠CAD＝∠ODA，∴AC∥OD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上一页 下一页 （2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长. 解：（2）如图，连接BC，BD，BC交OD于点M. ∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ＝6. ∵ ＝ ，OD是☉O的半径， ∴OD⊥BC，∴BM＝ BC＝3. 在Rt△OBM中，OM＝ ＝ ＝4，∴DM＝OD－OM＝5－4＝1. 在Rt△DBM中，BD2＝BM2＋DM2＝32＋12＝10. 在Rt△ABD中，AD＝ ＝ ＝3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上一页 下一页 类型4　利用切线性质连接圆心和切点构造垂直 11. （2025·天津）已知AB与☉O相切于点C，OA＝OB， ∠AOB＝80°，OB与☉O相交于点D，E为☉O上一点，连接 CE，DE. （1）如图1，求∠CED的度数. 解：如图1，连接OC. ∵AB与☉O相切于点C，∴OC⊥AB. ∵OA＝OB，∠AOB＝80°， ∴∠COB＝∠COA＝ ∠AOB＝40°， ∴∠CED＝ ∠COB＝20°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上一页 下一页 （2）如图2，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长 BO与☉O相交于点G，连接EG. 若☉O的半径为3，求ED和EG的长. 解：如图2，连接OC. ∵DG是☉O的直径，☉O的半径为3， ∴∠DEG＝90°，DG＝6. ∵EC∥OA，∴∠EFG＝∠AOB＝80°. 由（1）得，∠CED＝20°， ∴∠EDG＝∠EFG－∠CED＝60°， ∴∠G＝∠DEG－∠EDG＝30°，∴ED＝ DG＝3， ∴EG＝ ＝ ＝3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上一页 下一页 类型5　证明切线时，知公共点连半径，未知公共点作垂线段 12. （2025·合肥包河区期末）如图，AB为☉O的直径，点C在 ☉O上，∠ACB的平分线CD交☉O于点D，过点D作 DE∥AB，交CB的延长线于点E，连接AD，BD. （1）求证：DE是☉O的切线； 解：（1）证明：如图，连接OD. ∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠AOD＝∠BOD. ∵AB为☉O的直径，∴∠AOD＝∠BOD＝ ×180°＝90°， ∴OD⊥AB. ∵DE∥AB，∴OD⊥DE. ∵OD为☉O的半径，∴DE是☉O的切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上一页 下一页 解：（2）∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°. ∵∠BAC＝30°，BC＝2 ，∴AB＝2BC＝4 . ∵∠ACB的平分线CD交☉O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD，∴ ＝ ，∴AD＝BD＝ AB＝4. 如图，过点B作BF⊥CD于点F. ∵∠CDB＝∠CAB＝30°，∴BF＝ BD＝2， ∴DF＝ ＝2 . ∵∠BFC＝90°，∠BCF＝ ∠BOD＝45°， ∴∠FBC＝45°，∴CF＝BF＝2， ∴CD＝DF＋CF＝2 ＋2. （2）若∠BAC＝30°，BC＝2 ，求CD的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 上一页 下一页 谢谢观看 $