第24章 圆（知识清单）数学沪科版九年级下册

第24章 圆 （选题涉及地区：合肥、郑州、青岛、烟台、南京、苏州等） 知识点一 旋转变换的概念与性质 旋转的概念 平面内，一个图形绕着一个定点，旋转一定的角度，得到另一个图形的变换 旋转的性质 ①对应点到旋转中心的距离 相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角； ③旋转前、后的图形 全等 中心对称的概念 一个图形绕一个定点旋转 180°,得到另一个图形， 这时，这 两个图形关于这个定点的 对称叫做 中心对称，这个定点就是 対称中心 中心对称的性质 成中心对称的两个图形， 对应点的连线经过 对称中心，且被对称中心平分 中心对称图形 （一个图形） 把一个图形绕某一个定点旋转 180°,如果旋转后的图形能和原来图形 重合，那么这个图形叫做 中心对称图形，这个定点就是 对称中心. 知识点二 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 概念 图形 定理 几何表述 圆心角：∠AOB、∠A′OB′ 弦心距：圆心到弦的距离OM、OM 弧：、 弦：AB、AB 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对弦的弦心距相等 如图，∵∠AOB＝∠A′OB′ ∴， AB=AB， OM=OM 在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等 知识点三 垂径定理 圆的对称性 轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴；中心对称图形，对称中心为圆心 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 几何表述： 在⊙O中， CD是直径，AB是弦， ∵CD⊥AB，垂足为Ｅ， ∴ 垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 根据垂径定理添加辅助线构造直角三角形解决问题 方法 连接圆心与弦的端点，构造直角三角形，解直角三角形（勾股定理+方程+锐角三角函数） 图例 → → → 知识点四 尺规作圆 作法 经过不在同一条直线上的三点Ａ、Ｂ、Ｃ的圆，其圆心是任意两点连线段的垂直平分线的交点 步骤 （1）连接ＡＢ，ＢＣ， （2）分别作线段 ＡＢ，ＢＣ 的垂直平分线，设它们交于点Ｏ． （3）以点Ｏ为圆心、ＯＡ为半径作圆．则⊙Ｏ即为所作 知识点五 圆周角与圆周角定理 圆周角概念 ①角的顶点在圆上;②角的两边都与圆还有另一个公共点． 图中圆周角有： ∠ABC、∠BCA、∠CAB 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 弧BC所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC， ∠BAC=∠DOC =∠BOC 推论1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.（右图） 推论2.半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。（右图） ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B=90° 推论3.圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角 知识点六 切线的性质与判定 性质定理 图形 判定定理 应用 圆的切线垂直于经过切点的半径。 几何表述：l与圆O交于点P，连接OP，OP⊥l 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 证明某直线是圆的切线一般步骤： 法一：已知半径证明垂直 ①连接该直线和圆的交点与圆心；②证明该直线与所作的半径垂直 法二：已知垂直证明半径 三角形的内切圆 概念 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心。 性质 三角形的内心到三角形的三边距离相等，该距离是三角形内切圆的半径。 尺规作图 ·利用角平分线上的点到两边的距离相等来作图 ①确定圆心：作△ＡＢＣ的∠Ｂ、∠Ｃ平分线ＢＥ、ＣＦ，设它们交于点I； ②确定一个切点：过点Ｉ作ＩＤ⊥ＢＣ于点Ｄ； ③确定其他切点：以点Ｉ为圆心、ＩＤ为半径作⊙Ｉ． 知识点七 多边形的外接圆 三角形的外接圆 概念：过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心 性质：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等 正多边形的外接圆 尺规作圆的内接正多边形：用直尺和圆规来等分圆周。 正四边形的作法：用直尺和圆规作⊙Ｏ的两条互相垂直的直径，就可以把⊙Ｏ分成４等份，从而作出正四边形；再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等。 正六边形的作法：设⊙Ｏ的半径为Ｒ，通常先作出⊙Ｏ的一条直径ＡＢ，然后分别以点Ａ，Ｂ为圆心、Ｒ为半径作弧，与⊙Ｏ交于点Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ，从而得到⊙Ｏ的６等分点，作出正六边形；再逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形、正二十四边形等；连接６等分圆周的相间两个点，得到正三角形。 正四边形→正八边形 正六边形→正三角形 正多边形的内切圆与外接圆的关系：正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距 正多边形的中心：O 正多边形的半径：OC 边心距：OG 易错提示1.正多边形的外接圆与内切圆是同心圆，正多边形的中心是其外接圆与内切圆的圆心 易错提示2.正多边形的半径是其外接圆的半径；正多边形的边心距是其中心到边的距离 知识点八 弧长与扇形面积 ·弧长公式：设的半径为，圆心角所对弧长为， （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关） ·扇形面积公式： ·圆锥的侧面积公式： 重点01根据旋转的性质求解 【典例1】（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得，与相交于点当时， 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质．先根据旋转的性质得到，，如图1，根据平行线的性质得到，然后计算即可；如图2，根据平行线的性质得到，然后利用平角的定义计算 【详解】解：如图1，绕点A按逆时针方向旋转后得， ，， ∵， ， ； 如图2， 绕点按逆时针方向旋转后得， ，， ∵， ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：50或 【典例2】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，把绕点按顺时针方向旋转，得到，点落在边上，若，则 °． 【答案】24 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和；先根据旋转得到，然后得到的度数，然后根据平行线的性质得到，再根据角的和差解题即可． 【详解】解：由旋转可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：24． 【典例3】（24-25九年级上·江苏连云港·期末）在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点，，将线段绕点O旋转一周，则线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查圆环的面积，明确扫出的图形是圆环是解题的关键． 线段扫过的轨迹为圆环，求出、到线段的距离，根据圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积即可求解． 【详解】解：如图，线段扫过的轨迹为圆环，其中大圆是以为圆心、为半径的圆，小圆是以为圆心、为半径的圆； 连接， ∵， ∴大圆的半径， 小圆的半径即到线段的距离，即， ∴圆环的面积为， 即线段扫过的面积为． 故选． 重点02 根据旋转的性质求坐标 【典例1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，三个顶点的坐标分别是，，，将向下平移个单位长度得到，之后将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，旋转的性质，熟练掌握平移的性质，旋转的性质是解题的关键． 根据平移的性质、旋转的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【典例2】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，且坐标原点为的中点，点的坐标为．将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】坐标与旋转规律问题、根据旋转的性质求解、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、旋转的性质，正确的识别图形并找到规律是解题的关键． 找到前四次旋转后的图形即可找到规律，进而求解． 【详解】解：如图：正方形绕点每次顺时针旋转，前四次旋转后得到的正方形分别为、、、，    可以发现，第四次旋转后正方形回到起点，依此规律旋转下去，有 第次旋转后的正方形应为，其中点对应点， ∴此时．   故选：B ． 【典例3】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，以为边在第一象限内构造矩形，且．将五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第26次旋转结束时，点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、三角函数综合 【分析】先计算，，过点C作于点E，后根据题意，确定点，确定循环周期，解答即可． 本题考查了勾股定理，矩形的性质，三角函数的应用，旋转的性质，熟练掌握勾股定理，三角函数的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∴，， ∵以为边在第一象限内构造矩形，且． ∴， ∴ 过点C作于点E， ∴，, ∴，， ∴， ∴， ∵五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴，，，，以后开始循环， 循环周期为， ∵， 故点的坐标与相同， 故选：D． 重点03 根据垂径定理求弦长或半径 【典例1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在两个同心圆中，大圆半径是小圆半径的2倍，点D，E，B均在圆上，若，连接，和，则下列说法不正确的是（   ） A．O到弦距离等于O到弦距离 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三角形三边关系的应用、与三角形中位线有关的证明、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、三角形中位线定理、三角形的三边关系判断即可．本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【详解】解：A、在小圆O中，，O到弦距离等于O到弦距离，故本选项说法正确，不符合题意； B、∵，，∴故本选项说法正确，不符合题意； C、∵大圆半径是小圆半径的2倍， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴，故本选项说法正确，不符合题意； D、在中，， ∵， ∴，故本选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 【典例2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，线段是的直径，弦于点．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理等知识点，掌握圆的基本性质定理是解题的关键． 如图：连接，根据垂径定理可得，继而得到，再根据圆周角定理求解即可， 【详解】解：如图：连接， ∵线段是的直径，弦于点．， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【典例3】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）由是弧的中点可知，故，再由可得出结论； （）设与交于点，由（）知，垂直平分，得出，根据勾股定理求出的长，设的半径为r，则，，在中利用勾股定理求出的值即可； 【详解】（1）证明：∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：设与交于点，如图， 由（）知，垂直平分， ∴， ， ∵， ∴， 设的半径为，则，， 在中由勾股定理得，即， 解得：， ∴的半径为． 【典例4】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为，油漆面宽为，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案，先求出的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理求出的长，然后用即可求出结果． 【详解】解：过O点作垂直于的半径，交于点D，连接，如下图， ∵油漆桶的直径为， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴油漆桶中油漆的最大深长为． 故选：B． 【典例5】（24-25九年级上·河南郑州·期末）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，，    在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故选：B． 【典例6】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为 ． 【答案】8米/ 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理是解题的关键． 根据题意，，，在中运用勾股定理可求出的值，由即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴，且， 设，则， 在中，， ∴，解得，，负值舍去， ∴， 故答案为：． 重点04 根据圆周角定理求角 【典例1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，内接于，若，则 ． 【答案】/55度 【难度】0.85 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．连接，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后根据圆周角的定理求的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 【典例2】如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、求正多边形的中心角 【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由正五边形的性质可得的度数，根据圆周角定理可得的度数，由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【典例3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，将沿着弦折叠，点，分别在优弧和劣弧上，若，则 ． 【答案】115 【难度】0.85 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、折叠问题 【分析】作出弧所对的圆周角，结合根据内接四边形对角互补求出即可．本题考查了折叠的对称性、圆的内接四边形互补，圆周角定理等知识点．作出弧所对的圆周角是解题关键． 【详解】解：作出弧所对的圆周角， ∵， ∴， ∵⊙O沿弦折叠， ∴ 故答案为：115 【典例4】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应的刻度值为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解答本题的关键． 设的中点为，连接，根据圆周角定理可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：设的中点为，连接， ， ， ， ， 故选：D． 【典例5】（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，直径为的经过原点和点，是轴右侧上一点，则的余弦值为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求角的余弦值、半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理，求余弦值等知识点．在中，由勾股定理得，求得，再根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：， 是直径， 直径为， ， 点的坐标为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 由圆周角定理得：， ， 即的余弦值为． 故选：C． 重点05 确定圆心的位置 ·根据垂径定理作垂直平分线确定圆心 【典例1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知半径和圆上两点作圆 【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，那么作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段的垂直平分线的交点个数即为圆的个数，据此作图求解即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧， ∵， ∴该弧与线段的垂直平分线有两个交点， ∴经过两点且半径为3的圆有2个， 故选：C． 【典例2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，的三个顶点均在格点上，请画出的外心． (2)在图2中，的三个顶点均在格点上，请画出的内心I． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】三角形内心有关应用、判断三角形外接圆的圆心位置、圆周角定理、无刻度直尺作图 【分析】本题考查三角形外心，内心的定义，涉及垂直平分线的性质，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关性质作图即可求解； （1）根据垂直平分线的性质，，的垂直平分线交点即是点，即为的外心； （2）根据角平分线的性质，找到的中点为点，的中点为点，连接，即为的角平分线，交于点I，即为的内心． 【详解】（1）解：根据题意，点O为所求，作图如下： （2）解：根据题意，点I为所求，作图如下： 【典例3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求三角形外心坐标、判断点与圆的位置关系、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴圆心在直线上， 设其圆心坐标为， 则，即， 由勾股定理得， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为， 半径为， ∵， ∴点在这条圆弧所在圆上， ∵， ∴原点在这条圆弧所在圆内， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 【典例4】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，，该圆弧所在圆的圆心为． (1)点的坐标为_____；的半径为_____． (2)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_____． (3)若点E的坐标是，试判断点E与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点在内 【难度】0.65 【知识点】求圆锥底面半径、判断点与圆的位置关系、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据垂径定理以及勾股定理进行计算即可； （2）求出扇形的圆心角度数，进而求出弧的长，再根据圆锥侧面展开图的特征进行计算即可； （3）根据两点间距离公式求出，然后与半径比较大小，即可判断． 【详解】（1）解：如图，依据网格，作的中垂线相交于点， 则点的坐标为， ， 即的半径为， 故答案为：，； （2）解：由网格特点知：，，， ∴， ， ， ， ， 的长为， 设圆锥的底面半径为，则， 解得， 故答案为：． （3）解：点E的坐标是，点的坐标为， ， 点在内． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理、垂径定理的推论、圆锥的计算、弧长公式、坐标与图形，点与圆的位置关系等知识，能求出点P坐标和是解答的关键． ·作圆的n等分点 【典例5】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点． (1)参照图所示，在图中，请用无刻度的直尺和圆规对的圆周进行三等分（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为____ ． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】尺规作图——作三角形、等边三角形的判定和性质、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的关键． （1）根据尺规作图的基本步骤解答即可； （2）连接，设，的交点为，得到，根据的半径为，是直径，是等边三角形，计算即可． 【详解】（1）解：根据基本作图的步骤，作图如下： 则点A，B，C是求作的的圆周三等分点． （2）连接，设，的交点为， 根据垂径定理得到， ∵的半径为，是直径， 是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 【典例6】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查作图—复杂作图， 垂径定理，勾股定理，圆周角定理； （1）过点作交于点，点即为所求； （2）利用勾股定理求出，再求出，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：∵是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形的面积． 重点06 根据切线的性质求解或证明 【典例1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，是外一点，、分别和切于、，是弧上任意一点，过作的切线分别交、于、，若的周长为，则长为 ． 【答案】/10厘米 【难度】0.4 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】本题主要考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，掌握切线长定理是解题的关键．先根据切线长定理求得，，，再由的周长为，即可求解． 【详解】解：、、分别相切于、、， ，，； ∵的周长为， ， ． 故答案为：． 【典例2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、切线的性质定理、应用切线长定理求证 【分析】根据切线的性质得到，，，推出是等边三角形，根据含30度直角三角形的性质求出，求出，进而求出． 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【典例3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、应用切线长定理求证 【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以． 【详解】证明：连接， ∵射线，与相切，切点分别为A，B， ∴，平分， ∴垂直平分， ∵的延长线交于点C， ∴． 【典例4】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是弦，C是的中点，与交于点E，过点A作的切线，与的延长线交于点D，连接．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、利用垂径定理求值、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】根据切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质以及圆周角定理进行解答即可． 【详解】证明：连接， 是弦，C是的中点， ，， ， ， 是的切线， ， ， 【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质以及圆周角定理，掌握切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 重点07 求弧长或扇形的面积 【典例1】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，在中，，，，以为圆心，长为半径作弧，分别交于，于点，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求其他不规则图形的面积、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握不规则图形面积的计算，扇形面积的计算方法是解题的关键． 根据含角的直角三角形可得，如图所示，连接，过点作于点，根据题意可得是等边三角形，可得，由，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴，， ∴， 如图所示，连接，过点作于点，    ∵以为圆心，长为半径作弧，分别交于，于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 故答案为： ． 【典例2】（23-24九年级上·重庆江津·期末）如图，点是以为直径的半圆的圆心，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，点是上一点，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、求扇形面积、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理以及勾股定理．根据直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：是圆的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 【典例3】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图，圆锥的母线，底面圆的半径，则这个圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求扇形面积、求圆锥侧面积 【分析】本题考查圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．解题的关键是掌握：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，圆锥的侧面积等于扇形的面积．据此列式解答即可．也考查了扇形的面积公式：（为弧长）． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，圆锥的母线， ∴圆锥的底面圆的周长：， ∴圆锥的侧面积为：． 故答案为：． 【典例4】（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图1、商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取，小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度） (1)小欣家直身杯的杯口直径为，她要制作高度为的杯套，则此杯套的面积为______（结果保留）； (2)小欣发现阔口杯近似为圆台形状（即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分），如图3①所示，通过测量，杯子上口径，下底面直径，母线长、均为，为了制作此杯套，小欣进行了以下探究： ①如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分，且，请证明这个结论，并求出所对的圆心角的度数； ②现有一张矩形杯套材料，如图4②所示，，，为了充分利用材料，请在图4②的矩形中画出杯套侧面展开图示意图（杯套示意图无拼接），并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线的最大长度． 【答案】(1) (2)①见解析，所对的圆心角的度数为；②图见解析，母线的最大长度为． 【难度】0.4 【知识点】求弧长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式求解即可； （2）①分别用和表示出的长和的长，即可证明结论成立；利用这个结论求得，再利用弧长公式即可求得所对的圆心角的度数； ②根据题意画出图形，利用垂径定理结合解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 故答案为：； （2）证明：①设与所对的圆心角为， ∴的长，的长， ∴， ∵杯子上口径，下底面直径， ∴的长，的长，， ∴， 解得，， ∴的长， 解得， 即所对的圆心角的度数为； ②如图，，连接，作于点，交于点，交于点， 则，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴母线的最大长度为． 重点08正多边形的外接圆 【典例1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正五边形中，连接，以E为圆心，长为半径画弧，与交于点F，连接，则的度数是 ． 【答案】54 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，根据正五边形的内角和得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：在正五边形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：54． 【典例2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点是边长为6的正六边形和边长为的正方形的中心，将正方形绕点旋转一周．若在旋转过程中，正方形始终在正六边形的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握正多边形的性质，是解题的关键．连接，，过点O作，证明为等边三角形，根据勾股定理得出，根据垂线段最短，正方形的边长不能超过为，从而得出的取值范围是． 【详解】解：连接，，过点O作，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴正方形对角线不能超过， ∴正方形的边长不能超过， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【典例3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆和正多边形圆心角，圆周角定理等知识点，解决此题的关键是要画出正多边形的外接圆． 根据正多边的性质画出外接圆，根据圆心角定义求出，根据圆周角定理可以求出答案． 【详解】解：如图，作正边形的外接圆， 根据正多边形的圆心角定义可知， ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 【典例4】（24-25九年级上·山东烟台·期末）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．也就是说通过作圆内接正多边形割圆，来计算圆周率，正多边形的边数越多所得到的圆周率精确度越高．下图就是从正六边形开始割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．这样再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为，先计算图1中圆内接正六边形的周长，根据正六边形与圆的周长近似相等，可计算出．接下来根据图2圆的内接正十二边形计算圆周率，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，熟练掌握圆内接正多边形的相关计算是解题的关键． 先求出圆内接正十二边形的中心角，然后求出，，在中，求出，，进而求出圆内接正十二边形的周长，然后根据即可得出答案． 【详解】解：十二边形是圆内接正十二边形， ， ，， ，，， 在中，， ， ， 圆内接正十二边形的周长， ， 故选：． 重点09 切线的证明 【典例1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，是的直径，弦与交于点，点在的延长线上． (1)若，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2)3 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，得到，由，得到，求得，得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线与相切； （2）解：设， 在中，，，， ， 解得（不合题意舍去），， 故的半径为3． 【典例2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点． (1)判断与半圆的位置关系，并说明理由． (2)若，求． 【答案】(1)AE与半圆相切，理由见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】应用切线长定理求解、证明某直线是圆的切线、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）设半圆的圆心为，连接，，根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到根据切线的判定定理得到结论； （2）根据正方形的性质得到根据切线的性质得到，设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：与半圆相切，理由如下∶ 设半圆的圆心为，连接，， ∵四边形是正方形， ∴ 在与中 ∴ ∴ ∵是半圆的半径， ∴与半圆相切； （2）解：∵四边形是正方形 ∴，， ∵是半圆的直径 ∴是半圆的切线 ∵与半圆相切， ∴． 设， ∴，， ∵ ∴ ∴， 解得， ∴． 重点10 圆综合 【典例1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，是上一个动点，连接，点在上，与相切于点且经过点，与和分别交于点和点，连接． (1)求的长． (2)连接交于点，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）分别求出，，，．证明，可求出， （2）连接，求解，证明，利用相似三角形的性质可得结论； 【详解】（1）解：∵与相切于点， ∴， ，， ， ， ∵， ， ． 为的直径， ． ， ， ，即， ． （2）解：如图，连接． 为的直径， ． ，， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【典例2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，是上一点，在直径上取点，使，延长交于点，分别作，垂直于，垂足分别为，．已知的半径是2． (1)求证：是的平分线； (2)若，则的长是______． 【答案】(1)见解析 (2)2 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、根据三线合一证明、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定和性质． （1）连接，推出，由余角的性质推出，由圆周角定理推出，因此，由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质推出，得到，即可证明结论； （2）由圆心角、弧、弦的关系定理推出，得到，由圆周角定理推出，判定，推出，得到E与O重合，因此，得到． 【详解】（1）证明：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）解：∵， ∴ ∵是圆的直径， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴E与O重合， ∴， ∴． 故答案为：2． 【典例3】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的直径． 【答案】(1)证明见解析 (2)18 【难度】0.65 【知识点】已知正弦值求边长、证明某直线是圆的切线、圆周角定理、根据等边对等角证明 【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证； （）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解； 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即的直径为． 【典例4】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若8，，求FC的长 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、证明某直线是圆的切线、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到根据切线的判定定理得到为的切线； （2）过点作于点，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：过点作于点， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故的半径为． 【典例4】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图1，中，D为边上一点，连接，，以为直径的恰好经过点C． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求 的半径r； ②如图 2，若点E是的中点（点E，C在直径的异侧），连接，求 的长． 【答案】(1)见详解 (2)①，② 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，根据题意得，结合圆和等腰三角形的性质得，则，结合已知得，即可证明； （2）①根据题意知和，则，解得和，求得，即可得半径； ②连接，，则，进一步得到和，以及，过点A作于点H，过点D作于点G，则，是等腰直角三角形，求得和，结合等面积法即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则是的切线； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 故 的半径； ②连接，，如图， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 过点A作于点H，过点D作于点G，则，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 即， ∴． 【典例5】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若． (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)在（2）的基础上求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】（1）连接，由垂径定理得到，再利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理得到，进而得到即可求解； （2）由（1）易得，利用含角直角三角形的性质得到的长度，进而求解； （3）由（2）可得到的长度，，利用含角直角三角形的性质得到，再结合，利用勾股定理求出，的长度，进而求出的值． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ，． 又， ， 即， ， ， ． （2）解：， ． ， ． 又， ， ， ． （3）解：由（2）得 ，, . ，， ， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，含角直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【典例6】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，为的直径，过上的一点作的切线，交的延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】（1）先根据切线的性质和直径所对的圆周角等于求出，，进而得到，再根据得到，所以，再加上，即可证明； （2）由（1）知，所以，解出，进而可求出半径． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ，    ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质、直径所对的圆周角等于、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 【典例7】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是边上的高，经过点，的与边，，分别交于点，，，连接，，且． (1)求证； (2)若的半径为，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由是边上的高，得，则，，由，得，所以，由，，得，即可证明∽； （2）连接，则是的直径，所以，因为的半径为5，，，所以，，再证明，得，求得，所以，，则，由，求得，则 【详解】（1）证明：是边上的高， 于点， ， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）解：连接， ， 是的直径， ， 的半径为，，， ， ， ， ∵，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的长是 难点11旋转与图形综合 【典例1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）【问题情境】 如图1，正方形和正方形按如图所示位置放置，我们通过观察可以得到，与的夹角为； 将正方形绕点旋转，如图2，连接．我们利用旋转的性质，通过证明，仍然可以得到，与的夹角为． 【变式思考】 如图3，将正方形绕点旋转，连接． （1）用等式表示线段与之间的数量关系为______，直线与的夹角为______； （2）按照图3的旋转位置，证明（1）所得出的结论； 【拓展运用】 （3）在图2的基础上，若，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，请直接写出的最小值是______． 【答案】（1），；（2）详见解析；（3） 【难度】0.65 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、点与圆上一点的最值问题 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，点到圆的距离的最值，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，延长交于点，证明，即可得到线段与之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线与的夹角； （2）连接，延长交于点，证明，即可得到线段与之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线与的夹角； （3）根据当三点共线，且点在线段上时，最小，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点， 四边形和四边形为正方形， 为等腰直角三角形， ，, ，即， ， , ， , ， 直线与的夹角为， 故答案为：；； （2）证明见（1）； （3）， ，， 正方形绕点旋转一周， 当三点共线，且点在线段上时，最小， 此时， 故答案为：． 【典例2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据勾股定理求出，然后证明出， ，然后证明出，得到； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到，即可得到； （3）首先证明出，得到，代数求出，然后求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：（1）∵，，． ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）∵，是的中线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； （3）由（2）得，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 难点12运用转化思想求不规则图形的面积 对角互补模型：在一个四边形中，相对的两个角互补 含两个直角+一组邻边相等 含两个直角+邻边不相等 不含直角+一组邻边相等 【典例1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算、求其他不规则图形的面积、利用菱形的性质求线段长、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，连接；设与交于点，与交于点．根据菱形的性质得，由和证明，由角平分线的性质得，从而根据证明△△，进而得，，再由计算阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，连接必经过点；设与交于点，与交于点． 为菱形，， ， 为对角线， ， ， ， 同理，可得， ， ， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 故选：A． 难点13 运用方程和函数思想解几何问题（含二次函数最值的应用） 【典例1】（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，与射线以及轴的正半轴始终相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、坐标与图形综合 【分析】由勾股定理可直接得，由于与射线以及轴的正半轴始终相切，可推得圆心在的角平分线上，通过作点关于直线的对称点，进而找到的中点坐标，则必经过点，可求出直线的表达式为，设点坐标为，故．由勾股定理可得：，将的最值问题转化为函数最值问题．通过求此二次函数的最值即可得的最小值． 【详解】解：如图所示，设切轴于点，连接， ∵，∴， ∵与射线以及轴的正半轴始终相切， ∴圆心在的角平分线上． 作点关于直线的对称点， 则， ∴， 则的中点坐标为即， 则必经过点， 设的表达式为，代入得， ， ， ∴直线的表达式为． 设点坐标为， 故． 的半径， 连接，则， 则由勾股定理可得：， 即， 故有最小值27， 此时最小为． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的切线，二次函数的性质，勾股定理，轴对称的性质，一次函数解析式的确定，中点公式，掌握相关知识是解决问题的关键． 【典例2】（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，平分； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)当时，平分； (2)； (3)存在，当时，与相切． 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用、相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由直径所对的圆周角是直角可得，运用勾股定理可得，再证得，可得，利用角平分线性质可得，建立方程求解即可得出答案； （2）过点作于点，利用相似三角形性质可得，再运用面积法求得，再根据三角形面积即可求得答案； （3）过点作于点，利用相似三角形性质和圆的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意得：，，，，， 是的直径， ， 在中，， ，， ， ，即， ， ， 当时，平分， ， 解得：， 当时，平分； （2）解：如图，过点作于点， ， ，即， ， ，， ，即， ， ； （3）解：存在某一时刻，使与相切．理由如下： 如图，过点作于点， 由（1）（2）知：，，，，，， ， ， ， 与相切， ， ， ， ， ，即， 解得：， 当时，与相切． 【典例3】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的对角线，，，与射线、相切，与相切于点．若，则的最小值为        ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了切线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，二次函数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 有切线连切点，发现是角平分线，进而得到，作垂直构造等腰直角三角形得到，进而表示出，再利用勾股定理得到，最后利用二次函数最值求解即可． 【详解】解：过作于点，设、上的切点为和，连接、、、、， 设半径为， 、、与相切， ，， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 在中， ， 在中， ， ， 当时，，此时有最小值，即， 的最小值为， 故答案为：． 难点14 根据对称性转化线段再利用共线求最值（将军饮马问题） n点共线求最值（原理：两点之间线段最短） 问题类型 问题与条件 方法与结论 线段和的最小值 动点所在的直线给定 条件：两定点在直线同侧，动点在直线上 问题：点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小 结论：PA＋PB的最小值为AB'的长 线段和的最小值 动点所在的直线未给 条件：动点到两定点连线的距离为定长，两定点在直线同侧 问题：P是线段AB上方一动点且到AB的距离为定值，确定一点P，使AP＋BP的值最小 ①先确定动点所在的直线l ②作点A(B)关于l的对称点A'(B') 结论：PA＋PB的最小值为AB'(BA')的长 n点共线求最值（原理：垂线段最短） 定点与两动点求线段和的最小值 条件：一定点在角外，两动点在角的两边上 问题：P是∠AOB外(在水平直线上方)一定点，在OA， OB上分别求点M，N，使PM＋MN的值最小 PM＋MN的最小值为垂线段PN的长 【典例1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）在中直径，，点D是弦上动点，连接，则最小值 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、垂线段最短 【分析】作，于点M，于点N，连接，则，，由垂线段最短知，，求出的长度即可． 【详解】解：如图，作，于点M，于点N，连接， ，， ， 又， ， ， 由垂线段最短知，， ， 直径， ． ， ， ， 又， ， ， ， 最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，垂线段的性质，平行线的性质，圆的基本知识，勾股定理等，将转化成是解题的关键． 【典例2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是 ． 【答案】6 【难度】0.4 【知识点】四边形中的线段最值问题、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键． 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点，进而求解． 【详解】解：连接， 的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，， 过点C作，且使， ∴， 连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点， ∵，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长为最小， 则， 则的周长的最小值为5+1＝6， 故答案为：6． 难点15 点到圆上点距离最值+定长（半径）定圆 ·根据圆的定义确定动点的轨迹： 题干条件：①出现一个动点P绕一个定点O进行运动，且OP长度为一个定值时，动点P的轨迹即为以O为圆心，OP为半径的圆。 ②出现直角三角形时，即动点作为顶点所构成的角为90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（等于半径），根据定义确定动点轨迹为圆。 （1）圆外一点到圆上的点的距离的最值：根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；圆外一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为PO-r （2）圆内一点到圆上的点的距离的最值：根据条件（圆 的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；圆内一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为r-PO 说明：解决圆外（内）一点到圆上的点的距离的最值问题，不管是最大值还是最小值，两点的连线一定过直径。 【典例1】 （25-26九年级上·江苏苏州·期末）【问题情境】 如图1，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图1中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图4，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图5，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 【答案】【问题情境】小红的说法正确，理由见解析【直接运用】【构造运用】【深度运用】 【难度】0.15 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、半圆（直径）所对的圆周角是直角、特殊三角形的三角函数 【分析】【问题情境】：根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； 【直接运用】：取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，由勾股定理得，从而即得解； 【构造运用】：由折叠知，进而得点，，都在以为直径的圆上．如图3，以点为圆心，为半径画，连接．当长度取最小值时，点在上，过点作于点，根据菱形的性质及勾股定理即可得解； 【深度运用】：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，证明，得，点在以为直径的半圆上，进而利用勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解． 【详解】解：【问题情境】：小红的说法正确， 在圆上任意取一个不同于点的点，连接、， ∵在中，， ∴， 即， ∴线段是点到圆上各点的距离中最长的线段． ∴小红的说法正确； 【直接运用】：取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：； 【构造运用】：由折叠知， ∵是的中点， ∴， ∴点，，都在以为直径的圆上，如图，以点为圆心，为半径画，连接． 当长度取最小值时，点在上， 过点作于点， ∵在边长为2的菱形中， ，为中点， ∴，， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∴； 【深度运用】：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的半圆上， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，直径所对的圆周角为，菱形的性质，勾股定理，三角函数，三角形三边关系定理，等边三角形的性质，最值问题，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 难点16 定弦定角定圆确定动点轨迹 【典例1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，边上的高为，且是锐角,是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、相似三角形的判定与性质综合、圆周角定理、利用平行四边形的性质求解 【分析】作的外接圆，由圆周角定理可得，所以，再作于点，可证，进而可得，再利用垂线段最短和三角形三边关系即可得解． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过作于点， 设， ， ， 过作于点，过作于点，则， ， ， ，， ， ，即， ， ， 即， 解得， 的半径最小值为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形的外接圆、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【典例2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）数学兴趣小组开展探究活动，针对九年级上册数学教材习题24.1的第14题进行了深入研究． 【书本原题】如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的结论． 小红证明如下： 如图1，在中，， …… （1）请你帮他完成后面的证明过程． 【深入探究】 （2）小红在完成此题后，他发现线段，他的发现正确吗？试说明理由． 【应用实践】 （3）如图2，若点是的中点，点在上移动的过程中，小红发现线段的长度一定存在最小值．若的半径为2，请你求出线段的最小值． 【答案】（1）是等边三角形，证明见解析；（2）正确，理由见解析；（3） 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等得到，，再根据三角形内角和定理得到，结合等边三角形的定义即可求解； （2）在上截取，可得为等边三角形，再证，得到，由此即可求解； （3）点在上移动过程中，点在以为直径的圆上运动，设圆心为，则当点B、M、F共线，且点在线段上时，最小，如图，连接，过点作于点，过点作于点，可得，，，在Rt中由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）是等边三角形，理由如下： 在中，， ，， ， ∴是等边三角形． （2），理由如下： 在上截取，如图： ， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ，即． （3）∵点是的中点， 点在上移动过程中，点在以为直径的圆上运动，设圆心为，则当点B、M、F共线，且点在线段上时，最小， 如图，连接，过点作于点，过点作于点， 等边是的内接正三角形， 平分，平分， ， 的半径为2， ， ，，， ，，， ， 在Rt中，， ． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章 圆 （选题涉及地区：合肥、郑州、青岛、烟台、南京、苏州等） 知识点一 旋转变换的概念与性质 旋转的概念 平面内，一个图形绕着一个定点，旋转一定的角度，得到另一个图形的变换 旋转的性质 ①对应点到旋转中心的距离 ；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ； ③旋转前、后的图形 中心对称的概念 一个图形绕一个定点旋转 ,得到另一个图形， 这时，这 关于这个定点的 叫做 ，这个定点就是 中心对称的性质 的两个图形， 经过 ，且被对称中心平分 中心对称图形 （一个图形） 把一个图形绕某一个定点旋转 ,如果旋转后的图形能和原来图形 ， 那么这个图形叫做 ，这个定点就是 . 知识点二 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 概念 图形 定理 几何表述 圆心角：∠AOB、∠A′OB′ 弦心距：圆心到弦的距离OM、OM 弧：、 弦：AB、AB 在 中,相等的圆心角所对的 相等、所对的 相等、所对弦的弦心距相等 如图，∵∠AOB＝∠A′OB′ ∴， AB=AB， OM=OM 在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等 知识点三 垂径定理 圆的对称性 轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴；中心对称图形，对称中心为圆心 垂径定理 垂直于弦的直径 这条 ，并且 这条 几何表述： 在⊙O中， CD是直径，AB是弦， ∵CD⊥AB，垂足为Ｅ， ∴ 垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径 ，并且 。 根据垂径定理添加辅助线构造直角三角形解决问题 方法 连接圆心与弦的端点，构造直角三角形，解直角三角形（勾股定理+方程+锐角三角函数） 图例 → → → 知识点四 尺规作圆 作法 经过不在同一条直线上的三点Ａ、Ｂ、Ｃ的圆，其圆心是任意两点连线段的垂直平分线的交点 步骤 （1）连接ＡＢ，ＢＣ， （2）分别作线段 ＡＢ，ＢＣ 的垂直平分线，设它们交于点Ｏ． （3）以点Ｏ为圆心、ＯＡ为半径作圆．则⊙Ｏ即为所作 知识点五 圆周角与圆周角定理 圆周角概念 ①角的顶点在圆上;②角的两边都与圆还有另一个公共点． 图中圆周角有： 定理 一条弧所对的圆周角等于 弧BC所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC， ∠BAC=∠DOC =∠BOC 推论1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 ，相等的圆周角所对的 也相等.（右图） 推论2.半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。（右图） ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B=90° 推论3.圆内接四边形的对角 ，且任何一个外角都等于它的内对角 知识点六 切线的性质与判定 性质定理 图形 判定定理 应用 圆的切线垂直于经过切点的半径。 几何表述：l与圆O交于点P，连接OP，OP⊥l 经过半径外端点并且 于这条半径的直线是圆的切线 证明某直线是圆的切线一般步骤： 法一：已知半径证明垂直 ①连接该直线和圆的交点与圆心；②证明该直线与所作的半径垂直 法二：已知垂直证明半径 三角形的内切圆 概念 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心。 性质 三角形的内心到三角形的 ，该距离是三角形内切圆的半径。 尺规作图 ·利用角平分线上的点到两边的距离相等来作图 ①确定圆心：作△ＡＢＣ的∠Ｂ、∠Ｃ平分线ＢＥ、ＣＦ，设它们交于点I； ②确定一个切点：过点Ｉ作ＩＤ⊥ＢＣ于点Ｄ； ③确定其他切点：以点Ｉ为圆心、ＩＤ为半径作⊙Ｉ． 知识点七 多边形的外接圆 三角形的外接圆 概念：过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心 性质：三角形的外心到三角形 相等 正多边形的外接圆 尺规作圆的内接正多边形：用直尺和圆规来等分圆周。 正四边形的作法：用直尺和圆规作⊙Ｏ的两条互相垂直的直径，就可以把⊙Ｏ分成４等份，从而作出正四边形；再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等。 正六边形的作法：设⊙Ｏ的半径为Ｒ，通常先作出⊙Ｏ的一条直径ＡＢ，然后分别以点Ａ，Ｂ为圆心、Ｒ为半径作弧，与⊙Ｏ交于点Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ，从而得到⊙Ｏ的６等分点，作出正六边形；再逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形、正二十四边形等；连接６等分圆周的相间两个点，得到正三角形。 正四边形→正八边形 正六边形→正三角形 正多边形的内切圆与外接圆的关系：正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距 正多边形的中心： 正多边形的半径： 边心距： 易错提示1.正多边形的外接圆与内切圆是同心圆，正多边形的中心是其 易错提示2.正多边形的半径是其外接圆的 ；正多边形的边心距是其 到边的距离 知识点八 弧长与扇形面积 ·弧长公式：设的半径为，圆心角所对弧长为， （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关） ·扇形面积公式： ·圆锥的侧面积公式： 【典例1】（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得，与相交于点当时， 【典例2】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，把绕点按顺时针方向旋转，得到，点落在边上，若，则 °． 【典例3】（24-25九年级上·江苏连云港·期末）在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点，，将线段绕点O旋转一周，则线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，三个顶点的坐标分别是，，，将向下平移个单位长度得到，之后将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是 ． 【典例2】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，且坐标原点为的中点，点的坐标为．将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【典例3】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，以为边在第一象限内构造矩形，且．将五边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第26次旋转结束时，点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【典例1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在两个同心圆中，大圆半径是小圆半径的2倍，点D，E，B均在圆上，若，连接，和，则下列说法不正确的是（   ） A．O到弦距离等于O到弦距离 B． C． D． 【典例2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，线段是的直径，弦于点．若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【典例3】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【典例4】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为，油漆面宽为，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（   ） A． B． C． D． 【典例5】（24-25九年级上·河南郑州·期末）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【典例6】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为 ． 【典例1】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，内接于，若，则 ． 【典例2】如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 【典例3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，将沿着弦折叠，点，分别在优弧和劣弧上，若，则 ． 【典例4】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应的刻度值为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例5】（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，直径为的经过原点和点，是轴右侧上一点，则的余弦值为（        ） A． B． C． D． ·根据垂径定理作垂直平分线确定圆心 【典例1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【典例2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，的三个顶点均在格点上，请画出的外心． (2)在图2中，的三个顶点均在格点上，请画出的内心I． 【典例3】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 【典例4】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，，该圆弧所在圆的圆心为． (1)点的坐标为_____；的半径为_____． (2)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_____． (3)若点E的坐标是，试判断点E与的位置关系，并说明理由． ·作圆的n等分点 【典例5】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点． (1)参照图所示，在图中，请用无刻度的直尺和圆规对的圆周进行三等分（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为____ ． 【典例6】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积． 【典例1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，是外一点，、分别和切于、，是弧上任意一点，过作的切线分别交、于、，若的周长为，则长为 ． 【典例2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【典例3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【典例4】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是弦，C是的中点，与交于点E，过点A作的切线，与的延长线交于点D，连接．求证：． 【典例1】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，在中，，，，以为圆心，长为半径作弧，分别交于，于点，则图中阴影部分的面积为 ．    【典例2】（23-24九年级上·重庆江津·期末）如图，点是以为直径的半圆的圆心，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，点是上一点，，，则阴影部分的面积为 ． 【典例3】（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图，圆锥的母线，底面圆的半径，则这个圆锥的侧面积为 ．（结果保留） 【典例4】（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图1、商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取，小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度） (1)小欣家直身杯的杯口直径为，她要制作高度为的杯套，则此杯套的面积为______（结果保留）； (2)小欣发现阔口杯近似为圆台形状（即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分），如图3①所示，通过测量，杯子上口径，下底面直径，母线长、均为，为了制作此杯套，小欣进行了以下探究： ①如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分，且，请证明这个结论，并求出所对的圆心角的度数； ②现有一张矩形杯套材料，如图4②所示，，，为了充分利用材料，请在图4②的矩形中画出杯套侧面展开图示意图（杯套示意图无拼接），并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线的最大长度． 【典例1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正五边形中，连接，以E为圆心，长为半径画弧，与交于点F，连接，则的度数是 ． 【典例2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点是边长为6的正六边形和边长为的正方形的中心，将正方形绕点旋转一周．若在旋转过程中，正方形始终在正六边形的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则的取值范围是 ． 【典例3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（24-25九年级上·山东烟台·期末）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．也就是说通过作圆内接正多边形割圆，来计算圆周率，正多边形的边数越多所得到的圆周率精确度越高．下图就是从正六边形开始割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．这样再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为，先计算图1中圆内接正六边形的周长，根据正六边形与圆的周长近似相等，可计算出．接下来根据图2圆的内接正十二边形计算圆周率，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，是的直径，弦与交于点，点在的延长线上． (1)若，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 【典例2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点． (1)判断与半圆的位置关系，并说明理由． (2)若，求． 【典例1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，是上一个动点，连接，点在上，与相切于点且经过点，与和分别交于点和点，连接． (1)求的长． (2)连接交于点，求的值． 【典例2】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，是上一点，在直径上取点，使，延长交于点，分别作，垂直于，垂足分别为，．已知的半径是2． (1)求证：是的平分线； (2)若，则的长是______． 【典例3】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的直径． 【典例4】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若8，，求FC的长 【典例4】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图1，中，D为边上一点，连接，，以为直径的恰好经过点C． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求 的半径r； ②如图 2，若点E是的中点（点E，C在直径的异侧），连接，求 的长． 【典例5】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若． (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)在（2）的基础上求的值． 【典例6】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，为的直径，过上的一点作的切线，交的延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【典例7】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是边上的高，经过点，的与边，，分别交于点，，，连接，，且． (1)求证； (2)若的半径为，，，求的长． 【典例1】（24-25九年级上·河南郑州·期末）【问题情境】 如图1，正方形和正方形按如图所示位置放置，我们通过观察可以得到，与的夹角为； 将正方形绕点旋转，如图2，连接．我们利用旋转的性质，通过证明，仍然可以得到，与的夹角为． 【变式思考】 如图3，将正方形绕点旋转，连接． （1）用等式表示线段与之间的数量关系为______，直线与的夹角为______； （2）按照图3的旋转位置，证明（1）所得出的结论； 【拓展运用】 （3）在图2的基础上，若，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，请直接写出的最小值是______． 【典例2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 对角互补模型：在一个四边形中，相对的两个角互补 含两个直角+一组邻边相等 含两个直角+邻边不相等 不含直角+一组邻边相等 【典例1】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【典例1】（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，与射线以及轴的正半轴始终相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为 ． 【典例2】（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，平分； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由． 【典例3】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的对角线，，，与射线、相切，与相切于点．若，则的最小值为        ． n点共线求最值（原理：两点之间线段最短） 问题类型 问题与条件 方法与结论 线段和的最小值 动点所在的直线给定 条件：两定点在直线同侧，动点在直线上 问题：点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小 结论：PA＋PB的最小值为AB'的长 线段和的最小值 动点所在的直线未给 条件：动点到两定点连线的距离为定长，两定点在直线同侧 问题：P是线段AB上方一动点且到AB的距离为定值，确定一点P，使AP＋BP的值最小 ①先确定动点所在的直线l ②作点A(B)关于l的对称点A'(B') 结论：PA＋PB的最小值为AB'(BA')的长 n点共线求最值（原理：垂线段最短） 定点与两动点求线段和的最小值 条件：一定点在角外，两动点在角的两边上 问题：P是∠AOB外(在水平直线上方)一定点，在OA， OB上分别求点M，N，使PM＋MN的值最小 PM＋MN的最小值为垂线段PN的长 【典例1】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）在中直径，，点D是弦上动点，连接，则最小值 ． 【典例2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是 ． ·根据圆的定义确定动点的轨迹： 题干条件：①出现一个动点P绕一个定点O进行运动，且OP长度为一个定值时，动点P的轨迹即为以O为圆心，OP为半径的圆。 ②出现直角三角形时，即动点作为顶点所构成的角为90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（等于半径），根据定义确定动点轨迹为圆。 （1）圆外一点到圆上的点的距离的最值：根据条件（圆的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；圆外一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为PO-r （2）圆内一点到圆上的点的距离的最值：根据条件（圆 的定义或出现动点所在三角形为直角三角形时），明确动点的轨迹为圆；圆内一定点P到圆O上的点的距离最大值为PO+r，最小值为r-PO 说明：解决圆外（内）一点到圆上的点的距离的最值问题，不管是最大值还是最小值，两点的连线一定过直径。 【典例1】 （25-26九年级上·江苏苏州·期末）【问题情境】 如图1，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图1中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图4，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图5，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 【典例1】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，边上的高为，且是锐角,是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为 ． 【典例2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）数学兴趣小组开展探究活动，针对九年级上册数学教材习题24.1的第14题进行了深入研究． 【书本原题】如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的结论． 小红证明如下： 如图1，在中，， …… （1）请你帮他完成后面的证明过程． 【深入探究】 （2）小红在完成此题后，他发现线段，他的发现正确吗？试说明理由． 【应用实践】 （3）如图2，若点是的中点，点在上移动的过程中，小红发现线段的长度一定存在最小值．若的半径为2，请你求出线段的最小值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $