教材变式专题4 切线性质的应用（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（沪科版）安徽专版

教材变式专题④ 例【一题多问】如图，已知AB为⊙O的直径， 点C在⊙O上，AD与过点C的切线垂直， 垂足为D,连接AC. (1)求证：AC平分∠DAB. (2)如图，连接BC,探究AD,AC,AB之间 的数量关系. (3)如图，设AD交⊙O于点E,连接BE.求 证.CD=BE. D 34一本·HK版初中数学九年级下册 切线性质的应用 (4)如图，设AD交⊙O于点E,延长DC交 AB的延长线于点G,连接BC ①若E是AC的中点，AD=3,求∠G的度 数及⊙O的半径； D E 0 ②【一题多解】若AB=8,DE=2,求CD和 CG的长. 【跟踪训练】 1.(2025·合肥四十五中二模)如图，已知在△ABC 中，D是AB边上一点，⊙O过D,B,C三点， 直线AC是⊙O的切线，连接OD,OC,DC,且 OD∥AC (1)求∠ACD的度数； (2)如果∠ACB=75°，⊙O的半径为2，求BD 的长 2.(2025·合肥五十中西校一模)如图，AB是⊙O的 直径，CD与AB相交于点E,过点D的切线 DF∥AB,交CA的延长线于点F,CF=CD, 连接DA,BC (1)求∠F的度数； (2)若DE·DC=50,求⊙O的半径. E 3.(2025·湖北)如图，⊙O是△ABC的外接圆， ∠BAC=45°.过点O作DF⊥AB,垂足为E, 交AC于点D,交⊙O于点F.过点F作⊙O的 切线，交CA的延长线于点G. (1)求证：FD=FG; (2)若AB=12,FG=10,求⊙O的半径， 第24章圆35解法2：：∠BDO=∠BCA=90°，∠B=∠B, ∴.△BDO∽△BCA, .BD_DO 2 BCCA,即4=3， 解得，一号即⊙0的半径为 3 10.(1)6cm(2)2√3cm(3)60° 11.B【解析】解法1（相似三角形）：连接OD,CD （图略). AC为直径，∴∠ADC=90° :在R△ADC中，AD=号AC=3, ∴CD=VAC-AD=12 ∠ADC=∠ACB,∠A=∠A, ∴.△ADC∽△ACB, 肥-A把c4Co92 5 =4 AD 9 根据切线长定理可知，DE=CE,∴，∠CDE=∠BCD ,∠CDE+∠BDE=∠B+∠BCD=90°， ∴∠B=∠BDE,∴BE=DE,∴BE=CE=DE, DE-号BC-号×4-2故选B 解法2（三角函数）：如图，连接OD,过点O作OF⊥ AD于点F(图略)，则∠ODE=90°，DE=CE,OD= 1 3 0A=2AC=2, DF=AF=ZAD=0,∠OAD=∠0DA, 1 ∴.∠OAD+∠B=∠ODA+∠EDB=90°， ∴∠B=∠EDB,∴BE=DE,∴BE=CE=DE. 9 AF AC10 3 osA-O8,即85解得AB=5, 2 .BC=√AB2-AC=4, 1 1 DE=BE=CE=2BC=2X4=2.故选B. 教材变式专题4切线性质的应用 【例】解：(1)略(2)AC2=AD·AB(3)略 (4)①∠G=30°，⊙0的半径是2 ②如图，连接OC,EC,过点C 作CF⊥AG于点F. 可证△DEC∽△DCA,△ACFn △CBF, ∴.DC2=DE·DA,CF2= BF·AF. ,AC平分∠DAB,CD⊥AD,CF⊥AB, .CF=CD,.DE·DA=BF·AF. .AD=AF,..DE=BF=2,..AF=6. 由(2)，知AC2=AD·AB,∴.AC2=48, ∴CD=√JAC2-AD=2√3. :CO∥AD,∴.△ADGn△OCG, 六C0:AD=CG:DG,即62W5+CG1 4 CG 解得CG=4√3. 另一种解题思路：连接BE,OC交于点M(图略)，易 得四边形CDEM为矩形，OM为Rt△ABE的中位 线，CM=2,则OM=2.在Rt△OBM中，利用勾股定 理求得BM的长，从而求得CD,CG的长. 【跟踪训练】 1.(1)45°(2)2 2.(1)67.5°(2)5 31路e号 24.5三角形的内切圆 1.B2.c3.A4.D5.103 6.解：如图，⊙0即为所求. B￥ 7.解：，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm,BC= 9 cm,.'.AB=AC+BCT=15 cm. 解法1（切线长定理）：连接OD,OF(图略) 在四边形ODCF中，OD=OF,∠ODC=∠OFC= ∠C=90°， .四边形ODCF是正方形，∴.OD=OF=CD=CF=r 由切线长定理，得AD=AE,CD=CF,BE=BF, ..CD+CF=(AC-AD)+(BC-BF)=(AC- AE)+(BC-BE)=AC+BC-(AE+BE)=AC+ BC-AB,:.CD-CF-(AC+BC-AB), 1 即r=2×(12+9-15)=3(cm). 解法2（等面积法）：SAAc=2AC·BC=2(AC+ BC+AB)·r, 即2X12×9=2×(12+9+15)·r,解得x=3, ∴.⊙O的半径r为3cm. 8.解：连接AF(图略)，则AF过点O,且AF⊥BC 在R△ABF中，BF=BC=号×10=-5， .AF=√AB2-BF=√132-5=12. 解法1（等西教法）：SA=号BC,AF=号×10X 12=60. 设⊙0的半径为r,则2×(13+13+10)×r=60, 36