24.4 第3课时切线长定理（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（沪科版）安徽专版

第3课时 A知识分点练 夯基础 知识点切线长定理 1.如图，P为⊙O外一点，PA,PB分别与⊙O相 切于点A,B.若PA=5,则PB的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 [变式1]在第1题中，连接AB.若∠P=50°， 则∠PAB= [变式2](2025·佳木斯)如图，PA,PB是 ⊙O的切线，A,B为切点，AC是直径， ∠BAC=35°，∠P= 2.(教材P39练习T3变式)如图，⊙O经过A,B,C三 点，PA,PC分别与⊙O相切于点A,C.若∠P= 40°，点B在优弧ABC上，则∠B的度数为() A.60° B.65° C.70° D.80° D C C 第2题图 变式题图 [变式](2025·合肥四十五中二模)如图，四边形 ABCD内接于⊙O,过点A,C分别作⊙O的切 线交于点E.若∠ABC=125°，则∠E的度数为 3.过点P可以作⊙O的2条切线，已知⊙O的半径 为6，设OP=m,则m的取值范围是 32一本·HK版初中数学九年级下册 切线长定理 4.(2025·蚌埠模拟)为了测量一个光盘的直径，小 明把直尺、光盘和三角尺按如图所示的方式放 置于桌面上，其中光盘与直尺、三角尺均相切， A是三角尺的一个顶点，B是光盘与直尺的切 点.测量得AB=6cm,则这张光盘的直径是 cm. 60X 5.(教材P38例5变式)如图，四边形ABCD外切于 ⊙O,AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周 长是 O. B 第5题图 变式题图 [变式]【整体思想】如图，⊙O与四边形 ABCD的四边都相切.若∠AOB=70°，则 ∠COD的度数为 6.(教材P41习题T10变式)如图，直线AB,BC,CD 分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD, OB=6,OC=8.求： (1)∠BOC的度数； (2)BE+CG的值； (3)⊙0的半径. B能力综合练 练思维、 7.如图，已知PA,PB是⊙O的两条切线，A,B 为切点，线段OP交⊙O于点M,连接OA, OB,AB.有下列四种说法： ①PA=PB; ②OP⊥AB; ③四边形OAPB有外接圆； ④点M是△AOP外接圆的圆心. 其中正确的有 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 第7题图 第8题图 8.(教材P69A组复习题T15变式)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4,BC=6,以斜边AB 上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC,BC 相切于点D,E,则AD= 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°. (1)利用无刻度的直尺和圆规在BC上取一点 O,以点O为圆心作⊙O,⊙O与线段AC,AB 均相切；（保留作图痕迹，不写作法） (2)【一题多解】在(1)的条件下，若AC=3, BC=4,求⊙O的半径. 10.(教材P69A组复习题T16变式)如图，PA,PB, CD是⊙O的切线，切点分别为A,B,E.若 △PCD的周长为12cm,∠P=60°.求： (1)PA的长； (2)⊙O的半径； (3)∠COD的度数. C拓展探究练 提素养一 11.【一题多解】如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D,过点 、D作⊙0的切线，交BC于点E,若AD三， AC=3,则DE的长为 () A.2 B.2 5 C. D.√/5 第24章圆33.AC=DC, ∴.∠CDA=∠CAD,∠CDE=∠E. I∠CDE=∠EAB, ∴.∠E=∠EAB,∴.BA=BE. 5.(1)略(2)4√2 6.(1)35(2)略 7.解：(1)证明：，OD平分∠COB,与半圆O交于点 D,∴∠COD=∠BOD= 2∠BOC 1 “∠CA0=2∠BOC,∴∠COD=∠CA0, .OD∥AC. (2)①W3②1 24.4直线与圆的位置关系 第1课时直线与圆的位置关系 1.C【变式】D2.C3.相切 4.(1)相交(2)相离(3)√25.c【变式】20° 6.36°7.√13 8.(1)45°(2)2√2-2 5 9.D10.c11.212.略 13.解：(1)证明：证法1：如图1，连接BD. :AF是⊙O的切线， ∠FAB=90°，∴.∠FAC+∠BAC=90 ,AB是直径，∠ADB=90°， ∴∠BAC+∠ABD=90°，∴.∠FAC=∠ABD ∠ABC=2∠CAF,∴.∠ABC=2∠ABD, .∠CBD=∠ABD. :∠ADB=∠CDB=90°， ∴.∠BAD=∠BCD,∴.BA=BC. 证法2：设∠FAC=a,∴∠ABC=2∠FAC=2a. :AF是⊙O的切线，.∠FAB=90°， ∴.∠AFB=90°-2a,∠CAB=90°-a, ∴∠ACB=∠FAC+∠AFB=90°-a, .∠CAB=∠ACB,.BA=BC. 图1 图2 图3 (2)解法1（勾股定理）：如图2，连接AE. 设CE=x. 'CE CB=1:5,..CB=5x, ..BE=CB-CE=4x,AB=CB=5x. :AB是直径，∠AEB=∠AEC=90°， AE=√AB2-BE=3x. :AC=2/10,AE+CE2=AC2, 即(3x)+x2=40,解得x=2(负值已舍去)，∴.AB=10. 解法2（相似三角形）：如图3，连接DE,BD 设CE=x. .CE CB=1:5,..CB=5x. ,四边形ABED为⊙O的内接四边形， ∴.∠CDE=∠CBA,∠CED=∠CAB, ∴.△CDEn△CBA, 器常 由(1)可知，BA=BC,∠ADB=90°， cD=Ac=而，2=， 2/105x’ 解得x=2(负值已舍去)，AB=CB=10. 第2课时切线的判定 1.D2.C3.D4.45.①②③6.略 7.(1)略(2)88.B 9.90°直径所对的圆周角是直角经过半径外端点 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 10.(2-√2)或(2十√2) 11.略 12.解：(1)证明：连接OE(图略). CD为⊙O的直径，点E在⊙O上， ..OD=OE=OC. OE=OD. 在△OME和△OMD中，ME=MD, OM=OM, ∴.△OME≌△OMD(SSS),∴.∠OEM=∠ODM. CD⊥AB,∴.∠ODM=90°， ∴.∠OEM=90°，即OE⊥ME. OE是⊙O的半径，∴ME是⊙O的切线. ai 第3课时切线长定理 1.D【变式1】65°【变式2】70°2.C【变式】70° 3.m>64.1235.52【变式】110° 6.(1)90°(2)10(3)4.8 7.c8.5 8 9.解：(1)如图，⊙0即为所作. (2)如图，设⊙O的半径为r,BA与 ⊙O相切于点D,则OC=OD=r ∠ACB=90°，AC=3,BC=4, ..AB=W32+42=5. AC为⊙O的切线，∴.AD=AC=3, ..BD=AB-AD=5-3=2. 解法1：：BC=4,.BO=4-r. 在Rt△OBD中，BD+OD2=OB, 2十r2=(4-r)2,解得r=2, 3 即⊙0的半径为2 3 85· 解法2：：∠BDO=∠BCA=90°，∠B=∠B, ∴.△BDO∽△BCA, .BD_DO 2 BCCA,即4=3， 解得，一号即⊙0的半径为 3 10.(1)6cm(2)2√3cm(3)60° 11.B【解析】解法1（相似三角形）：连接OD,CD （图略). AC为直径，∴∠ADC=90° :在R△ADC中，AD=号AC=3, ∴CD=VAC-AD=12 ∠ADC=∠ACB,∠A=∠A, ∴.△ADC∽△ACB, 肥-A把c4Co92 5 =4 AD 9 根据切线长定理可知，DE=CE,∴，∠CDE=∠BCD ,∠CDE+∠BDE=∠B+∠BCD=90°， ∴∠B=∠BDE,∴BE=DE,∴BE=CE=DE, DE-号BC-号×4-2故选B 解法2（三角函数）：如图，连接OD,过点O作OF⊥ AD于点F(图略)，则∠ODE=90°，DE=CE,OD= 1 3 0A=2AC=2, DF=AF=ZAD=0,∠OAD=∠0DA, 1 ∴.∠OAD+∠B=∠ODA+∠EDB=90°， ∴∠B=∠EDB,∴BE=DE,∴BE=CE=DE. 9 AF AC10 3 osA-O8,即85解得AB=5, 2 .BC=√AB2-AC=4, 1 1 DE=BE=CE=2BC=2X4=2.故选B. 教材变式专题4切线性质的应用 【例】解：(1)略(2)AC2=AD·AB(3)略 (4)①∠G=30°，⊙0的半径是2 ②如图，连接OC,EC,过点C 作CF⊥AG于点F. 可证△DEC∽△DCA,△ACFn △CBF, ∴.DC2=DE·DA,CF2= BF·AF. ,AC平分∠DAB,CD⊥AD,CF⊥AB, .CF=CD,.DE·DA=BF·AF. .AD=AF,..DE=BF=2,..AF=6. 由(2)，知AC2=AD·AB,∴.AC2=48, ∴CD=√JAC2-AD=2√3. :CO∥AD,∴.△ADGn△OCG, 六C0:AD=CG:DG,即62W5+CG1 4 CG 解得CG=4√3. 另一种解题思路：连接BE,OC交于点M(图略)，易 得四边形CDEM为矩形，OM为Rt△ABE的中位 线，CM=2,则OM=2.在Rt△OBM中，利用勾股定 理求得BM的长，从而求得CD,CG的长. 【跟踪训练】 1.(1)45°(2)2 2.(1)67.5°(2)5 31路e号 24.5三角形的内切圆 1.B2.c3.A4.D5.103 6.解：如图，⊙0即为所求. B￥ 7.解：，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm,BC= 9 cm,.'.AB=AC+BCT=15 cm. 解法1（切线长定理）：连接OD,OF(图略) 在四边形ODCF中，OD=OF,∠ODC=∠OFC= ∠C=90°， .四边形ODCF是正方形，∴.OD=OF=CD=CF=r 由切线长定理，得AD=AE,CD=CF,BE=BF, ..CD+CF=(AC-AD)+(BC-BF)=(AC- AE)+(BC-BE)=AC+BC-(AE+BE)=AC+ BC-AB,:.CD-CF-(AC+BC-AB), 1 即r=2×(12+9-15)=3(cm). 解法2（等面积法）：SAAc=2AC·BC=2(AC+ BC+AB)·r, 即2X12×9=2×(12+9+15)·r,解得x=3, ∴.⊙O的半径r为3cm. 8.解：连接AF(图略)，则AF过点O,且AF⊥BC 在R△ABF中，BF=BC=号×10=-5， .AF=√AB2-BF=√132-5=12. 解法1（等西教法）：SA=号BC,AF=号×10X 12=60. 设⊙0的半径为r,则2×(13+13+10)×r=60, 36