专题1 求锐角三角函数值常用的四种方法（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

第一章直角三角形的边角关系 专题个求锐角三角函数值常用的四种方法 方法1定义法 方法2设参法 (方法指导直接运用定义求锐角的三角函数值， 「方法指导若已知两边的比值或一个锐角的三 首先求出相应边的长度，再运用三角函数的定义代 角函数值，则可设参数，进而根据勾股定理及锐角 入计算即可 三角函数的定义，计算任意锐角的三角函数值。 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC= 1 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA= 2 5,下列结论中，正确的是 ( 则cosB的值为 () 12 A.tan B= B.tan A= 5 12 B36 c唱 C.sin A-12 3 D.cos B-3 A唱 5 5.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点 2.直角三角形纸片ABC的两直角边长分别 3 为6,8，现将△ABC按如图所示的方式进 E,cosA=号，BE=4,则tan∠DBE的值 行折叠，使点A与点B重合，折痕为DE, 是 则tan∠CBE的值是 4 3 A.3 C.2 2 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， 的中点，DE⊥AB交AC于点E,连接BE, AD⊥BC于点D.若BD:CD=3:2,求 BE=5,sin∠CBE= tanB的值. 5 (1)求BC的长； (2)求tanA的值. 2一本·初中数学9年级下册BS版 方法3等角转化法 方法4构造直角三角形法 '方法指导当一个锐角的某个三角函数值不容 ●方法指导若要求的三角函数值对应的角不在 易求解时，可以借助与其相等的一个角进行转化， 直角三角形中，则需要根据已知条件构造直角三角 进而求出其三角函数值。 形来解决（作高、平行线等）. 7.(2024·铁岭四中期末)如图，在Rt△ABC中， 10.如图，在正方形网格中，每个小正方形的 ∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB 边长均为1.若点A,B,C都在格点上，则 于点N,AN=3,AM=4,则cosB的值为 sin∠BAC的值为 () ( 1 A.2 2√5 B.2 C. 3 5 D1 A. B. D. 4 4 B B B E 第10题图 第11题图 第7题图 第8题图 11.如图，在△ABC中，CA=CB=4,c0sC= 8.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点 O,OE⊥AC交BC于点E,连接AE.若 4,则sinB的值为 AB=1,BC=√3，则tan∠EAO的值为 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为 BC上-点，AB=5,BD=1,tanB=3 [变式]在第8题的条件下，sin∠BOE的 值为 ∠BAD=a. 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC= (1)求AD的长； BC=4,将△ABC折叠，使点A落在边BC (2)【一题多解】求sina的值. 上的点D处，EF为折痕.若AE=3,求 sin∠BFD的值. D 第一章直角三角形的边角关系3,四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠A十∠BCD=180° .∠BCD=120°，.∠A=60°，.∠BOD=120° .OB=OD,OH⊥BD,∴.BH=DH,∠BOH=60° .⊙O的半径为6，.BH=OB·sin∠BOH=6Xsin60°= 6X③ 2 =3/3,∴.BD=2BH=63. 解法2（作直径，将弦构造成直角边）： 如图，作直径DE,连接BE.由圆周角定E 理，得∠A=∠E,∠EBD=90° 0 四边形ABCD内接于⊙O, .∠A+∠BCD=180°. ∠BCD=120°，.∠A=60°，∴.∠E=60° ⊙0的半径为6，.DE=12, ÷BD=DE·sinE=12Xsim60=12x5=65. 2 【变式】A8.C9.D 10.解：(1)证明：如图，连接OA,则OA=OC. .BC是⊙O的直径，.∠BAC=90° ,∠ABE=∠CAE,∠OCA=∠OAC, ∴.∠OAE=∠CAE+∠OAC=∠ABE+∠OCA=90°， .OA⊥AE.OA是⊙O的半径，.AE是⊙O的切线， (2)12√2 11.B12.C13.8x 中考新趋势 1432.40x3号-25 4.(1)③(2)7.68 专题提升 第一章直角三角形的边角关系 专题1求锐角三角函数值常用的四种方法 1c273.)a(②)4c5c65 7.D 7 8 【变式1号9号1o.D11 A 12,解：I)在R△ABC中，∠C=90,amB-,AB=5, ∴.可设AC=3x,BC=4x. .AC2+BC2=AB2,∴.(3.x)2+(4x)2=52, 解得x=-1(舍去)或x=1,.AC=3,BC=4. BD=1,∴.CD=3,.AD=√CD+AC=32. (2)解法1：如图，过点D作DE⊥AB于点E. ·答 A B- D 5 3 DE5√2 ∴sina=AD3√2101 解法2：如图，过点B作BM⊥AD,交AD的延长线于点M B&'D C M 由(1)，得CD=AC=3,∴.∠ADC=45°，∴.∠BDM=45°. 在Rt△BMD中，BD=1, BM=BD·sin∠BDM=IXE=-Y2 22 ④ BM2_√E Rt△BMA中，sima=ABF5日 专题2利用三角函数解决实际问题的三种模型 1.纪念碑主碑AB的高度约为12.5m 2.世纪钟建筑AB的高度约为40m 3.(1)电池板顶端点C离地面的高度为10.5米 (2)灯臂AB的长度约为1.9米 4.此河段的宽CD为(40√3+30)m 专题3综合与实践 1.(1)最短距离约为15海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 2.任务一：冬至14° 任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能 热水器 第二章二次函数 专题4二次函数图象的平移与对称 【例1】A【变式1】B【变式2】D【变式3】D 【变式4】<【例2】B【变式1】D 【变式21C【变式3】D【变式4】x=号 专题5二次函数的实际应用 1.(1)40m (2)当FG的长为20m时，△ABC空地改造的总投资最 小，最小总投资为26400元 案10.