第1章 直角三角形的边角关系测试卷-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

第一章测试卷 则am∠ACE=号-C元-CT EGDH 1.C2.B3.D4.D 5.D【解析】如图，过点D作DE⊥BC于点E,交AB 设EG=5k,CG=5k, 于点F,则∠BEF=90°. D 由题意可知，∠ABC=60°， 期CE=VCG+EG=2万k,AE=EG 3k sinA= sin60= ∴∠BFE=90°-∠ABC=90°-60 EG 3k =30°， 2k.AG=- tanA tan60=. 跳=R AC=AB,∴CG+AG=BE+AE, 5k+k=4+2k,解得=1， AD⊥AB,∠A=90° ∴.CE=BD=2√7，CD=AE=2. ∠AFD=∠BFE=30°，AD=20cm, 设DH=√5x,CH=5x, DF=2AD=40 cm.AF-1n30=20/3 (cm). 则CD=√CH+DH=2√万x, :AB=160cm, .BF=AB-AF=(160-20√5)cm, 27x=2,解得x= 7· ∴.EF=BF·sinB=(805-30)cm, DH ∴.DF= ∴.DE=EF+DF=805-30+40=(80√3+10)cm, sinZDFH= sin60°=2.x 即该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为 7 (80√5+10)cm. 6.A【解析】如图，过点G作GM BF=m-D球=2-29-9 7 ⊥AB于点M. 由题意，得∠DGF=∠JGH= 12. 【解析】由题意，得BM=3rcm,CN 90°，DE=DG=JG=1,DG ∥EF. 2tcm,AB=√JAC+BC=10cm,则BN=(8- ∠FGH=60°， 21)cm. .∠DGJ=120°. :△BMN是等腰三角形，∴.分以下三种情况讨论： DG=JG. ①当BM=BN时，31=8-2t, .∠GD.M=∠GJM=30°，DM=DJ. 、8 解得1= DG∥EF, ∴∠A=∠GDM=30°， ②当BN=MN时，如图①，过点N ·AE=DE 作NP⊥BA于点P, tan30=3DE= ∴BP=BM=号m 5aue=7AE·DE= BC BP 8 2 :cosB=AB=B示=10 因① G=DG= DM= 2 BP=N=号x8-2)=(号-)em ∴DJ=2DM=√5， 32-8,3 5-1=2 .5amD GM 2 解得-分 7.368.60°9.7 5 10.6 ③当BM=MN时，如图②，过点M 作MQ⊥BC于点Q. 11.126 1 7 【解析】在等边三角形ABC中，BC=AC= 六BQ=zBN=(4-t)cm. AB,∠BCD=∠A=∠ABC=60° BQ BC 8 cosB=BM-AB=10 图2 又：CD=AE, ∴·△BCD≌△CAE(SAS), ∴∠CBD=∠ACE,BD=CE BQ=BM 121 5 cm, :∠BFE=∠DFC=∠CBD+∠BCF, ∴.∠BFE=∠DFC=∠ACE+∠BCF=∠BCD 5 =4-1解得1-器 =60°. 如图，过点E作EG⊥AC于点G,过点D作DH⊥ 综上所述，当：=号支支器时，△BMN是等腿三 CE于点H, 角形. 56 数学九年级BS版 13.解：1原式=4x-×号-万×+2×号 .∴.EF=FM-EM=10.38-6≈4.4(m). 答：矩形电子屏幕的高度FE约为4.4m. =2-1-1+5 19.解：(1)证明：，AB=AC, =5. ∠B=∠C (2)如图，过点B作BC⊥MN,垂足为C, :∠EDF=∠B,∠EDC=∠B+∠E=∠EDF 过点O作OD LBC,垂足为D. +∠CDF, 由题意，得∠OAC=90°，∴.四边形OACD ·∠E=∠CDF, 为矩形， ∴△BDEn△CFD. ∴.∠AOD=90°，AO=CD=34cm. (2)连接AD,如图. :∠AOB=140°， :D是BC的中点，AB=AC, .∠BOD=∠AOB-∠AOD=50°. .BD=CD,AD⊥EC 在Rt△BOD中，OB=22cm, 4 :AB=10.cosB= .∴.BD=BO·sin50°≈22×0.77=16.94(cm), ∴.BC=BD+DC=16.94+34≈50.9(cm). CD=BD=AB·cosB=8. ∴点B到桌面MN的距离约为50.9cm. 由(1)可知，△BDE∽△CFD. .BD BE 14.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=12,b=45, ·cF=cD ∴c=a+6=85, .CF·BE=8X8=64. 'sinA=4=123 c852 20.解：1)把(m1代人y=x-1中，得1=7m-1, ∴∠A=60°，∴∠B=30 .m=4,即C(4,1). 故c=85,∠A=60°，∠B=30° 把C(4,1)代入y=左中，得k=4. x 15.解：由题意可得∠B=26°. (2):AC∥x轴， 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=9km, .∠CED=90° .AC=AB·tanB≈9X0.49=4.41(km), BC=AB 9 :∠ABC=90°，∠ECD=∠BCA. cos260.90=10(km). .∠A=∠EDC. .AC+BC=4.41+10≈14.4(km). 由C(4,D,直线y=2x-1.得E0.1D,D0,-1D, 故此时从A地到B地需行驶14.4km. ∴.EC=4,ED=2, 16:在R△ABD中∠BAD-0-, .EC 六tanA=tan∠EDC=ED=2, BD=AD=×12=9. 21.解：(1)由题意可知，AF∥MD,AB=20m,∴∠ACM =∠FAC=a,MC=AB=20m. .CD=BC-BD=14-9=5. 在Rt△ACM中，AM=CM·tan∠ACM=CM· 在Rt△MCD中，AC=√AD+CD=√12+5=13. tana=20X2=40(m). AD 12 ∴sinC=Ac=i3 故无人机的飞行高度AM为40m. (2)如图，连接BC. 17.解：(1)如图①，点B即为所求（答案不唯一） 30 AF∥MD,AB=MC, (2)如图②，点B即为所求 ∴.四边形AMCB是平行四 边形 ∠AMC=90°，∴.四边形 AMCB是矩形，÷∠BCM=90°，BC=AM=40m. 图① AF∥MD,∴∠BDC=∠FBD=30°，∴.CD= 18.解：如图，延长FE交AB于点M BC an30='=403(m :四边形DEFG是矩形， 喻 .∠FED=90 3 DE∥AB, 故河流的宽度CD为40√万m. .∠EMA=90° 22.解：(1)30°45° 在Rt△EAM中，∠EAM=37°，AE=10, (2)如图，过点M作ME⊥AB于点E. .'.EM=10sin37°≈10×0.60=6，AM=10cos37°≈ 由(1)可得∠A=∠BMA=30°， 10×0.80=8. .BM=AB=20 n mile. 在Rt△FCM中，∠FCM=60°，MC=8-2=6. ∴.在Rt△BEM中，EM=BM·sin∠EBM=20X .FM=6tan60°=6X510.38, sm60=20 2 -=l0√5(n mile). 下册参考答案 故灯塔M到轮船航线AB的距离为北1 x=-1.把x=-1代入y=x2+m.x+m,得y=1. 1o√5 n mile. ∴C,与C:的交点坐标为(-1,1)，故①正确， (3)如图，过点C作CD⊥AB于 :抛物线C,:y=x2十mx+m与抛物线C:y=x 点D. 十x十n的开口方向和大小相同，且AB=CD, CD⊥AB,ME⊥AB,AB.CM都 两抛物线关于直线x=一1对称， 是正北方向， .四边形CDEM是矩形， “C,的对称轴直线x=一-受和G的对称轴直线： ∴.CD=EM=l0√5 n mile.DE=CM, =一2关于直线x=一1对称， ∴.在Rt△BEM中，BE=BM·cos∠EBM=20X cos60=20×2=10(n mile. -2-2=-2 .m十n=4,故②正确： 在Rt△CDB中，∠DBC=45, 由题意可知，m>2,n<2或m<2,n>2. .∴BD=CD=103 n mile, mn>0不一定成立，故③错误： ∴.CM=DE=BD-BE=(10√5-l0)n mile.. 由②，得A,D两点关于（一1,0）对称，故④正确。 故港口C与灯塔M的距离为(10√5-10)n mile. 12.(1+√瓦，3)或(1-√2,3)【解析】：△MCD是以 23.解：(1)60°20√6 CD为底的等腰三角形，∴·点M在线 (2)由题意，得BC=40×0.5=20(n mile). 段CD的垂直平分线上， :CD∥BE,∴.∠DCB+∠CBE=18O. :抛物线y=一x2+2x十4与y轴交 ∠DCB=30°..∠CBE=150° 于点C,.C(0,4).D(0,2) 又：∠ABE=75°，∴∠ABC=75°， .CD的中点E的坐标为(0.3) A ∠B4C=180°-30°-30°-75°=45° 如图，过点E作CD的垂线与抛物线交于点M,M', BC 在△ABC中 AB 点M,M的纵坐标均为3.在y=一x2+2x十4 'sin∠ACB sin∠BAC 中，令y=3,得-x+2x+4=3,解得x1=1+√2， 即、AB 20 sin60 sin45 x:=1-√2，.点M的坐标为(1+√2,3)或(1-√2， 3). .AB=10√6 n mile≈24.5 n mile. 13.解：(1)把(0,9)代人y=x2-4x+c中，得c=9, 故货轮距灯塔A的距离AB约为24.5 n mile. ∴y=x2-4x+9, 第二章测试卷 一4 1.B2.A3.C4.C 六抛物线开口向上，对称轴为直线x=一2X-2。 5.A【解析】由题意，得该抛物线的顶点坐标为(0， 2<3<4,∴y1<y 一100)，则可设该抛物线的表达式为y=a.x一100. (2)易知抛物线y=2x-4x一1的顶点为(1，-3)， 将(250.0)代入y=ax2-100,得2502a-100=0,解 与y轴的交点为(0.一1)， ∴所得到的图象的顶点为（一1，一3），与y轴的交点 得a=62西5该抛物线的表达式为y=25-10。 亦为(0，一1). 6.C【解析】根据图象可得，抛物线的开口向下，交y轴 ∴可设所得到的图象对应的函数表达式为y=a(x 于正半轴， +1)2-3.把(0，-1)代入，得-1=a·(0+1)2-3, .a<0,c>0. 解得a=2. 又：抛物线的对称轴在y轴右侧， ·所得到的图象对应的函数表达式为y=2(x十1) -会>0b>0 -3,即y=2x2+4x-1. 14.解：(1)由题意可知，二次函数y=ax+bx+c的图 ∴ac<0,故结论①正确： 象过点(0，一2)，(1，一2)， 由函数的图象可得，当x=一2时，y<0,即4a一2b+ c<0, 六该二次函数图象的对称轴为直线x=+=1 2=2 即4a+c<2b,故结论②错误： =-2 :二次函数y=ax+bx十c的图象交x轴于A,B两 点，点A(一1,0)，点B(n,0), :(-1,0)关于直线x=的对称点为2.0. ∴关于x的方程ax2+x十c=0的解是x1=一1，x: ,∴.n=0. =1:一名=一放结论@正确， c=-2.∴y=a.x+bx-2.将(-1,0)和(1.-2) 综上，结论正确的有3个. 代人，得二二？=0，解得a1, a+b-2=-2, 1b=-1. 7.y=3(x+2)-18.>9.-2(答案不唯一) 该二次函数的表达式为y=x一x一2. 10.25 (2)点Q能在该函数图象上.把y=4代人y=x一x 11.①②④ 【解析】令x十mx十m=x2十nx十n,解得 -2,得x一x-2=4, 58 数学九年级BS版数学 九年级S版下田《 9.如图所示的是5X4的网格，每个格子都为正方形.A,B,C,D,E均为正方形顶1+.在R△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b(,a=12.= 点，线段AB,CE交于点O.in∠BOE 4瓦，求出直角三角形的其他几个元素。 第一章测试卷 (考试时间：120分钟 满分：120分】 班顿 姓名： 得分： 一，单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分】 第9期国 吴10题画 10(225武汉模拟)如图，电流表是测量电流必不可少的工其，把指针旋转中心记 1.了030的值是 为O点，针尖记为A点，指针顾时针旋转后，针尖记为B点，连接AB。若 A若 R号 ef n号 n∠OAB=子AB=5,则指针的长度是 IL,如图，等边三角形ABC中，点D在AC上，点E在AB上，CD=AE,连接BD, 2.在Rt△ABC中，∠C=90,BC■1，AC■√5，那么cosB的值是 15.如下图，某人乘车从A地去B地，B地在A地的正北方向，且距离A地9km, 但A,B两地之间的道路正在维修无法通过，按导航指示，车辆沿正西方向行 A号 R号 e n CE交于点F,nn∠ACE=尽，BE=4BF的长为 驶到C地，再沿北偏东26方向行驶可到达B地，此时从A地到B地需行驶多 少千米（结果精确到0.1km,参考数据：sn26”≈0.44，co26≈0.90，tnn26” 3学校开敏日即将来脑，负责布置的林老师打算从学校图书第的顶楼拉出一条彩 0.49) 旗绳AB到地面，如图所示，已知彩旗绳与地面形成的角度为25（∠BAC= 25),卷旗绳固定在地面的位置与图书第相距32m(AC■32m),则卷旗绳AB 的长度为 32 32 第11 第12是图 A.32xin25°m B.32cox25"m C.sin25*m D.- 025m 12(2025九江期中)如图，R△ABC中，∠ACB=90°.AC=6cm,BC=8cm动点 M从点B出发，在BA边上以3cm/s的速度向点A运动，同时动点N从点C 出发，在CB边上以2cm人的造度向点B运动，运动时间为：(0<<号），连 25 32m 接MN,当t= 时，△BMN是等腰三角形 第3题 第5题 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 4.某商场准备改善原有楼稀的安全性能，把坡角由37”减至30.若原楼梯的长为 13(1)计算：4sim30'-√2cos45°-5tan30'+2sin60 16如下图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D.若BC=14,AD=12,tmn∠BAD= 5m:则调整后的棱棉加长的长度约为（参考数据：n37产一子37r一行 子求mC的值 m37r=2) A.6m .3m C.2 m D.1 m 5.如图所示的是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图.已知手柄AD⊥滚轮 连杆AB,且AD=20cm,AB=160cm,连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该 (2)如右图，台灯支点O到桌面的距离QA为34cm,灯罩OB长 偏圆机的机身高度（点D到地面的距离）为 () 22cm,可绕支点O上下转动.现测得∠AOB■140°，求点B到桌面 MN的距离（结果精确到0.】cm,参考数据：sin50°w0.77,cos50° A.80√2cm &805cm C(80wE+20)cmD.(80w5+10)cm 0.64.tnn50°=1.19). 6.(2025沧州模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两个边长为1的正方形 DEFG,GHIJ的题点D,E.F,I,】均在△ABC的边上，当∠FGH=60'时： 17,如图，射线OA故置在4×5的正方形虚线网格中，请你仅用无刻度直尺在图中 S△@的值为 找出格点（小正方形的顶点）B,并连接OB,AB,使△AOB为直角三角形。 并且： c n (1)在图①中使tan∠AOB的值为1. 二，填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） (2)在图②中使a☑AOB的值为乞 7 7.在△ABC中，∠C=90,imA=写，AB=15,则△ABC的周长是 8在锐角三角形ABC中，√m-万+(oB- =0,则∠C的度数是 盟① 121 122 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 六、解答题（本大题共12分） 18.(225宝鸡模拟)某学校教学楼正面安装了一块电子屏葛，滚动播放学校“美德 2L,某校数学兴要小组借助无人机测量一条河流的宽度CD,如下图，一架水平飞行 23,在锐角三角形ABC中，∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边分别是4，b,r,过点A 少年“先进事连.如下图，矩形电子屏幕DEFG周定在台阶衡部DE处，DE∥ 的无人机在A处测得正前方河流左岸C处的俯角为▣，无人机沿水平线AF方 AB,在台阶底部A处测得坡AE的坡角为37，坡AE长为10m,沿AB方向 向继续飞行20m至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30.AM为无人 作AD⊥BC于点D(如图D),则n∠ABC=A ,n∠ACB=4D ，即AD= 前进2m到达C处，测得屏幕顶部F的仰角为60，求矩形电子屏幕的高度 机的飞行高度，点A.B.F,M.C.D在同一平面内，其中te=2,C=AB.求： csim∠ABC,AD=bsim∠ACB.于是csim∠ABC=hin∠ACB,即 6 FE(结果精确到0.1m,测角仪的高度忽略不计：参考数据：sn37广=0,60， (1)无人机的飞行高度AM, inZABC= cos37w0.80,tmn37w0.75:2w1.41√5w1.73), (2)河流的宽度CD. mZAC同理，有nAC"nBAC·nBC“nAC·所以 inZBAC一nZABC"sSin∠ACB·即在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦的比相等，在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结 论和有关定理就可以求出其余三个未知元素，根据土述材料，解答下列问题： 4575 30e I9.如下图，在△ABC中，AB=AC.∠EDF=∠B,D是BC的中点，点E在BA 图① 的延长线上，点F在边AC上，连接DE,DF. (1)如图②.在△AC中，∠ABC=45,∠ACB=75,BC=60,则∠B4C= (1)求证：△BDEc△CFD. AC■ (2)当AB=10oB=行求CP·BE的值。 (2)如图⑧③，一艘货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30'的方向上，随后以 40nm/h的速度向北偏东30的方向航行，半小时后到达B地，测得灯塔A 22.如右图，一腹轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30方 在货轮的北偏西75的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB(结果精确到 向上，轮船沿着正北方向航行20 nmile到达点B处，测得灯塔 0.1nmle,参考数据W6w2.449). M位于点B的北偏东60°方向上，测得港口C位于点B的北 45 偏东5方向上，已知港口C在灯塔M的正北方向上， (1)填空：∠AMB= L·∠BM= (2)求灯塔M到轮船航线AB的距离。 (3)求港口C与灯塔M的距离. 0.如下图，反比例函数y-使0)的图象与一次函数y=宁一1的图象相交 于B.C两个点，其中点C的坐标为(m,1).已知BC交y轴于点D,点A在第 二象限内.∠ABC=90°，AC∥x轴，交y轴于点E.求 (1)m,k的值 (2)tnM的值 123 124