第1章 直角三角形的边角关系章末复习&中考新趋势（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

章未复习 ■ 错题本 4高频考点精练、 考点1锐角三角函数 sinB的值为 ( 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AC=2,BC= 7 7 3,那么下列各式正确的是 () 63 D12 2 A.sin B= B.e0SB=号 2 C.tan B= 3 D.tan B=- 2√13 13 D B 第4题图 第5题图 2.(2024·江西)将如图1所示的七巧板，拼成如 5.(2025·鞍山立山区三模)如图，在△ABC中， 图2所示的四边形ABCD,连接AC,则 tan∠CAB cos C= 2AB=3,AC=2,则△ABC的面积 为 () A.3+2 B.3+22 2 2 图1 图2 C32+v3 D.33+2 2 2 3.计算： 6.(2025·自贡)如图，在平面直角坐标系中，将 (1)tan60°+sin45°-2cos30°； △ABO平移，得到△EFG,点E,F在坐标轴 上若∠A=90,amB=2,A(-4,3),则点G 坐标为 () (2)(-2024)°-2tan45°+|-2+√9. A.(11,-4) B.(10,-3) C.(12,-3) D.(9,-4) 7.【一题多解】如图，在Rt△ABC中，延长斜边 BC到点D,使CD=号BC,连接AD.若am B-4 ,则tan∠CAD的值为 考点2解直角三角形 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边 BC上.若AC=5,BD=7,tan∠ADC=1,则 18一本·初中数学9年级下册BS版 8.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，10.(2025·沈阳沈北新区期末)随着城镇化建设的加 ∠ADC=90°，AB=6,CD=4,BC的延长线与 快，高层建筑逐渐增多，为防患于未然，开辟新 AD的延长线交于点E, 的救援通道，某城市消防中队新增添一台高 (1)若∠A=60°，求BC的长； 空救援消防车.高空救援消防车实物图如图1 (2)若simA=5,求AD的长. 4 所示，其侧面示意图如图2所示，点O,A,C 在同一直线上，CO可绕着点O旋转，AB为 云梯的液压杆，点O,B,D在同一水平线上， 其中AC可伸缩，已知套管OA=4m,且套管 OA的长度不变，现对高空救援消防车进行调 试，测得∠ABD=53°，∠COD=37°. (1)求此时液压杆AB的长度； (2)如图3，若消防人员在云梯末端工作台点 C处高空救援时，将AC伸长到最大长度，云 梯CO绕着点O逆时针旋转27°，即∠COC'= 27°，过点C作CG⊥OD,垂足为G,过点C 分别作CE⊥OD,垂足为E,CH⊥C'G,垂足 为H,测得铅直高度升高了3m(即C'H= 3m),求AC伸长到的最大长度.（参考数据： 考点3三角函数的实际应用 sin37°≈0.60，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80， 9.(教材P25复习题T10变式)(2025·广安)随着科技 tan53°≈1.33，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44) 的发展，无人机在实际生活中应用广泛.如图， O,C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖 直上升到A点，在A点测得C点的俯角为 D 30°，A,C两点的距离为24m.无人机继续竖直 上升到B点，在B点测得C点的俯角为 图1 图2 36.9°.求无人机从A点到B点的上升高度 AB.(结果精确到0.1m,点O,A,B,C在同一 平面内，参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈ 0.80,tan36.9°≈0.75，√3≈1.73) 之 36.9T71B 图3 30≥4 -0 第一章直角三角形的边角关系19 4易错易混专练、 9易错点1未言明三角形是直角三角形，缺少 (2)2cos30° tan260° 证明三角形为直角三角形的步骤 3tan45+V(sin60°-1)7. 1.已知在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别 为a,b,c,且a=13,b=12,c=5,求sinB 的值. 9易错点3忽略分类讨论导致漏解 角度1直角不定 6.在Rt△ABC中，AC=4,BC=3,则cosA的值 为 () 2.【一题多解】如图，在△ABC中，AC=1,AB=2, 、3 ∠A=60°，求cosB的值. B c号 n2 5 7.如图，已知sinO= √3 3, OA=6,P是射线ON上 的一个动点，当△AOP为直角三角形时，AP 9易错点2混淆特殊角的三角函数值 的长为 3.已知∠A是锐角，若sim(∠A+15)=,则 角度2形状不定 8.在△ABC中，AB=2√5，AC=2,∠B=30°，则 tanA的值为 ∠C= B 3 C.1 D② 2 [变式1]在△ABC中，tanA= 4,AB=5, 4.在△ABC中，若sinA- 1 +(1-tanB)2= BC=4,则AC= 0,则∠C的度数是 [变式2]在△ABC中，AB=10,AC=2√7， A.45° B.60° C.75° D.105° ∠B=30°，则△ABC的面积为 5.计算： 角度3点位置不定 9.已知正方形ABCD的边长为2，P是直线CD 1)2cos45°)an30°cos30°+sin2609 上一点.若DP=l,则tan∠BPC的值是 [变式]在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5, tan∠CAB=3,D为直线AB上一点，AC= AD,则tan∠CDA的值是 20一本·初中数学9年级下册BS版 中考新趋势 1.【新情境·数学文化】(2024·资阳)第14届国际 tan80°≈5.6713，√3≈1.732) 数学教育大会的会标如图1所示，会标中心的 图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如 图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形 (△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和一个小 正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若 图1 图2 4.【新情境·生活情境】某小区门口安装了汽车 EF:AH=1:3,则sin∠BCF= 出人道闸，当道闸关闭时如图1所示，四边形 ABCD为矩形，AB长3m,AD长1m.AH, MN与水平地面垂直，点D到地面的距离DH 的长为0.2m.如图2，在道闸打开的过程中，边 ICmE-14 AD固定，连杆AB,CD分别绕点A,D转动， 图1 图2 A号 喝 且边BC始终与边AD平行.一辆轿车想要通 过道闸，已知轿车宽1.8m,高1.6m,当道闸打 开至∠ADC=35°时，轿车能否安全通过道闸？ 2.【新情境·跨学科】小明在科普读物中了解到 请说明理由.（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈ 每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入 0.82,tan35°≈0.70) 该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正 弦值之比，即折射率”三”位为人射角，为 折射角).如图，一束光从空气射向横截面为直 图1 角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边 AC的方向射出，已知i=30°，AB=15cm BC=5cm,则该玻璃透镜的折射率n为() 法线 A.1.8 B.1.6 C.1.5 D.1.4 3.【新情境·传统文化】(2024·宁夏)三星堆遗址 图2 出土的陶盉(hè)如图1所示，图2是其示意 图.已知管状短流AB=2cm,四边形BCDE是 器身，BE∥CD,BC=DE=11cm,∠ABE= 120°，∠CBE=80°.器身底部CD距地面的高 度为21.5cm,则该陶盉管状短流口A距地面 的高度约为 cm.(结果精确到0.1cm, 参考数据：sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736， 第一章直角三角形的边角关系213三角函数的计算 1.B2.c 3.解：(1)原式≈0.3746. (2)原式≈0.8541. (3)原式≈0.8029. (4)原式≈7.3373. 4.A 5.解：(1)0≈1931'28 (2)0≈3314'37". (3)0≈46°45'52" (4)0≈7417'30" 6.B7.该建筑的高度BC约为262m8.A 9.(1)遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190cm (2)遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm 10.解：(1)====== 1 (2)证明：”SaAc=2AB·sin2a·AC,S△Ac= 2 2 ABsin a·ACcos a, 1 2AB·sin2a·AC=2X2 ABsin a·ACcos a 即sin2a=2 sin acos a. 4解直角三角形 1.c 2.(1)b=5,∠A=∠B=45° (2)c=4J3,∠A=30°，∠B=60° 3.B4.35.3+十43 6.(1)∠B=30°，a=3,b=√3 (2)∠A=54°，c≈4.9，b≈2.9 7.AB=√6，BC=√3+1 8.43+3或4√3-39.C10.A11.2.7 12.(1)BC=14 (2)sin/DAE=37 37 1 13.SAnD2absin a 5三角函数的应用 1.303海里 2.10.4【解析】如图，过，点A作AE⊥BC,交BC的延长 于点E. B E东 由题意，得∠BAE=60°，∠CAE=30°，∠ABC=30 /ACE=60°. 解法1：.∠BAC=∠ACE-∠ABC=30°， ∴.∠BAC=∠ABC,∴.AC=BC=12 n mile. 在Rt△ACE中，sim∠ACE=AE AC' AE=AC·sin∠ACE=12XB 2 =65≈10.4(n mile), ∴.小岛A到航线BC的距离约为10.4 n mile.. 解法2：设AE=n mile. ·BE-CE=BC,BE=x tan 305,CE= tan60°y `tan30°一tan60=12,解得x=63, .∴.AE=63≈10.4(n mile), .小岛A到航线BC的距离约为10.4 n mile. 3.(50√/3+50) 4.信号杆的高度AB约为16m 5.(50-10/3)【变式】(415-2√/5) 6.(1)AB的长为6m (2)物体上升的高度CE约为2.7m 7.(1)AH的长约为54米 (2)建筑物MN的高度约为27米 6利用三角函数测高 1.A 2.教学楼BC的高度约为24m 3.51 4.这座山AB的高度约为112m 5.该通信塔的塔杆PD的高度约为56.3m 6.(1)DE=3m (2)塔AB的高度约为11m 章末复习 【高频考点精练】 1 1.c2.2 1 3.(1)2 (2)44.A5.C6.B 7【解折】在R△ABC中，mB-侣， AC 4 ∴.可设AC=4k,AB=3k, .由勾股定理，得BC=5k。 CD 1 :CD=2BC,…心BD=3 解法1（内部构造直角三角形，直接求）： 如图，过，点C作CH⊥AC,交AD于点H,.∠ACH=90° A H 0 .∠BAC=90°，.AB∥CH, ∴∠HCD=∠B,∴.△HCD∽△ABD, 答案2· CH DC 8-SCH=子AB=, :.在R△ACH中，tan∠CAD=AC46=4: CH k 1 解题思路2（内部作平行，等角转化）： 如图，过点C作CE∥AD,交AB于点E. A E 解题思路3（外部构造直角三角形，直接求）： 如图，过点D作DN∥AB,交AC的延长线于点N. D 8.(1065-8(2)4 3 9.无人机从A点到B点的上升高度AB约为3.6m 10.(1)此时液压杆AB的长度约为3m (2)AC伸长到的最大长度约为6m 【易错易混专练】 号 2.解：解法1：过点B作BD⊥AC于点D(图略)， 则∠BDA=90 ∠A=60°，.∠ABD=30°， AD=号AB=1=AC,点D与点C重合， ,.△ABC是直角三角形，且∠C=90°， BC=√AB2-AC=√5， t.cos 解法2：如图，过点C作CD⊥AB于点D. A D B 在R△ADC中，osA=AD AC,sin A=CD C 11 AD=AC cos A=1X2-2CD=AC sin A=1 √3√3 22 在R△BDC中，BD=AB-AD=?-号- C-VB0CD-5,asB-股-g 3.B4.D5.(1)w2(2)3 2 6.C7.2/3或3√/28.60°或120 【变式1】4+√7或4-√7【变式2】15√3或10√3 92或号【变式12或日 中考新趋势 1.C2.C3.34.1 4.轿车能安全通过道闸，理由略 第二章二次函数 1二次函数 1.A2.D【变式】(1)4(2)-1 3.y=3x2+3x-633-64.A5.y=x2+2x6.C 7.y=(50-x)(200+10x)(或y=-10x2+300x+10000) 8.(1)±√5(2)2士√29.B 2二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y=x2与y=一x2的图象与性质 1.C2.C3.<4.(1)-4(2)增大(3)(2,4) (-2,-4)(-2,4)(4)CB,D 5.C6.x轴原点1807.B 8.D【解析】解法1（代入计算判断y值大小）： 当x=一2时，y1=一4；当x=一1时，y2=一1，；当x=5 时，y3=-25.故y3<y1<y2, 解法2（利用图象判断y值大小）： y=一x2的图象如图所示，由图象可得y3<y1<y2 y 解法3（利用到对称轴的距离判断y值大小）： y=一x2的图象开口向下，对称轴为y轴，离y轴越远y 的值越小，.y3<y1<y2. 【变式】D9.2π10.(1)(-3,9)27(2)4√5 第2课时二次函数y=ax2与y=a.x2十c的 图象与性质 1.向下y轴(0,0)增大减小2.C 3.2(答案不唯-)4.-25.A6.B7.A8.y1>y2 g.-110y=号2+4【变式1y=4x2-1 答案3·