第1章 直角三角形的边角关系 易错重难专练-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

易错重 易错易混专练 易错点① 对锐角三角函数的定义理解不透 彻而出错 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边 都扩大为原来的30倍，则锐角A的三角函 数：①sinA;②cosA;③tanA.其中函数值不 发生变化的是 (填序号). 易错点②求三角函数时没有明确三角形为 直角三角形 2.如下图，在△ABC中，AC=1,AB=2,∠A= 60°.求cosB的值， 易错点③ 图形未知，涉及高时，勿忘分类 讨论 3.在△ABC中，若∠A=30°，AC=40cm,BC =25cm,求△ABC的面积. 42 九年级数学BS版 难专练 易错点④ 对坡度的概念理解不准确 4.某居民楼紧挨一座山坡 AB,经过地质人员勘测，当 坡角不超过45°时，可以确 保山体不滑坡.如图所示， 第4题图 已知AE∥BD,斜坡AB的坡角∠ABD= 60°.为防止滑坡，现对山坡进行改造，改造 后，斜坡BC与地面BD成45°角.若AC 20m,则斜坡BC的长约为 m (结果精确到0.1m,参考数据：√2≈1.41， √5≈1.73). 重点难点专练 重难点①解直角三角形与几何图形的综合 1.（2024眉山)如图，在矩形 D ABCD中，AB=6,BC=8,点 E在DC上.把△ADE沿AE 折叠，点D恰好落在BC边 第1题图 上的点F处，则cos∠CEF的值为( R号 c u 2.(2024鞍山模拟)如图，已知∠MON是一个 锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分 别交OM,ON于点A,B,再分别以点A,B 为圆心，大于AB长为半径画孤，两弧交于 点C,画射线OC.过点A作AD∥ON,交射 线OC于点D,过点D作DE⊥OC,交ON于 点E.若OA=10,DE=12,则sin∠MON= 12 24 A. 25 B.25 c.o D.12 M 0 第2题图 第3题图 3.如图，在□ABCD中，∠A=60°，AB=6,BC =1,P为边CD上的一动点，则PB+PD 的最小值为 重难点②解直角三角形与函数综合 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，A为x轴 负半轴上一点，点P的坐标为(a,a)(a>0), 连接AP交y轴于点B.若AB:BP=5:4, 则tan∠PAO的值是 ( A B. C. D. 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，AC=6,BC=10,tanC= 圣，D是AC边上的动点（不与点C重合），过 点D作DE⊥BC,垂足为E,F是BD的中 点，连接EF.设CD=x,△DEF的面积为S, 则S与x之间的函数关系式为 重难点③解直角三角形的实际应用 6.如图①所示的是一款重型订书机，其结构示 意图如图②所示.其主体部分为矩形EF GH,由支撑杆CD垂直固定于底座AB上， 且可以绕点D旋转.压杆MN与伸缩片PG 连接，点M在HG上，MN可绕点M旋转， PG⊥HG.已知DF=8cm,GF=2cm. (1)不使用时，EF∥AB,G是PF的中点，且 点D在NM的延长线上，则MG= cm; (2)使用时，按压MN使得MN∥AB,此时点F 落在AB上（如图③）.若CD=2cm,则压杆 MN到底座AB的距离为 cm. A 图① 图② 图③ 第6题图 7.(2024西安二模)除夕夜小李和亮亮相约去 看烟花.如下图，小李从点B出发，沿坡度 =5:12的山坡BA走了130m到达坡顶A 处，亮亮则沿点B正东方向到达离点A水平 距离为30m的点C观看，烟花在点D处点 燃，并在点D的正上方点E绽放，点B,C,D 在同一水平线上.小李在坡顶A处看烟花绽 放处E的仰角为45°，亮亮在C处测得点E 的仰角为60°（点A,B,C,D,E在同一平面 内).烟花燃放结束后，小李和亮亮帮忙清理 现场的垃圾，他们发现刚才燃放的烟花盒子 上的说明书写着烟花的燃放高度为190士5m 请你帮他们计算一下说明书上写的烟花燃 放高度是否属实（结果保留一位小数，参考 数据：√2≈1.414,3≈1.732). 车 A1459 人60° 下册第一章 23△OA=2.2-1.6=0.6(m), ∴.BT=ST-BS=OP+ON-BS=OA·cos30°+ON-BS =0.6× +1.6-1≈1.12(m). 故此时点B到地面的距离约为1.12m 3.解：任务一： 由题意，得在Rt△ABH中，BH为25m,斜坡AB长为 65m, .AH=√/652-252=60(m), BH-5-1:2.4 :斜坡AB的坡比i=A月品 任务二：如图，过点P作PO⊥ DB,交DB的延长线于点O, 过点F作FQ⊥PO于点Q,交 CE于点R, 则四边形CRQO为矩形，四边 形FDCR为矩形， ..RQ-CO,FR=DC,FD=CR=OQ=1m, ∴.ER=3.5-1=2.5(m). :∠ABH=∠PBO,∠O=∠H=90°，BP=6.5m, cos∠PB0=9=cos∠ABH-3B0=2.5m, 6.5 ∴.P0=√6.5-2.5=6(m), .PQ=6-1=5(m),RQ=C0=10+2.5=12.5(m). EC⊥AB,PQ⊥AB,.ER∥PQ, △EO△FpQ颺-器 :2 FR 5FR+12.5FR=12.5m, .CD=FR=12.5 m. 易错重难专练 易错易混专练 1.①②③ 2.解：如图，过点B作BD⊥AC于点D,则 ∠BDA=90. .∠A=60°，∴.∠ABD=30°， AD-2AB=1-AC: C(D) .点D与点C重合， ∴.△ABC是直角三角形，且∠C=90°，BC=√3， .cos 3.解：分两种情况讨论：①如图①，过点C作CD⊥AB于点D, 则AD=40cos30=205(cm),CD=号×40=20(cm) ∴DB=√/25-20=15(cm),△ABC的面积为×20× (20√3+15)=(200√3+150)cm2: 图① 图② ②如图②，过点C作CD⊥AB于点D,则AD=40cos30° 20√3(cm),CD= 1×40=20(cm),∴DB=√/252-20=15 (cm),△ABC的面积为2X20X(20W5-15)=(200V5 150)cm. 4343433 158 九年级数学BS版 综上，△ABC的面积为(200√3十150)cm或(200√3-150)cm2. 4.66.7 重点难点专练 1.A2.B3.3万4.B5y=-房+2r 6.(1)4(2)2+15 2 7.解：如图，过点A作AG⊥BD于点G, AF⊥DE于点F, 则四边形AGDF是矩形， ..∠AGD=∠AGB=∠AFE=∠D= 45.F 90°，AF=DG,AG=DF. 五60° AG5 B G C 在Rt△ABG中，AB=130m,BCG=12' D .设AG=5km,BG=12km, .AB=AG+BG=13k=130,.k=10, .AG=50m,BG=120m,.DF=50m. .'CG=30 m,.'.AF=DG=(30+CD)m. .∠EAF=45°，∴.∠AEF=∠EAF=45°， .EF=AF=(30+CD)m. 在Rt△CDE中，∠DCE=60°，DE=30+CD+50=(80+ CDm,an∠DCE-2S. .80+CD=√3CD,∴.CD=(40+403)m, ∴.DE=80+40+40√3≈189.3(m). 189.3在190士5的范围内， 说明书上写的烟花燃放高度属实。 章未对点导练 1.A2.C3.34.D5.B6.30 7.解：1)原式=2×号+4×分-5=5+2-5=2. (2)原式=2x+14×号-25+1-25=1 (3原式=8×复-2×号+号-5-万+号-号 2 2 8.B9.22010.√3+1 11.解：如图，过点B作BE⊥CM于点E. 在Rt△ABC中，BC=/AB-AC =10, nA福是 M E 在Rt△BCE中，sin∠BCE=sinA=BC=3' BE 5 BE-c-×10- 13 即点B到直线NMC的距离为器 12.A13.5w/1714.0.21 15.解：该公路没有穿过纪念园 过点A作AD⊥BC于点D,如图. ↑北 D B 60 由题意，得∠ABC=90°-60°=30°，∠ACD=45°， ·BD=AD -ia30-3AD,CD-AD.