26.2 第2课时 建立反比例函数模型解决跨学科问题（教学课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

该初中数学课件聚焦九年级下册反比例函数的跨学科应用，以阿基米德杠杆原理为导入，通过阻力与动力臂的关系引出反比例函数模型，衔接此前函数概念，搭建从实际问题到数学建模的学习支架。 其特色在于融合力学、电学等跨学科实例，如杠杆撬动石头、用电器功率计算，引导学生用数学眼光抽象数量关系，用数学思维推理函数性质，用数学语言表达规律。课堂小结系统梳理知识与建模思想，助力学生提升应用意识，也为教师提供直观教学案例。

初中同步训练 数学 九年级下册 (RJ版) 第二十六章 反比例函数 26.2 实际问题与反比例函数 第2课时 建立反比例函数模型解决跨学科问题 1. 通过对“杠杆原理”等实际问题与反比例函数关系的 探究，使学生体会数学建模思想和学以致用的数学 理念，并能从函数的观点来解决一些实际问题. (重 点) 2. 掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科的 整合思想. (重点、难点) 学习目标 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 通俗地说，杠杆原理为： 阻力×阻力臂=动力×动力臂. 阻力 动力 阻力臂 动力臂 探 究 新 知 小例题 例1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力? 解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5， ∴ F 关于l 的函数解析式为 当 l=1.5m 时， 对于函数 ，当 l =1.5 m时，F =400 N，此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力. (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则 动力臂l至少要加长多少? 解：当F=400× =200 时，由200 = 得 300－1.5 =1.5 (m). 对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F越小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m. 随堂练习 假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？ 由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 ， 当 F =500时，l =2.4×1029 米， 解： 2000 千米 = 2×106 米， 变形得： 故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动. 例2 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示. (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? U ~ 解：根据电学知识， 当 U = 220 时，得 小例题 (2) 这个用电器功率的范围是多少? 解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率 越小. 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式， 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式， 得到功率的最小值 因此用电器功率的范围为220~440 W. 随堂练习 1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电 阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( ) D A. B. C. D. I R I R I R I R 2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)的反 比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大 于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应 ( ) A. 不大于 B. 小于 C. 不小于 D. 大于 C O 60 V/m3 p/kPa 1.6 3. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力F (N)之间的函数关系如下图所示： (1) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表 达式； O 20 v(m/s) 3000 F(N) 解： (3) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什 么范围内？ (2) 当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多 少 km/h？ 解：把 F = 1200 N 代入求得的解析式得 v = 50， ∴汽车的速度是3600×50÷1000 = 180 km/m. 答案：F ≥ 2000 N. 物理学科中的反比例函数 知识小结 与其他知识的综合 思想方法小结 建模—反比例函数的数学思想方法 “杠杆原理”： 动力×动力臂=阻力×阻力臂 与力学的综合 与电学的综合 课堂小结 $