专题2 反比例函数与一次函数的综合（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

专题2反比例函数与一次函数的综合 【例】（一题多问）如图，在平面直角坐标系中， (4)如图，将一次函数y=ax+b的图象沿y 反比例函数y-（x>0)的图象与一次函数 轴向上平移3个单位长度后与反比例函数的 x 图象交于点M,N,连接AM,CM,求 y=ax十b(a≠0)的图象相交于点A(2,t)与 △ACM的面积. 点B(4,2),一次函数的图象与坐标轴分别交 于点C,D B (1)求一次函数和反比例函数的解析式. (5)将一次函数y=ax十b的图象沿y轴向 下平移n(n>0)个单位长度，若平移后的图 象与反比例函数的图象只有一个交点，求n (2)根据图象，当a十6>套时，求的取值 的值. 范围. (3)若F是反比例函数图象上的一点，且 S△FOD=3S△AOB,求点F的坐标. 第二十六章反比例函数3 (6)在x轴上是否存在一点P,使得AP十●学以致用 BP的值最小？若存在，请求出点P的坐标；(2025·成都)如图，在平面直角坐标系xOy 若不存在，请说明理由， 中，直线y=一工十6与反比例函数y=的 图象的一个交点为A(a,2),与x轴的交点 为B(3,0). (1)求k的值. (2)直线AO与反比例函数的图象在第三象 限交于点C,点D在反比例函数的图象上， 若∠ACD=90°，求直线AD的函数解析式. (3)P为x轴上一点，直线AP交反比例函 数的图象于点E(异于点A),连接BE.若 △BEP的面积为2，求点E的坐标 OB衣 (7)在x轴上找一点Q,使得△ABQ是直角 备用图 三角形，求点Q的坐标 4一本·初中数学9年级下册R版[解题策略2]解法1：：正比例函数y1=1x(x>0) 的图象与反比例函数：-经(x>0)的图象相交于点 A3,25),25=5k1,23=兰，解得，=2， 3 2=6,y1=2x,y2=5 如图，过，点B作BD∥x轴交OA于点D. 6 当x=3时：=3=2，B(3,2). 令y1=2x=2,得x=1,∴.D(1,2), .BD=3-1=2, 1 SAAOB=SAAD+SAOmD-2X2X(23-2)+ 2×2=2√3. 解法2：如图，延长AB交x轴于点C,易求AB所在 直线的解析式为y=一 2√3 3x+23+2. 令y=-2 3x+25+2=0,得x=3+3, ∴C(3+√3,0)， 1 SAMo-SAnoe-SAnE-2X (3+3)X (23- 2)=23, 【学以致用】1.C2.(1)1(2)23.24.65.8 6.解：(1)(3,3)9 (2)分两种情况讨论： ①当点P在，点B的左侧时， :P(m,n)在函数y= (k>0,x>0)上， x ∴.mn=k=9, S=m(n-3)=9-3m=9 3 m= 2, a=6r(2.6）: ②当点P在点B的右侧时， :P(m,m)在函数y=(k>0,c>0)上， ,∴.mn=k=9, ·答多 S=n(m-3)=9-3m=2n= 9 3 2 m=6P(6,）: 综上所述，点P的坐标为（名6）或(6，)】 (3)当0<m<3时.8=ma-3)=m(0-）=9 3m;当m>3时，S=(m-3)n=(m-3)·9 27 9- m 9-3m(0<m<3), 综上，S= 27 9- (m>3). 专题2反比例函数与一次函数的综合 解：)反比例函数y(（红>0)的图 点B(4,2),k=4×2=8, 反比例函数的解析式为y三)(x>0) :点A2)在反比例画数y=2（x>0)的图象上， 8 .t=4,∴.点A的坐标为(2,4) 把A(2,4),B(4,2)代入y=ax十b, 2a十b=4解得a=1, 得 4a+b=2, b=6, 一次函数的解析式为y=一x十6. (2观察题图可知，当ax十b>冬时，x的取值范围是 2<x<4. (3)在y=一x十6中，令x=0,得y=6, ∴点D的坐标为(0,6)，OD=6, :.5Mww-5Ame-5Awe-X6X-X6X2-6. 1 设点F的坐标为，）》】 x>0, 1 1 六Saom=20D·x=2X6x=3x 由S△FoD=3S△40B,得3x=3X6, 解得x=6,8=4, x3 “点F的全标为(6，号)】 (4)如图，延长MA交x轴于点H. 9 将一次函数y=一x十6的图象沿y轴向上平移3个 单位长度后的解析式为y=一x十6十3=一x十9. y=一x十9， x=1·或 x=8, 联立 ,8解得 ly-7' y=8 y=1, .点M的坐标为(1,8)，点N的坐标为(8,1). 设直线AM的解析式为y=a1x十b1· 2a1+b1=4, 把A(2,4),M(1,8)代入，得 a1+b1=8, 解得/一4， b1=12, .直线AM的解析式为y=-4x十12. 令y=0,得一4x十12=0，解得x=3, ,点H的坐标为(3,0). 同理可得点C的坐标为(6,0)，.CH=3, :5mMo-Sam-SoAex3xx 1 4=6. (5)将一次函数y=一x十6的图象沿y轴向下平移 n(n>0)个单位长度后的解析式为y=一x十6一n. 8 令一x十6-n= x 整理，得x2十(n-6)x十8=0. :平移后的图象与反比例函数的图象只有一个 交点， ∴.△=(n-6)2-4×8=0,解得n=6-4√2或n= 6+4√2. 反比例函数的图象在第一象限， ∴.6-n>0,∴.n=6-4√2. (6)在x轴上存在一，点P,使得AP十BP的值最小. 如图，作，点B(4,2)关于x轴的对称点B(4,一2)，连 接AB',AB'与x轴的交点即为点P y↑ D P C 设直线AB'的解析式为y=a'x十b' 将A(2,4),B'(4,-2)代入，得 2a+6=4,解得6=10， ,1a'=-3, 4a'+b'=-2, .直线AB的解析式为y=-3x十10. 令y=0,得一3z十10=0，解得x-碧， 在z轴上存在成P(侣o),使得AP+B即的值 最小. ·答 (7)设，点Q的坐标为(m,0). A(2,4),B(4,2), ∴.AQ2=(2-m)2+42=(m-2)2+16, BQ2=(4-m)2+22=(m-4)2+4, AB2=(2-4)2+(4-2)2=8. ①当∠ABQ=90°时，AB2+BQ=AQ, 即8+(m-4)2+4=(m-2)2+16, 解得m=2,∴.Q(2,0). ②当∠BAQ=90°时，AB2+AQ=BQ, 即8+(m-2)2+16=(m-4)2+4, 解得m=一2，∴.Q(-2,0). ③当∠BQA=90°时，AQ+BQ=AB, 即(m-2)2+16+(m-4)2+4=8. 整理，得m2-6m十16=0. △=(-6)2-4×16<0，∴.此方程无解. 综上，点Q的坐标为(2,0)或（一2,0）. 【学以致用】解：(1)，点B(3,0)在一次函数y=一x十 b的图象上，.b=3,.一次函数的解析式为y= 一x十3. 把A(a,2)代入y=-x十3，得2=-a十3，解得a= 1,.点A的坐标为(1,2). :A(1,2)在反比例函数y=是的图象上， 元 .k=1×2=2. (2)如图，连接AD. 由(1)，得反比例函数的解析式为y=2 x 直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点 C,点A的坐标为(1,2)，点C的坐标为(-1， -2),∴.AC2=(1+1)2+(2+2)2=20. 设点D的坐标为(m,品)，则AD:=(1-m)十 (2),cD=(-1-m+(-2)月 ∠ACD=90°，∴.AD2=CD2+AC2, 1-mr+(e2)=(-1-mr+(-g)+ 20,解得m=-4或m=-1(舍去)， “点D的坐标为（一4，-2）】 设直线AD的函数解析式为y=1x十b(k1≠0). 花D(-4,-2)A1,2)代入， 案10. 1 1 k12' 得 -4k1十b1=- 2’解得 3 k1+b1=2, b2’ 1 ∴.直线AD的函数解析式为y= 3 2x+2 (3)设点E的坐标为(，），直线AE的品数解折式 为y=k2x十b2. 起E(,)A1,2代入，得 +6,=2 k2十b2=2, k2= 2 解得 t, 2t+2 b2= t 直线AE的西数解新式为)=一子+2中 t 当y=0时，0=-2x十24十2，解得工=1+1， ∴.点P的坐标为(t十1,0)， .BP=t+1-3=t-2|, S名×(-：·B即-名x 1 ×|t-2. :△BEP的西数为2，名× 2 ×t-2|=2, 解得后名或一2 点E的金标为（一2，-1D或（号】 专题3反比例函数的实际应用 1.(1)m=30 (2)36km/h (3)小汽车通过该测速区间时，行驶时间应不少于 22.5 min 0.1x(0x≤20)， 2.(1)y= 0.4x-6(20<x≤40)， 400 (x>40) x (2)设计师能拿到“特殊贡献奖”.计算说明略 专题4与反比例函数有关的综合与实践 解：(1)反比例(2)小 (3)将A(0,5),B(2,2)代入二次函数y=ax2+bx+ c=5, c,得 4a+2b+c=2, ∴.4a+2b=-3. 将C4,D代入CD段反比例画数y兰，得1=冬， k 解得=4， 4 ∴.CD段反比例函数的解析式为y= ·答 ,整条曲线各段所在函数图象的“曲度”是一致的， ∴la= 1 ,即a=a=土 1 :抛物线开口向上，a=4, 1 54X号+26=-3，解得6=-2 1 二次画数的解析式为y=4x2-2x十5. 1 1 在y=4x-2x+5中，令x=3,得y=4×3”-2× 5 3+5= 41 4 在y= 4中，令x=3,得y=3’ 点E到AB的经直距高为？-1.3-云点E 到cD的整直距离为片-1.3| 1 300 1 石>O0,曲线BC更可能是曲线CD所在函数 图象的一部分， 第二十七章相似 专题5相似模型一A字型 1.c2.D3.c4.c5.c6.(1)4(2)9 3 专题6相似模型—8字型 1.B2.A3.B4.2 5.证明：如图，连接DG. ,四边形ABCD是正方形， .AD=DC,AD∥BC, ∠ADC=∠BCD=90°， .∠DCG=∠ADF=90°. 又CG=DF, ∴.△ADF≌△DCG(SAS), .∠DAF=∠CDG. AF平分∠EAD,∴.∠HAF=∠DAF, ∴.∠HAF=∠FDG. 又：∠AFH=∠DFG, .△AFH∽△DFG, 0-那…- 又：∠AFD=∠HFG, ∴△ADF△HGF, .∠ADF=∠HGF=90°，即HG⊥AG. 6.2/15 11·