第七章 相交线与平行线 易错集训 2025-2026学年人教版七年级数学下册

初中数学几何模型研究大讲堂 章末诊断2：易错集训 PART 1——易错概览. 本章我们主要对拐点模型和三角板产生的模型进行了学习，在七年级下册的数学学习中很关键，是七年级重点考查内容，也是中考常考题型，接下来，我们针对易错点进行剖析： PART 3——易错解析. 易错题型01 无法活用模型结论解题 1.（2024·黑龙江哈尔滨校级期末模拟）如图，直线，将三角板按如图方式放置，直角顶点在上，若，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：如图所示：   ， ∵， ∴ 故答案为： 2.（2025·上海崇明期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为 ．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 3.（2025·四川成都期末）如图1，已知直线，点A在直线PQ上，点B，C在直线MN上，连接AB，AC，，，AD平分，BD平分，AD与BD相交于点D． (1)求的度数； (2)若将图1中的线段AC沿MN向右平移到，如图2，此时平分，平分，与BD相交于点D，，，求的度数； (3)若将图1中的线段AC沿MN向左平移到，如图3，其他条件与（2）相同，求此时的度数． 【答案】(1)130° (2)130° (3)40° 【分析】（1）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠DBA以及∠BAD的度数，进而得出答案； （2）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠BAQ以及∠ABD的度数，进而得出答案； （3）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠ABN和∠ABD的度数，进而得出答案． 【详解】（1）如图1所示， ∵直线，， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， 可得，. ∵平分， ∴， ∴； （2）如图2所示， ∵，线段AC沿MN向右平移到，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （3）如图3所示，过点作， ∵，线段AC沿MN向左平移到，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质是解题关键． 【易错分析】这类题型的易错点在于学生不熟记模型结论，也不知道如何推结论，从而导致在计算中乱猜等量关系，出现错误或无法下手. 【易错订正】可了解拐点模型、三角板拼接模型结论以快速解题及运用. 易错题型02 不能判断三线八角 4.（2025·河南信阳校级月考）如图,与∠B是同旁内角的角有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据同旁内角的定义求解即可得． 【详解】解：与∠B是同旁内角的角有∠C，∠BAC，∠BAE共3个， 故选C． 【点睛】题目主要考查相交线中的同旁内角的定义，理解同旁内角的定义是解题关键． 5.（2025·山东枣庄校级月考）如图，有下列说法：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，对顶角、邻补角，关键是掌握以上概念的定义．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可．． 【详解】解：①与是同位角，正确，故①符合题意； ②与是同旁内角，正确，故②符合题意 ③与是邻补角，不是同旁内角，故③不符合题意； ④与是内错角，正确，故④符合题意． 其中正确的有3个． 故选：C． 【易错分析】这类题型的易错点在于学生没有透彻理解三线八角，不能掌握解题方法. 【易错订正】注意不一定平行才会有三线八角，其次可能一个顶点会产生多个角，要全部找齐. 易错题型03在与翻折结合的题型中计算错误 7．（2023·重庆八中入学）将一张长方形纸条按如图所示折叠，若折叠角，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和已知可求得，由邻补角可求得，结合矩形性质和求解． 【详解】解：由翻折可知， ， ， 是长方形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形有关的折叠、领补角；解题的关键是掌握折叠的性质． 8.（2025·河南三门峡期末）将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，标出如图所示的角度则有，，，，分别求出和，进一步求得和，即可求出答案． 【详解】解：作如图辅助线， 则，，，， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 9.（2025·山东聊城期中）数学兴趣小组在对一张长方形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索． (1)如图1，将一张长方形纸张按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后，在同一直线上，已知，求的度数； (2)如图2，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图3，将折痕折到处，点落在处． ①如图3，若，则_____； ②如图3，判断和有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，熟知平行线的性质与判定定理和折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质和平角的定义可得，据此可得答案； （2）①由折叠的性质和平角的定义可求出的度数，再由平行线的性质即可得到答案；②根据折叠的性质和平行线的性质可证明，，再证明，推出，则可证明． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； ②．理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【易错分析】这类题型的易错点在于学生在翻折的题型中不认真计算，不善于用笔作标记、画图. 【易错订正】仔细计算，根据翻折的性质求解，利用好等量关系. 易错题型04 掌握设元或其他解决静态拐点难题的能力较差 10.（2025·广东汕头校级月考）已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． （1）过作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数； （2）过作，过点P作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可得到； （3）过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过作， ， ∴， ∴，， ， ∴； （2）解：如图2，过作，过点P作，设， ，， ， ， ，， ， 平分，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图3，过作，过作，设，， 交于，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，平分， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 11.（2024·浙江金华入学）如图1，将一张宽度相等的纸条（）按如图所示方式折叠，记点C，D的对应点分别为，，折痕为，且交于点G． (1)若，则______度． (2)如图，在（1）的条件下，将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，．再将长方形沿着翻折，记的对应点分别为，，折痕为（点在上，点在上）．若，求的度数． (3)如图，分别作，的平分线交于点，连结作的平分线交于点，延长交于点．若，比多27°，求的度数. 【答案】(1)26 (2)或 (3) 【分析】（1）根据对顶角和平行线的性质可得，再由折叠的性质可得，即可求出的度数． （2）根据题意可分成两种情况，当向下翻折时，当向上翻折时，根据平行线的性质和折叠的性质，即可求出的度数． （3）补全图形后，设，则，根据折叠的性质和平行线的性质，可得，即，代入数值解得，根据对顶角，角平分线的性质，平行线的性质，外角的性质，三角形内角和的性质，即可求出的度数． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得， ∴， 故答案为． （2）当向下翻折时，根据题意补充全图，如下图所示： ∵，， ∴， 根据折叠的性质可得， ∵， 再根据折叠的性质可得， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得， ∵， ∴． 当向上翻折时，交与点，如图所示： 由上可得 ∵ ∴ 根据折叠的性质可得， 综上可得的度数为或． （3）补全图形，如下图所示： 设，则， 根据折叠的性质可得， ∵， ∴， 根据折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、对顶角性质、角平分线的性质、外角的性质、三角形内角和的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【易错分析】这类题型的易错点在于等量关系较多，图形太复杂，学生有畏难情绪，考察知识面广. 【易错订正】活用模型结论，构造平行线解决问题，明确解题步骤，找到隐含的等量关系，通过消元或直接设未知数求解，此类题型需要重点练习. 易错题型05 不能分类讨论或理解题意解决动态拐点问题 12.（2024·浙江金华校级作业）已知，点D是直线上一定点． (1)如图1，现有一块含角的直角三角板（，，），将其点A固定在直线上，并按图1位置摆放，使，点B恰好落在射线上，此时，，求的度数； (2)现将射线从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点D顺时针旋转，转到与重合时停止，三角板按图1摆放不动，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当与三角板的一边平行时，求t的值； (3)若将射线从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点D顺时针旋转，同时，将三角板也从图1的位置开始以每秒6度的速度绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，的角平分线与的角平分线交于点O． ①如图2，当时， 度； ②当三角板边第一次落在上时，三角板和射线同时停止运动，则当时， 度． 【答案】(1) (2)的值为2.5或25或32.5． (3)①；② 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质求解即可； （2）依题意可知：，分三种情况讨论即可； （3）依题意可知：，，利用角平分线和第一问的关系可得； ①当时，延长于于G，利用列方程计算即可； ②当时，延长于于G，利用列方程计算即可． 【详解】（1）如图1，过点作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）依题意可知：，分以下三种情况讨论： ①如图4，当时，与交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； ②如图5，当时，与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得； ③如图6，当时，与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得． 综上所述：的值为2.5或25或32.5． （3）依题意可知：，， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，， 由（1）的模型可得， ①当时，延长于于G， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； ②当时，延长于于G， ∴， ∵， ∴， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的内角和等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 13.（2025·重庆一外期末复习）已知，点在上方，点在下方，分别以、为顶点作， 的两边交于、（点在点的左边），的两边交于、（点在点Q的左边），、交于点，、交于点． (1)如图1，若，，则_________，_________： (2)如图2，、的角平分线交于点，、的角平分线交于点K．试探索， 之间的数量关系并说明理由： (3)如图3，在（1）的条件下，过点作直线，交于点，交于点，且，连接，作的角平分线．将绕点逆时针旋转得到，速度为每秒，当落在上时， 改为以相同速度绕点顺时针旋转．开始运动的同时，绕点G以每秒的速度逆时针旋转，记旋转中的为，当和重合时，整个运动停止，设运动时间为秒，当的一边和的边或互相平行时，请直接写出t的值． 【答案】(1)， (2) (3)或或或或 【分析】本题考查平行线的判定与性质，一元一次方程，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角度的和差，熟练掌握角度旋转问题中的方程是解题的关键． （1）过点作，得出，证明， 得出，， 求出，再利用四边形内角和求解； （2）设交于点，交于点，设，，利用角平分线得，，利用平行得出，，利用三角形外角性质得，，再由四边形内角和、三角形内角和得出，，，再利用角平分线得，，再利用四边形内角和得出，结合即可得证； （3）由题意将通过平移，使点与点重合，此时，则的一边和的边或互相平行，转换为同的旋转方式后得到的的一边和的边或所在直线重合，先计算出此时，，，，则可知时落在上，时整个运动停止，分两种大情况：①在落在上之前，利用共顶点旋转分情况列方程求解；再得出落在上时，此时，；②在落在上之后，利用共顶点旋转分情况列方程求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 设交于点，交于点， 设，， ∵、的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，， ∵、的角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，由题意将通过平移，使点与点重合，此时， 则的一边和的边或互相平行，转换为同的旋转方式后得到的的一边和的边或所在直线重合， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 由平移得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则可知时落在上，时整个运动停止， ①在落在上之前， 当与第一次重合时， 得， 解得：， 满足题意； 当与第一次重合时， 得， 解得：， 不合题意； 落在上时，此时和如图， 此时，， ②在落在上之后， 当与第二次重合时， 得， 解得：， 满足题意； 当与第一次重合时， 得， 解得：， 满足题意； 当与第一次共线不重合时， 得， 解得：， 满足题意； 当与第一次共线不重合时， 得， 解得：， 满足题意； 综上，或或或或． 【易错分析】这类题型的易错点在于不能分类讨论，列方程找符合题意的时刻，且图形复杂，不能明确解题步骤. 【易错订正】抓住平行、垂直、角平分线等条件，对于难题多加练习. 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中数学几何模型研究大讲堂 章末诊断2：易错集训 PART 1——易错概览. 本章我们主要对拐点模型和三角板产生的模型进行了学习，在七年级下册的数学学习中很关键，是七年级重点考查内容，也是中考常考题型，接下来，我们针对易错点进行剖析： PART 2——易错练习. 易错题型01 无法活用模型结论解题 1.（2024·黑龙江哈尔滨校级期末模拟）如图，直线，将三角板按如图方式放置，直角顶点在上，若，则 ．    2.（2025·上海崇明期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为 ．    3.（2025·四川成都期末）如图1，已知直线，点A在直线PQ上，点B，C在直线MN上，连接AB，AC，，，AD平分，BD平分，AD与BD相交于点D． (1)求的度数； (2)若将图1中的线段AC沿MN向右平移到，如图2，此时平分，平分，与BD相交于点D，，，求的度数； (3)若将图1中的线段AC沿MN向左平移到，如图3，其他条件与（2）相同，求此时的度数． 【易错分析】这类题型的易错点在于学生不熟记模型结论，也不知道如何推结论，从而导致在计算中乱猜等量关系，出现错误或无法下手. 【易错订正】可了解拐点模型、三角板拼接模型结论以快速解题及运用. 易错题型02 不能判断三线八角 4.（2025·河南信阳校级月考）如图,与∠B是同旁内角的角有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.（2025·山东枣庄校级月考）如图，有下列说法：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【易错分析】这类题型的易错点在于学生没有透彻理解三线八角，不能掌握解题方法. 【易错订正】注意不一定平行才会有三线八角，其次可能一个顶点会产生多个角，要全部找齐. 易错题型03在与翻折结合的题型中计算错误 7．（2023·重庆八中入学）将一张长方形纸条按如图所示折叠，若折叠角，则的度数为 ． 8.（2025·河南三门峡期末）将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，若，则的度数为 ． 9.（2025·山东聊城期中）数学兴趣小组在对一张长方形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索． (1)如图1，将一张长方形纸张按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后，在同一直线上，已知，求的度数； (2)如图2，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图3，将折痕折到处，点落在处． ①如图3，若，则_____； ②如图3，判断和有怎样的位置关系，并说明理由． 【易错分析】这类题型的易错点在于学生在翻折的题型中不认真计算，不善于用笔作标记、画图. 【易错订正】仔细计算，根据翻折的性质求解，利用好等量关系. 易错题型04 掌握设元或其他解决静态拐点难题的能力较差 10.（2025·广东汕头校级月考）已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 11.（2024·浙江金华入学）如图1，将一张宽度相等的纸条（）按如图所示方式折叠，记点C，D的对应点分别为，，折痕为，且交于点G． (1)若，则______度． (2)如图，在（1）的条件下，将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，．再将长方形沿着翻折，记的对应点分别为，，折痕为（点在上，点在上）．若，求的度数． (3)如图，分别作，的平分线交于点，连结作的平分线交于点，延长交于点．若，比多27°，求的度数. 【易错分析】这类题型的易错点在于等量关系较多，图形太复杂，学生有畏难情绪，考察知识面广. 【易错订正】活用模型结论，构造平行线解决问题，明确解题步骤，找到隐含的等量关系，通过消元或直接设未知数求解，此类题型需要重点练习. 易错题型05 不能分类讨论或理解题意解决动态拐点问题 12.（2024·浙江金华校级作业）已知，点D是直线上一定点． (1)如图1，现有一块含角的直角三角板（，，），将其点A固定在直线上，并按图1位置摆放，使，点B恰好落在射线上，此时，，求的度数； (2)现将射线从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点D顺时针旋转，转到与重合时停止，三角板按图1摆放不动，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当与三角板的一边平行时，求t的值； (3)若将射线从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点D顺时针旋转，同时，将三角板也从图1的位置开始以每秒6度的速度绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，的角平分线与的角平分线交于点O． ①如图2，当时， 度； ②当三角板边第一次落在上时，三角板和射线同时停止运动，则当时， 度． 13.（2025·重庆一外期末复习）已知，点在上方，点在下方，分别以、为顶点作， 的两边交于、（点在点的左边），的两边交于、（点在点Q的左边），、交于点，、交于点． (1)如图1，若，，则_________，_________： (2)如图2，、的角平分线交于点，、的角平分线交于点K．试探索， 之间的数量关系并说明理由： (3)如图3，在（1）的条件下，过点作直线，交于点，交于点，且，连接，作的角平分线．将绕点逆时针旋转得到，速度为每秒，当落在上时， 改为以相同速度绕点顺时针旋转．开始运动的同时，绕点G以每秒的速度逆时针旋转，记旋转中的为，当和重合时，整个运动停止，设运动时间为秒，当的一边和的边或互相平行时，请直接写出t的值． 【易错分析】这类题型的易错点在于不能分类讨论，列方程找符合题意的时刻，且图形复杂，不能明确解题步骤. 【易错订正】抓住平行、垂直、角平分线等条件，对于难题多加练习. 学科网（北京）股份有限公司 $