精品解析：福建莆田市荔城区2025一2026年度上学期七年级期末质量监测 数学试卷

荔城区2025—2026年度上学期七年级期末质量监测 数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时请按答题卡中的“注意事项”要求认真作答，答案写在答题卡上的相应位置，可直接用2B铅笔或0．5毫米黑色签字笔画图． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 截至2025年12月31日，莆田湄洲岛妈祖文化旅游区年度接待游客总量正式突破3100000人次，用实力诠释了“湄洲岛，来就好”的硬核魅力，将数据3100000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定的值以及的值：当原数绝对值时，是正数，的值等于原数变成时小数点向左移动的位数；当原数绝对值时，是负数，的绝对值等于原数变成时小数点向右移动的位数． 【详解】解：根据科学记数法的表示规则，要将表示为的形式(，为整数)， ∵将的小数点向左移动6位可得到，满足， ∴， 故选：B． 3. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可． 【详解】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 4. 单项式的系数与次数依次是（ ） A. B. C. 2,2 ; D. 2,3. 【答案】B 【解析】 【分析】利用单项式的次数与系数确定方法分析得出答案． 【详解】解：单项式的系数与次数依次是 故选B. 【点睛】本题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数是解题关键． 5. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 的方向是东南方向 B. 的方向是南偏西 C. 的方向是北偏西 D. 的方向是北偏东 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查方向角的定义与角的表示，方向角是以正北或正南方向为基准来描述物体所在方向，关键是准确判断每条射线对应的基准方向与偏转角度． 【详解】解：A．与正南方向的夹角为，方向是东南方向(南偏东)，说法正确； B．由图可知，与正南方向的夹角为，则的方向是南偏西，说法正确； C．与正西方向的夹角为，则与正北方向的夹角为，方向是北偏西，说法正确； D．的方向与正东方向的夹角为，则与正北方向的夹角为，是北偏东，说法错误； 故选：D． 6. 下列各组中的两个量，成反比例关系的是（ ） A. 完成一项工程，工作效率和工作时间 B. 圆的半径和它的面积 C. 购买同种笔记本的数量和总费用 D. 汽车行驶的速度和路程 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查反比例关系的判断，判断两个量是否成反比例关系，需看它们的乘积是否为常数，A选项中，工程总量固定，工作效率与工作时间乘积为定值，故成反比例；B选项圆的半径与面积成二次关系；C选项总费用与数量成正比例；D选项速度与路程在时间固定时成正比例，但未指定条件，故不成反比例 【详解】∵ 对于A，设工程总量为W，工作效率为E，工作时间为T，则（定值），∴ E与T成反比例； 对于B，圆的面积，S与r的乘积不是常数，∴ 不成反比例； 对于C，总费用单价数量N，P为定值，C与N的比值恒定，∴ 成正比例； 对于D，路程 速度时间T，若T不定，则V与S的乘积不是常数，∴ 不成反比例； ∴ 只有A成反比例关系， 故选：A 7. 如图，把原来弯曲的河道改直，、两地间的河道长度变短．其中蕴含的数学道理是（ ） A. 经过一点可以作无数条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 两点之间，有若干种连接方式 D. 经过两点有且只有一条直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段的基本性质，关键是理解“把弯曲河道改直后长度变短”的本质是利用了两点之间线段最短的原理． 【详解】解：把原来弯曲的河道改直，、两地间的河道长度变短，这是因为两点之间，线段最短．故选：B． 8. 如图，在下列四个步骤中，依据等式的性质变形的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质1，等式的性质2等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据等式的性质1，等式的性质2，对解题的步骤逐一分析，再作出选择． 【详解】解：去分母的依据是等式性质2， 故①符合； 移项的依据是等式性质1， 故②符合； 系数化为1的依据是等式性质2， 故④符合； 故选：C． 9. 几个人共同种一批树苗，如果每人种8棵，则剩下2棵树苗未种；如果每人种10棵，则缺6棵树苗．若设参加种树的人数有x人，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，核心是根据两种种树方案中树苗总数不变来列方程. 【详解】∵设参加种树的人数为人，每人种8棵剩下2棵树苗，∴树苗总数可表示为； ∵每人种10棵缺6棵树苗，∴树苗总数可表示为； ∵树苗总数是固定不变的，∴，故选C. 10. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，“二进制记数法”是计算机使用的记数系统，二进制的基数是2，其特征是逢二进一，类似于十进制数，二进制数也可以进行加法运算，例如：，若某二进制数a与之和是一个7位的二进制数，则a的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不同进位制之间的转化及二进制的运算和含乘方的有理数混合运算的应用，理解题意是解决本题的关键． 要使二进制数a最小，需让a与的和为最小的7位二进制数，进而计算即可． 【详解】解：∵7位二进制数的最小值为， ∴其十进制值为：， 由题意得， ， ∵要使为最小的7位二进制数， ∴a的最小十进制值为：， ∵， ∴a的最小值是， 故选C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：_________．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据负数大小比较的规则，绝对值越大，负数越小． 【详解】解：∵，，且， ∴， 故答案为：<． 12. “a与b的2倍的和”用代数式表示为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查的是列代数式，掌握列代数式知识点是解本题的关键． 根据题意列代数式． 【详解】解：a与b的2倍的和，用代数式表示即为， 故答案为：． 13. 已知，则的补角的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据补角的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的补角的度数为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了补角的定义：和为的两个角互为补角，熟记定义是解题的关键． 14. 已知是关于的方程的解，则的值是 ____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解“一元一次方程的解是使方程左右两边相等的数”是解题关键． 把代入，即可求解； 【详解】解：把代入， 可得：， 解得：； 故答案为： 15. 若有理数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查绝对值的化简与数轴的综合应用，关键是根据数轴判断数的正负性，再利用绝对值的性质进行化简． 【详解】解：由数轴可知，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 16. 在班级元旦联欢会上，小明和小亮表演了一个扑克牌游戏：小明背对着小亮，让小亮把一副扑克牌按下列三个步骤操作： 第一步，把部分扑克牌分发为张数相等的四堆，分别记为A，B，C，D四堆且每堆不少于3张牌； 第二步，从A堆中拿出1张放入C堆中，从D堆中拿出2张放入B堆中； 第三步，从B堆中拿出与A堆张数相同的牌放入A堆，从C堆中拿出与D堆张数相同的牌放入D堆中； 这时，小明准确地说出A堆与D堆相差的张数，这个张数是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减，去括号法则，合并同类项法则，弄清题意，列出代数式是解题的关键． 设初始每堆牌有m张，根据步骤操作，逐步计算各堆牌张数的变化，最后求出A堆与D堆张数的差即可． 【详解】解：设第一步完成后，A，B，C，D四堆牌各有m张（）， 第二步：从A堆拿1张放入C堆，A堆变为张，C堆变为张； 从D堆拿2张放入B堆，D堆变为张，B堆变为张． 第三步：从B堆拿出与A堆张数相同的牌（即张）放入A堆，B堆变为 张， A堆变为张； 从C堆拿出与D堆张数相同的牌（ 即张 ）放入D堆，C堆变为 张， D堆变为张． 此时A堆有张，D堆有张，相差张数为 ． 故答案为：2． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题关键． （1）按照有理数混合运算的法则进行计算即可； （2）按照含有乘方的有理数混合运算的法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 解方程：． 【答案】x=4 【解析】 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 19. 阅读材料：数学课上，老师展示了一位同学的作业如下： 已知多项式，，化简：． 下面是这位同学的解题过程： 解： 第一步 第二步 第三步 ． 第四步 请回答下列问题： （1）这位同学从第_________步开始出现错误，错误的原因是__________________； （2）请正确化简，并计算当，时，的值． 【答案】（1）三，去括号时未正确变号 （2），10 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，去括号，合并同类项，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据解题过程，找出出错的步骤，并依次去括号法则说明错因； （2）先正确化简，再代入求值． 【小问1详解】 解：这位同学从第三步开始出现错误，在去后面的括号时，去括号后，应该是，错误的原因是去括号时未正确变号， 故答案为：三，去括号时未正确变号； 【小问2详解】 解： 当，时， 原式 ． 20. “和美荔城，共富共美”2025年莆田马拉松比赛火热出圈，一位马拉松爱好者记录了10位选手的完赛时间（单位：分钟），并计算得到他们的平均完赛时间为180分钟．以180分钟为基准，实际时间少于基准的分钟数记为负数（表示比平均快），多于基准的记为正数（表示比平均慢），称为时间波动值．下表是这10位选手的时间波动值： 选手编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间波动值 （1）第2号选手的实际完赛时间为_________分钟； （2）若第5号选手的实际完赛时间为182分钟，请直接写出第5号选手的时间波动值，并求第7号选手的实际完赛时间． 【答案】（1）177 （2）第5号选手的时间波动值为分钟，第7号选手的实际完赛时间为172分钟 【解析】 【分析】本题考查了有理数加法在生活中的应用，其他问题(一元一次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据基准时间与第2号选手的时间波动值，可求出其实际完赛时间； （2）根据第5号选手的实际完赛时间，结合基准时间，求出其时间波动值；再设第7号选手的时间波动值为，根据他们的平均完赛时间为180分钟，列出方程求解，再求得第7号选手的实际完赛时间． 【小问1详解】 解：∵基准时间分钟， 第2号选手的时间波动值， ∴实际完赛时间=基准时间+波动值分钟； 【小问2详解】 解：∵第5号选手实际完赛时间为182分钟， ∴第5号选手的时间波动值=实际时间-基准时间， 设第7号选手的时间波动值为， 根据他们的平均完赛时间为180分钟．以180分钟为基准，实际时间少于基准的分钟数记为负数（表示比平均快），多于基准的记为正数（表示比平均慢）， 可得：， 解得：， ∴第7号选手的实际完赛时间分钟． 21. 如图，点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，． （1）尺规作图：延长线段AB，并在延长线上作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求线段AD的长． 【答案】（1） 如下图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作一线段等于已知线段，中点的定义，线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握上述知识点．       （1）延长线段，在延长线上截取即可； （2）根据中点的定义求出，再根据求出，结合即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点M是线段AB的中点，， ∴， ∵ ∴， 由（1）知， ∴． 22. 如图，已知点O为直线上一点，平分． （1）若，求的度数； （2）若，猜想是图中哪个已知角的平分线？请说明理由． 【答案】（1）； （2） 是的平分线， 理由如下：设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义求得，利用角的和差即可求解； （2）设，则，由角平分线的定义求得，再用表示和，比较即可求解． 【小问1详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及角的和与差，正确掌握相关定义是解题关键． 23. 新定义：对于有理数a，将a的绝对值的各数位上的数字相乘，若结果大于等于10，则继续将结果的各数位上的数字相乘，直到得到一个个位数，这个数称为a的“数字积值”．定义运算：如果a是正数，则就是这个数字积值；如果a是负数，则就是这个数字积值的相反数；如果a是0，特别地，0的数字积值是0，则． 例：，所以； ，因为原数是负数，所以． （1）计算：_________；_________． （2）若a是一个两位数，且，写出满足条件的一个有理数a的值：_________； （3）猜想：对任意整数m，n是否一定有成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 【答案】（1）2； （2）23（答案不唯一） （3） 不一定成立， 例子：当，时，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴对任意整数m，n不一定成立． 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题例即可求解； （2）根据数字积值为，可得为正数，再根据即可得到答案； （3）举出反例进行验证即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ， ∴， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：∵数字积值为， ∴为正数， ∵， ∴， 故答案为：23； 【小问3详解】 略 24. 学习了一元一次方程后，老师在综合实践课上给同学们布置了“如何自己动手做一杆秤”的实践活动，阅读材料，完成任务． 实践活动 如何自己动手做一杆秤 素材一 如图1，用一根质地均匀的长的木杆和一些等重的小物体做下列实验，并记录每一次支点与木杆左右两边挂重物处的距离： （1）在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点； （2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡； （3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡； （4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡； （5）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作并记录如下： 木杆左边挂重物个数 支点到木杆左边挂重物的距离 木杆右端挂重物个数 支点到木杆右端挂重物的距离 状态 1 1 平衡 2 1 平衡 3 平衡 4 1 平衡 5 ① 1 平衡 素材二 同学们根据这个原理自制了一个杆秤，如图3所示，提钮处是支点，已知为，秤砣重量是，称盘重量是，秤砣到提钮处的距离为(即) 任务一 （1）根据素材一实验记录数据的规律，补全实验记录：①_________；如图2，支点在木杆中点处，在木杆右端挂一个重物，支点左边挂个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点到木杆左边挂重物处的距离为，把，l作为已知数，列出关于的一元一次方程__________________． 任务二 （2）根据素材二，若秤盘上不放重物，问当为何值时，杆秤刚好平衡． 任务三 （3）根据素材二，记放入的重物重量为．根据查阅的信息，若与的关系满足形如，其中，且，为常数，则说明杆秤上的刻度均匀．用式子表示与的关系，并判断自制的杆秤上的刻度是否均匀？若杆秤上最大刻度距离提纽处点为，求这根杆秤能称量的最大重量是多少？ 【答案】任务一：；； 任务二：； 任务三：，刻度均匀；最大称量重量是   【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，核心是根据实验记录数据发现平衡关系并列方程求解． （1）先观察素材一的实验数据，发现左边重物个数与支点到左边距离的乘积是一个定值，由此计算；再根据这个关系，结合木杆长度和重物个数，列出关于的一元一次方程； （2）当秤盘不放重物时，利用“”的平衡关系列方程求解； （3）根据杠杆平衡条件列出与的关系式，化简整理并判断刻度是否均匀；再将最大刻度对应的值代入关系式，求解最大称量的重量． 【详解】任务一： 解：观察素材一的实验数据，可以发现： ， 所以当木杆左边挂重物个数为5时，支点到木杆左边挂重物的距离为cm； 设每个重物重量为，木杆长为， ∵支点在木杆中点， ∴支点到右端挂重物处的距离为， 根据题意，，约去得． 故答案为：6，． 任务二： 解：当秤盘上不放重物时，根据题意，， ，解得； 即时，杆秤刚好平衡； 任务三： 解：放入重物重量为时，左边总重量为， 根据题意得：， 整理化简为； ∴与的关系是形如的关系式， ∴自制的杆秤刻度均匀； 当时，，解得， 即这根杆秤能称量的最大重量是． 25. 已知一直角三角板的直角边在直线上，过点在直线上方作射线，且，三角板绕着点以每秒的速度顺时针旋转，当它完成旋转一周时停止．设旋转时间为秒．(本题中所涉及的角都是大于且小于的角) （1）如图1，问当为何值时，射线平分，请说明理由． （2）如图2，射线与射线重合，在三角板旋转的同时，射线绕着点以每秒的速度顺时针旋转，射线与三角板同时停止旋转，当时． ①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． ②是否存在常数，使得的值为定值？若存在，请直接写出所有满足题意的常数的值以及定值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①；②时定值为，时定值为． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的和差关系、一元一次方程的应用以及定值问题，关键是根据旋转速度和时间表示出各角的度数，再结合角的关系列方程求解． （1）初始时，三角板顺时针旋转秒后，转过，此时；当平分时，等于的一半，据此列方程求解． （2）旋转后，与的夹角；根据，去掉绝对值符号，求解即可． ②用表示，，，代入表达式后分和两种情况，分别令表达式为定值，根据多项式常数项为0的条件列方程组求解． 【小问1详解】 解：当三角板绕顺时针旋转秒后，顺时针旋转了， ∴此时． ∵平分，且， ∴， 即，解得， 即当时，射线平分； 【小问2详解】 ①解：∵从出发顺时针旋转，速度为每秒， ∴秒后； ∵初始时，，三角板绕着点以每秒的速度顺时针旋转， ∴秒后，． ∵， ∴． 根据题意得，解得，符合； 故当时，； ②解：由题意得，，， （i）当时，， 则， 要使该式为定值，需，解得， 此时，为定值． 故存在常数，使得的值为定值． （ii）当时，， 则， 要使该式为定值，需，解得， 此时，为定值． 故存在常数或2，使得的值为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荔城区2025—2026年度上学期七年级期末质量监测 数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时请按答题卡中的“注意事项”要求认真作答，答案写在答题卡上的相应位置，可直接用2B铅笔或0．5毫米黑色签字笔画图． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 截至2025年12月31日，莆田湄洲岛妈祖文化旅游区年度接待游客总量正式突破3100000人次，用实力诠释了“湄洲岛，来就好”的硬核魅力，将数据3100000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 4. 单项式的系数与次数依次是（ ） A. B. C. 2,2 ; D. 2,3. 5. 如图，下列说法错误的是（ ） A. 的方向是东南方向 B. 的方向是南偏西 C. 的方向是北偏西 D. 的方向是北偏东 6. 下列各组中的两个量，成反比例关系的是（ ） A. 完成一项工程，工作效率和工作时间 B. 圆的半径和它的面积 C. 购买同种笔记本的数量和总费用 D. 汽车行驶的速度和路程 7. 如图，把原来弯曲的河道改直，、两地间的河道长度变短．其中蕴含的数学道理是（ ） A. 经过一点可以作无数条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 两点之间，有若干种连接方式 D. 经过两点有且只有一条直线 8. 如图，在下列四个步骤中，依据等式的性质变形的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ②④ 9. 几个人共同种一批树苗，如果每人种8棵，则剩下2棵树苗未种；如果每人种10棵，则缺6棵树苗．若设参加种树的人数有x人，根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，“二进制记数法”是计算机使用的记数系统，二进制的基数是2，其特征是逢二进一，类似于十进制数，二进制数也可以进行加法运算，例如：，若某二进制数a与之和是一个7位的二进制数，则a的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小：_________．（填“>”、“=”或“<”） 12. “a与b的2倍的和”用代数式表示为_____． 13. 已知，则的补角的度数为______． 14. 已知是关于的方程的解，则的值是 ____ 15. 若有理数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为_________． 16. 在班级元旦联欢会上，小明和小亮表演了一个扑克牌游戏：小明背对着小亮，让小亮把一副扑克牌按下列三个步骤操作： 第一步，把部分扑克牌分发为张数相等的四堆，分别记为A，B，C，D四堆且每堆不少于3张牌； 第二步，从A堆中拿出1张放入C堆中，从D堆中拿出2张放入B堆中； 第三步，从B堆中拿出与A堆张数相同的牌放入A堆，从C堆中拿出与D堆张数相同的牌放入D堆中； 这时，小明准确地说出A堆与D堆相差的张数，这个张数是_________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程：． 19. 阅读材料：数学课上，老师展示了一位同学的作业如下： 已知多项式，，化简：． 下面是这位同学的解题过程： 解： 第一步 第二步 第三步 ． 第四步 请回答下列问题： （1）这位同学从第_________步开始出现错误，错误的原因是__________________； （2）请正确化简，并计算当，时，的值． 20. “和美荔城，共富共美”2025年莆田马拉松比赛火热出圈，一位马拉松爱好者记录了10位选手的完赛时间（单位：分钟），并计算得到他们的平均完赛时间为180分钟．以180分钟为基准，实际时间少于基准的分钟数记为负数（表示比平均快），多于基准的记为正数（表示比平均慢），称为时间波动值．下表是这10位选手的时间波动值： 选手编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间波动值 （1）第2号选手的实际完赛时间为_________分钟； （2）若第5号选手的实际完赛时间为182分钟，请直接写出第5号选手的时间波动值，并求第7号选手的实际完赛时间． 21. 如图，点C在线段AB上，点M是线段AB的中点，． （1）尺规作图：延长线段AB，并在延长线上作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求线段AD的长． 22. 如图，已知点O为直线上一点，平分． （1）若，求的度数； （2）若，猜想是图中哪个已知角的平分线？请说明理由． 23. 新定义：对于有理数a，将a的绝对值的各数位上的数字相乘，若结果大于等于10，则继续将结果的各数位上的数字相乘，直到得到一个个位数，这个数称为a的“数字积值”．定义运算：如果a是正数，则就是这个数字积值；如果a是负数，则就是这个数字积值的相反数；如果a是0，特别地，0的数字积值是0，则． 例：，所以； ，因为原数是负数，所以． （1）计算：_________；_________． （2）若a是一个两位数，且，写出满足条件的一个有理数a的值：_________； （3）猜想：对任意整数m，n是否一定有成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 24. 学习了一元一次方程后，老师在综合实践课上给同学们布置了“如何自己动手做一杆秤”的实践活动，阅读材料，完成任务． 实践活动 如何自己动手做一杆秤 素材一 如图1，用一根质地均匀的长的木杆和一些等重的小物体做下列实验，并记录每一次支点与木杆左右两边挂重物处的距离： （1）在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点； （2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡； （3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡； （4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡； （5）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作并记录如下： 木杆左边挂重物个数 支点到木杆左边挂重物的距离 木杆右端挂重物个数 支点到木杆右端挂重物的距离 状态 1 1 平衡 2 1 平衡 3 平衡 4 1 平衡 5 ① 1 平衡 素材二 同学们根据这个原理自制了一个杆秤，如图3所示，提钮处是支点，已知为，秤砣重量是，称盘重量是，秤砣到提钮处的距离为(即) 任务一 （1）根据素材一实验记录数据的规律，补全实验记录：①_________；如图2，支点在木杆中点处，在木杆右端挂一个重物，支点左边挂个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点到木杆左边挂重物处的距离为，把，l作为已知数，列出关于的一元一次方程__________________． 任务二 （2）根据素材二，若秤盘上不放重物，问当为何值时，杆秤刚好平衡． 任务三 （3）根据素材二，记放入的重物重量为．根据查阅的信息，若与的关系满足形如，其中，且，为常数，则说明杆秤上的刻度均匀．用式子表示与的关系，并判断自制的杆秤上的刻度是否均匀？若杆秤上最大刻度距离提纽处点为，求这根杆秤能称量的最大重量是多少？ 25. 已知一直角三角板的直角边在直线上，过点在直线上方作射线，且，三角板绕着点以每秒的速度顺时针旋转，当它完成旋转一周时停止．设旋转时间为秒．(本题中所涉及的角都是大于且小于的角) （1）如图1，问当为何值时，射线平分，请说明理由． （2）如图2，射线与射线重合，在三角板旋转的同时，射线绕着点以每秒的速度顺时针旋转，射线与三角板同时停止旋转，当时． ①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． ②是否存在常数，使得的值为定值？若存在，请直接写出所有满足题意的常数的值以及定值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $