周周练05 第六章平面向量及其应用单元复习（数学人教A版必修第二册）

2025-2026学年高一下学期数学周周练05 第六章平面向量及其应用单元复习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B A B B B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ACD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） (1)(2) 【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出，的坐标，依题意，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以，解得. （2）因为，， 因为，，三点共线， 所以，所以，解得， 故的值为． 16．（本小题满分15分） (1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）求出的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得与的夹角的余弦值； （3）分析可知，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可. 【详解】（1）解：因为，，且与夹角为，所以，， 所以，. （2）解：因为， 所以，. （3）解：因为向量与垂直， 则， 整理可得，解得或. 17．（本小题满分15分）（1）；（2）. 【分析】（1）先求，利用正弦定理求a； （2）分别利用面积和余弦定理列方程组，即可求出的值. 【详解】解：（1）因为，B 为内角，所以， 由正弦定理得，即，解得； （2）由的面积得：，得 由余弦定理得，得， 即， 所以即，所以. 18．（本小题满分16分）(1)； (2)． 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 19．（本小题满分17分）(1) (2)当年产量为40万台时，该公司在该品牌汽车的生产中所获得的利润最大，最大利润为112亿元. 【分析】（1）根据产量的不同取值分类讨论进行求解即可； （2）根据二次函数的性质和基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）当， 当， 所以 （2）当，对称轴为，且开口向下， 当时，最大，最大利润为； 当， 当时，即时， 此时最大为106， 因为，所以当年产量为40万台时，该公司在该品牌汽车的生产中所获得的利润最大，最大利润为112亿元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练05 第六章平面向量及其应用单元复习 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量满足，与的夹角为，则等于（    ） A．3 B． C．21 D． 3．已知，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，（其中，），若与共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．平面内及一点满足，则点是的（       ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 7．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．则为（　　）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 8．如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的北偏西75°方向，则这时船与灯塔之间的距离是（    ） A．10km B．20km C．km D．km 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则与同向的单位向量为 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．若，则的最小值为 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则A=B C．若，则；若，则 D． 11．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．在向量上的投影向量为 C．若，则为的中点 D．若在线段上，且，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量满足，则 ． 13．在中，，，的面积为，则 . 14．锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则面积S的取值范围 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，，， (1)若 求k的值； (2)若 ，且三点共线， 求的值． 16．已知，，且与夹角为，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值； (3)若向量与垂直，求实数的值. 17．已知在中，角所对的边分别为，且. （1）若，求的值； （2）若的面积为3，求的值. 18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 19．某汽车公司生产某品牌汽车的固定成本为48亿元，每生产1万台汽车还需投入2亿元，设该公司一年内共生产该品牌汽车万台并全部销售完，每万台的销售额为亿元，且 (1)写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式； (2)当年产量为多少万台时，该公司在该品牌汽车的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练05 第六章平面向量及其应用单元复习 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，再由，即可得到答案. 【详解】由于是边上的中点，则. . 故选：B. 2．已知向量满足，与的夹角为，则等于（    ） A．3 B． C．21 D． 【答案】D 【分析】根据数量积的定义求出，由，结合向量数量积的运算律计算可得. 【详解】， . 故选：D. 3．已知，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在上的投影向量是计算即可解决. 【详解】由题知，， 所以， 设与夹角为， 所以在上的投影向量是， 故选：B 4．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可. 【详解】由题意, 即， 所以 故选：A. 5．已知向量，（其中，），若与共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题首先可以根据与共线得出，然后将转化为，通过基本不等式即可得出结果. 【详解】因为与共线，，， 所以，即， 则， 当且仅当、时等号成立， 故的最小值为， 故选：B. 6．平面内及一点满足，则点是的（       ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 【答案】B 【分析】由可得，，从而可知，是角平分线，即可得点的性质. 【详解】解：由知，， 即，即 ，则是 的角平分线， 同理，即，则是的角平分线， 则点是的内心. 故选:B. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的夹角，考查了三角形的“三心”.本题的关键是结合数量积运算得到，.在三角形中，中线的交点为重心，角平分线的交点为内心，高的交点为垂心，三边垂直平分线的交点为外心. 7．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．则为（　　）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案. 【详解】由及正弦定理，得， 又，故，又，故． 因为，由余弦定理，得， 所以，所以是以为直角的直角三角形． 故选：B 8．如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的北偏西75°方向，则这时船与灯塔之间的距离是（    ） A．10km B．20km C．km D．km 【答案】C 【分析】三角形为等腰三角形，利用正弦定理求出的长，即为这时船与灯塔的距离. 【详解】由题意，可得，，则， 在中，由正统定理得． 故这时船与灯塔之间的离是km. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则与同向的单位向量为 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．若，则的最小值为 【答案】BD 【分析】根据向量的线性运算可判断AB选项，再根据向量夹角公式可判断C选项，结合向量垂直的坐标表示及基本不等式可判断D选项. 【详解】由，， A选项：， 则，解得，则，， 所以不存在，使，即，不共线，A选项错误； B选项：，则，解得， 即，，， 所以与同向的单位向量为，B选项正确； C选项：时，， 又与的夹角为锐角， 则，解得，且， 即，C选项错误； D选项：由，得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，D选项正确； 故选：BD. 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则A=B C．若，则；若，则 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，利用正弦定理进行验证； 对于B，由，可得或，即可判断； 对于C，利用正弦定理以及三角形中大角对大边进行证明； 对于D，利用正弦定理以及比例的性质即可证明. 【详解】对于A，由正弦定理，可得，，故A正确. 对于B，由及两角为三角形内角 ，可得，或，即或，故B错误； 对于C，在中，由正弦定理可得，，因此是的充要条件，故C正确； 对于D，由正弦定理，可得右边左边，故D正确. 故选：ACD 11．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（    ） A． B．在向量上的投影向量为 C．若，则为的中点 D．若在线段上，且，则的取值范围为 【答案】BD 【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A错误，投影向量为，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，，D正确，得到答案. 【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系， 设， 则，整理得到， ， ，，设， 对选项A：，，，错误； 对选项B：，， ，即投影向量为，正确； 对选项C：， ， ，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误； 对选项D：，，， ，， 整理得到，，故，正确. 故选：CD 【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量满足，则 ． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律求得，再根据向量模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由，得，有， 则， 故答案为： 13．在中，，，的面积为，则 . 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式：，求出，再由余弦定理即可求解. 【详解】因为，，所以， 由余弦定理得 ， 所以. 故答案为： 14．锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则面积S的取值范围 . 【答案】 【分析】本题为正余弦定理的综合运用题型，先利用正余弦定理进行角化边得出角A，再根据已有条件选定面积公式为，面积变为关于边c的函数，再利用角B和角C的关系进行边化角和角归一即可求出答案. 【详解】因为，所以由正弦定理有，整理得， 所以由余弦定理有，又，所以， 又，所以由正弦定理有， 因为为锐角三角形，所以且，所以， 所以，则，所以，即， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知，，， (1)若 求k的值； (2)若 ，且三点共线， 求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出，的坐标，依题意，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以，解得. （2）因为，， 因为，，三点共线， 所以，所以，解得， 故的值为． 16．(本小题满分15分)已知，，且与夹角为，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值； (3)若向量与垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）求出的值，利用平面向量数量积的运算性质可求得与的夹角的余弦值； （3）分析可知，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可. 【详解】（1）解：因为，，且与夹角为，所以，， 所以，. （2）解：因为， 所以，. （3）解：因为向量与垂直， 则， 整理可得，解得或. 17．(本小题满分15分)已知在中，角所对的边分别为，且. （1）若，求的值； （2）若的面积为3，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先求，利用正弦定理求a； （2）分别利用面积和余弦定理列方程组，即可求出的值. 【详解】解：（1）因为，B 为内角，所以， 由正弦定理得，即，解得； （2）由的面积得：，得 由余弦定理得，得， 即， 所以即，所以. 18．(本小题满分15分)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 19．(本小题满分17分)某汽车公司生产某品牌汽车的固定成本为48亿元，每生产1万台汽车还需投入2亿元，设该公司一年内共生产该品牌汽车万台并全部销售完，每万台的销售额为亿元，且 (1)写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式； (2)当年产量为多少万台时，该公司在该品牌汽车的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当年产量为40万台时，该公司在该品牌汽车的生产中所获得的利润最大，最大利润为112亿元. 【分析】（1）根据产量的不同取值分类讨论进行求解即可； （2）根据二次函数的性质和基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）当， 当， 所以 （2）当，对称轴为，且开口向下， 当时，最大，最大利润为； 当， 当时，即时， 此时最大为106， 因为，所以当年产量为40万台时，该公司在该品牌汽车的生产中所获得的利润最大，最大利润为112亿元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $