7.3复数的三角表示（分层作业+6题型）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.3 复数的三角表示 刷基础 题型一 复数的三角式与代数式互化 1．复数化成三角形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．复数化为三角形式为_____________，_____________． 3．将下列复数化为三角形式（要求辐角为辐角主值）． （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________． 4．将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4) 5．将复数化为代数形式为_________． 题型二 复数的辅角主值 6．复数的辐角主值为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）设的辐角主值为，则的辐角可以是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）设，则复数的辐角主值不可能是（   ） A． B． C． D． 9．已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是______． 10．复数的辐角主值为________. 提能力 题型一 三角式下的复数乘法 11．___________. 12．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 13．已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 14．计算下列各式： (1)； (2)； (3). 15．计算： (1) (2). 题型二 三角式下的复数除法 16．的结果是（   ） A． B． C． D． 17．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．计算． （1）； （2）． 19．计算： (1)； (2). 20．计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 破难关 题型一三角式下的复数几何意义 21．图中四边形ABCD，DCEF，FEGH都是正方形，用复数方法证明：．    22．在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 23．瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若复数的虚部为，，则的实部为 D．已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为 24．年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（是自然对数的底，是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且的共轭复数为，则下列说法正确的是（    ） A． B．表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限 C． D．若，为两个不同的定点，为线段的垂直平分线上的动点，则 题型二 复数三角式的综合 25．任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 26．任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．若或，则 C． D．当，且为偶数时，复数为纯虚数 27．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 28．任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫佛发现：，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是（    ） A．当，时， B．当，时， C．当，且为偶数时，为实数 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 复数的三角表示 刷基础 题型一 复数的三角式与代数式互化 1．复数化成三角形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出复数的辐角，即可得其三角形式. 【详解】复数对应的点为，. 设复数的辐角为，则. 因为点在第四象限，所以的一个值为. 所以复数化成三角形式为. 故选：C. 2．复数化为三角形式为_____________，_____________． 【答案】 【分析】根据复数的形式，由实部和虚部的值直接确定复数的三角形式. 【详解】复数对应的点在第一象限，且，. 因为，所以． 故答案为：；. 3．将下列复数化为三角形式（要求辐角为辐角主值）． （1）___________； （2）___________； （3）___________； （4）___________． 【答案】 【分析】先利用三角恒等式转化符号，将表达式调整为标准三角形式，再把辐角修正到主值范围内即可. 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4）. 故答案为：；；； 4．将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）求出三角函数值展开后可得； （2）结合诱导公式求出三角函数值展开后可得； （3）先计算模长，再求辐角，然后可得； （4）先计算模长，再求辐角，然后可得. 【详解】（1）. （2）. （3）复数的模长为1，辐角为，所以. （4）复数的模长为1，辐角为，. 5．将复数化为代数形式为_________． 【答案】 【详解】． 题型二 复数的辅角主值 6．复数的辐角主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数诱导公式，将复数整理成标准的三角形式即可. 【详解】由题意得， 即复数为， ． 故选：D. 7．（多选）设的辐角主值为，则的辐角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的乘法化简，再应用复数的三角表示结合诱导公式计算求解辐角. 【详解】． 又，， ，，， ，， ． 的辐角主值为，则的辐角可以是或． 故选：AC． 8．（多选）设，则复数的辐角主值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用复数的除法法则化简复数，再分别求出各选项角的范围，结合辐角主值的定义可判断. 【详解】 ， 因为，所以， 则，，， 因为辐角主值满足，故B不符合题意，ACD符合题意. 故选：ACD 9．已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是______． 【答案】 【分析】根据复数的三角表示可得，从而可得其共轭复数，即可得共轭复数的辐角主值. 【详解】解：的辐角主值是，则，， 所以共轭复数， 则共轭复数的辐角主值是. 故答案为：. 10．复数的辐角主值为________. 【答案】 【解析】先化复数三角形式，再根据辐角主值定义得结果. 【详解】因为，所以辐角主值为. 故答案为： 【点睛】本题考查复数辐角主值定义、复数三角形式，考查基本分析求解能力，属基础题. 提能力 题型一 三角式下的复数乘法 11．___________. 【答案】 【分析】利用三角形式的复数乘法运算求解. 【详解】. 故答案为： 12．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数乘法的三角表示公式计算即可. 【详解】因为，所以 . 故选：C. 13．已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据复数的三角形式旋转得到新复数，再应用复数乘法计算即可. 【详解】 逆时针旋转后得，所以=. 故选：A 14．计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复数三角形式的乘法运算直接求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式. （3） . 15．计算： (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用复数三角形式的乘法运算求解. 【详解】（1） （2） 题型二 三角式下的复数除法 16．的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的除法运算并结合两角和差的正余弦公式化简即可. 【详解】 . 故选：C 17．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 又，， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 18．计算． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将复数写成三角形形式后，根据除法即为辐角作差，模相除可得解； （2）将复数写成三角形形式后，根据除法即为辐角作差，模相除可得解； 【详解】（1） ； （2） 19．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，结合复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . （2）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . 20．计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）运用复数的三角形式表示，并按照乘除规则计算即可. 【详解】（1） ． （2） ． 破难关 题型一三角式下的复数几何意义 21．图中四边形ABCD，DCEF，FEGH都是正方形，用复数方法证明：．    【答案】证明见解析 【分析】根据题意，建立以为坐标原点的直角坐标系，分别表示出对应的复数，并将复数改写成三角表示的形式并进行乘法运算即可得出结论. 【详解】以为坐标原点，以方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：    令，可得点， 所以对应的复数分别为， 所以分别为的辐角，且； 可得 ； 所以可得 22．在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)根据复数的三角形式旋转后可得新复数； (2)根据复数三角形式的除法运算律求解即可. 【详解】（1）复数逆时针旋转后得, 顺时针旋转后得. （2）由（1）得. 23．瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若复数的虚部为，，则的实部为 D．已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为 【答案】AB 【分析】根据欧拉公式及复数得模即可判断A； ，整理即可判断B； 根据欧拉公式及复数的虚部为，，结合三角恒等变换，求出，即可求出的实部，从而判断C； 根据题意可得，点得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆，根据三角形的面积公式即可求得三角形面积的最大值，从而判断D. 【详解】解：对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C， ， 因为复数的虚部为，所以， 又，所以， 故，所以， 所以， ， ， 即的实部为，故C错误； 对于D，由题意，， 则点得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆， 又，， 当，即时，取最大值， 所以三角形面积的最大值为，故D错误. 故选：AB. 24．年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（是自然对数的底，是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且的共轭复数为，则下列说法正确的是（    ） A． B．表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限 C． D．若，为两个不同的定点，为线段的垂直平分线上的动点，则 【答案】ACD 【分析】根据共轭复数的定义及复数的几何意义，对各选项逐一判断即可. 【详解】解：对于A选项，， ， 则，选项A正确； 对于B选项，， ，，， 表示的复数对应的点在复平面中位于第二象限，选项B错误； 对于C选项， 则， ，选项C正确； 对于D选项，可转化为与两点间距离，可转化为与两点间距离， 由于为线段的垂直平分线上的动点， 根据垂直平分线的性质可知与两点间距离等于与两点间距离， 则，选项D正确. 故选：ACD. 题型二 复数三角式的综合 25．任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【分析】由题意可得， 故， 所以， 故选：C. 26．任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．若或，则 C． D．当，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AB 【分析】根据棣莫弗定理，结合三角函数知识，及共轭复数，纯虚数的概念逐项验证可得答案. 【详解】选项A：当时，由棣莫弗定理得，， 所以，所以选项A正确； 选项B显然有，由棣莫弗定理得，，所以选项B正确； 选项C ，所以选项C错误； 选项D：当时，由棣莫弗定理得，， 当时，，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数，所以选项D错误． 故选：AB 27．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据棣莫佛定理可得的一般形式，故可得正确的选项. 【详解】设，其中，则， 故，， ∵，∴，故，则 故，则， 故，故BD正确，AC错误； 故选：BD. 28．任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫佛发现：，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是（    ） A．当，时， B．当，时， C．当，且为偶数时，为实数 D． 【答案】AD 【分析】运用题意中提供的棣莫弗定理，结合复数的运算规则以及复数模的计算公式，逐项进行运算求解. 【详解】对A，由题意知，正确； 对B，由题意知，错误； 对C，由题意知，令，则，当时，错误； 对D，，，所以，正确. 故选：AD 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $