7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（教学课件） 数学人教A版必修第二册

第7章 复数 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 人教A版·必修第二册· 学习目标 1.理解复数乘、除运算的三角表示公式，能准确表述公式的文字含义，并掌握公式的推导过程。 2.掌握复数乘、除运算的几何意义，能结合图形解释复数乘、除运算对应的向量变换（旋转、伸缩）。 3.能熟练运用复数三角形式的乘、除运算法则解决相关计算问题，并能作出几何解释。 4.体验复数运算从代数形式到三角形式的拓展过程，感受数形结合、类比、化归与转化等数学思想，提升直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养。 目录 CATALOG 01. 复数三角形式的乘法 03.题型强化训练 02.复数三角形式的除法 04.小结及随堂练习 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 01 复数三角形式的乘法 导入新知1：无人机飞行路径规划 同学们，周末很多同学喜欢玩无人机航拍。假设你操控的无人机初始位置在复平面的点A，对应的复数为z=2(cos30°+isin30°)，现在需要让无人机完成两个动作：第一步，绕起飞点逆时针旋转60°，同时飞行距离变为原来的1.5倍；第二步，再绕当前位置顺时针旋转45°，飞行距离变为当前的2/3倍。 1. 无人机初始位置对应的复数为z=2(cos30°+isin30°)，这种表示形式中，数字2和30°分别对应复数的什么特征？ 2. 第一步“逆时针旋转60°、距离变为原来的1.5倍”，这个动作对应的复数运算应该是什么？为什么？ 3. 第二步“顺时针旋转45°、距离变为当前的2/3倍”，与第一步运算相比，有什么不同？该如何表示对应的复数运算？ 4. 为什么用复数代数形式计算无人机飞行路径步骤繁琐，而复数的三角表示能更简洁地解决这类旋转、伸缩问题？ 导入新知2：时钟指针的旋转与复数对应 我们每天都会用到时钟，假设把时钟的表盘看作复平面，原点在表盘中心，12点方向为实轴正方向，时钟的指针长度为复数的模，指针与12点方向的夹角为复数的辐角。已知时针当前指向3点，对应的复数为z1=1(cos90°+isin90°)（指针长度设为1）；分针当前指向6点，对应的复数为z2=1.5(cos180°+isin180°)（指针长度设为1.5）。 1. 时针对应复数z1=1(cos90°+isin90°)，其中数字1和90°分别对应复数的什么特征？结合时钟场景说明理由。 2. 时针绕中心逆时针旋转60°、长度变为原来的2倍，这个动作对应的复数运算是什么？为什么这样运算能实现旋转和伸缩效果？ 3. 要让分针方向与时针旋转后一致、长度变为其1/2，需对z2=1.5(cos180°+isin180°)进行怎样的复数运算？请说明依据。 4. 为什么复数代数形式难以体现指针的旋转和伸缩关系，而复数的三角表示能精准对应这类运算？ 复习旧知——复数的乘、除运算 (a + bi) (c + di )=ac + bci+adi+ bdi2 =(ac－bd) + (bc+ad) i 类似多项式展开 把i2换成－1，合并实部与虚部 分子分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母“实数化” 分子，分母运用乘法进行化简 化为复数的代数形式 复习旧知——复数的几何意义 复数z＝a＋bi 复平面内的点Z（a，b） 一一对应 一一对应 平面向量OZ 一一对应 a b z=a＋bi 学习新知——复数的三角形式 其中 r 是复数z的模； θ 是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线为终边的角，叫做z的辐角； 在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z． 两个复数相等 ⟺ 两个复数的模相等且辐角主值相等 a b z=a＋bi r θ 学习新知 【思考】 如果把复数z1，z2分别写成三角形式 ， 你能计算z1z2并将结果分别表示成三角形式吗？ 这就是说，两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和. 学习新知 【探究】 由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？ 两个复数z1，z2相乘时，可以像图7.3-6那样，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2． 这是复数乘法的几何意义． 图7.3-6 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求复数的模、三角表示下复数的乘方与开方 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数乘、除运算的三角表示、复数的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 三角表示下复数的乘方与开方 学习新知 你能解释 i 2 和(－1)2=1的几何意义吗？ 02 复数三角形式的除法 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 学习新知 例3： 学习新知 当不要求把计算结果化为代数形式时， 也可以用三角形式表示． O Z Z2 Z1 x y 图7.3-7 学习新知 【点睛】本题考查复数三角形式的除法法则，属基础题，本题中需要将代 数形式的复数，以及非标准三角形式的复数化为标准三角形式. 【变式】 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数乘、除运算的三角表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 三角表示下复数的乘方与开方、已知复数的类型求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 三角表示下复数的乘方与开方、已知复数的类型求参数 学习新知 例4： O Z x y 1 1 图7.3-8 学习新知 【变式】 学习新知 学习新知 复数三角形式乘、除运算的几何意义 学习新知 【探究】 类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？ 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的基本概念、复数乘、除运算的三角表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的基本概念、复数乘、除运算的三角表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 三角表示下复数的乘方与开方 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数乘、除运算的三角表示 学习新知 例5： 学习新知 【变式】 学习新知 【探究】 复数除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？ 这就是说，两个复数相除,商的模等于被除数模除以除数的模所得的商, 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数乘、除运算的三角表示、复数的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数乘、除运算的三角表示、复数的三角形式 03 题型强化训练 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 能力提升 题型一、 复数三角形式的乘法运算 【练习1】 【点睛】本题考查复数的三角形式的乘法，属基础题. 能力提升 题型一、 复数三角形式的乘法运算 【感悟提升】 乘法运算的求解策略 (1)积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和． (2)做复数三角形式的乘法运算时，要注意向量旋转的方向． (3)做复数乘法运算时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式． 能力提升 题型二、 复数三角形式的除法运算 【练习2】 【点睛】本题考查复数三角形式的除法法则，属基础题，注意本题中将 实数转化为三角形式的细节. 能力提升 题型二、 复数三角形式的除法运算 【感悟提升】 能力提升 题型三、复数乘、除运算几何意义的应用 【练习3】 【感悟提升】复数乘、除运算的几何意义是数形结合的体现，利用复数的 几何意义解题要充分挖掘题目中的已知条件． 04 小结及随堂练习 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 课堂总结1 知识清单： 1.复数三角形式的乘法． 2.复数三角形式的除法． 3.复数乘、除运算的几何意义． 4.复数乘法运算和除法运算的三角表示公式及其几何意义分别是什么? 它们是如何推导出来的，试简述研究思路和方法． 5.简述复数的代数形式和三角形式的区别与联系，它们在运算上各有 什么优势?分别适合哪些运算? 课堂总结2 复数乘法运算的三角表示： 即两个复数相乘, 积的模等于各复数的模的积, 积的辐角等于各复数的辐角的和. 复数除法运算的三角表示： 即两个复数相除, 商的模等于被除数模除以除数的模所得的商, 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 课堂总结3 作业 教科书习题7.3第3，4，5，6，8题. 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 练习（第89页） 练习（第89页） 习题7.3（第89页） 1．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： 习题7.3（第89页） 1．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： O x y A B C O y x 1 1 2 3 1 2 3 A B C O y x 1 1 2 3 1 2 3 A B C 1 2 3 A O B C D 复习参考题7 A 复习参考题7 B D D 人教A版·必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 1. 欧拉公式： 是虚数单位， 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数 ，复数 满足 ，则 的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 【详解】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D 已知 ，则在下列表达式中表示 的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因，则， 对于A，，故A项正确； 对于B， ，故B项错误； 对于C，，故C项错误； 对于D，由B项知，，故D项错误. 故选：A. 3. 任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理．计算 ． 【详解】因为， 所以 ， 故答案为：． . 【详解】 = EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 故答案为： . 4. 棣莫弗公式 （ 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数 ，则 的值是 ． 【详解】因为，由棣莫弗公式可得： . 故答案为：. 5.（多选题） 任何一个复数 （其中 ）都可以表示成： 的形式．法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．当 时， B．若 或 ，则 C． D．当 ，且 为偶数时，复数 为纯虚数 【详解】选项A：当时，由棣莫弗定理得，， 所以，所以选项A正确； 选项B显然有，由棣莫弗定理得，，所以选项B正确； 选项C ，所以选项C错误； 选项D：当时，由棣莫弗定理得，， 当时，，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数，所以选项D错误． 故选：AB 把复数 与 对应的向量 分别按逆时针方向旋转 和 后， 重合于向量 且模相等，已知 ，则复数 的代数形式和 它的辐角分别是（     ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知 ，又 ， 则 ，可知 对应的坐标为 ，则它的辐角主值为 ， 故可以作为复数 的辐角的是 ， ，当 时， . 故选：BD. 两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量eq \o(OZ1,\s\up17(―→))，eq \o(OZ2,\s\up17(―→))，然后把向量eq \o(OZ1,\s\up17(―→))绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把eq \o(OZ1,\s\up17(―→))绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量eq \o(OZ,\s\up17(―→))，eq \o(OZ,\s\up17(―→))表示的复数就是积z1z2. 6.（多选题） 设复数 ，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若 ，则 或 D．若 ，则 【详解】A选项，方法一： ，， 又， 方法二：设，则， 故，又，故，故A正确； B选项，，， ，∴，故B正确； C选项，方法一：，，， 将①式两边乘以得，代入②式得或， 或或； 方法二：设， 且不恒等于0，，即或，故C正确； D选项，当时，，但虚数与不能比较大小，故D不正确. 故选：ABC 7. 法国著名的数学家棣莫弗提出了公式： ．据此公式，复数 的虚部为 ． 【详解】， 故其虚部为. 故答案为：. 8. 已知复数 ， ，其中 为虚数单位，则 ． 【详解】由复数三角形式乘法法则得到:. 故答案为：. 计算下列各式，并作出几何解释： 【详解】原式 EMBED Equation.DSMT4 .几何解释：设 ， 作与 对应的向量 ，然后把向量 绕原点 按顺时针 方向旋转 ，再将其长度缩短为原来的 ，得到一个长度为 ，辐角为 的向 量 ，则 即为 所对应的向量. 已知向量 对应的复数为 ，复数 可以将向量 按逆时针方向 旋转 得到（填最小正角）． 【详解】因，则，设将向量按逆时针方向旋转角，可得到复数对应的向量，则由，化简得：， 故有，解得，故得， 依题意求最小正角，则. 故答案为：. 10. 把复数 与 对应的向量 分别按逆时针方向旋转 和 后，重合于向量 且模相等，已知 ，则复数 的代数形式是 ，辐角的主值是 ． 【详解】由题意可知，又， 则 ，可知对应的坐标为，则它的辐角主值为. 故答案为：；. （     ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】C 【知识点】复数的三角表示 【解析】根据复数的乘法法则，进行整理化简即可. 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 故选：C. （    ） A． B． C． D． 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 故选：B. 除法运算的求解策略 (1)商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角． (2)结果一般保留代数形式． (3)商的辐角主值不一定等于被除数的辐角主值减去除数的辐角主值所得的差．实际上，arg eq \f(z1,z2)与arg z1，arg z2的关系是arg eq \f(z1,z2)＝arg z1－arg z2＋2kπ(k∈Z)． 已知复数 在复平面内对应的点为 ，则 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 【分析】利用复数的几何意义，复数的乘法运算及模的求法即得. 【详解】复数 在复平面内对应的点为 ， 则 . 故选：D. $