7.3.1-7.3.2 复数的三角表示式 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

7.3　复数的三角表示 7.3.1　复数的三角表示式 7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 第七章 复数 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 课堂 互动学案 02 课前 预习学案 01 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第七章 复数 数学·必修第二册 课程标准 素养解读 通过复数的几何意义，了解复数的三角表示；了解复数的代数表示与三角表示之间的关系；了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义. 通过了解复数的三角表示及复数乘、除的几何意义，体会数学抽象及数学运算素养. [情境引入] 前面已经学习过了复数的另两种表示．一是代数表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．二是几何表示．复数z既可以用复平面上的点Z(a，b)表示，也可以用复平面上的向量eq \o(OZ,\s\up13(→))来表示．现在需要学习复数的三角表示，即用复数z的模和辐角来表示复数． 问题　复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？ 提示　复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的． [知识梳理] [知识点一]　复数的三角形式 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成　r(cosθ＋isin θ)　的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \o(OZ,\s\up13(→))所在射线(射线eq \o(OZ,\s\up13(→)))为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的　辐角　，r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称　三角形式　，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称　代数形式　. [知识点二]　辐角主值 规定在　0≤θ≤2π　范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作　arg z　. [知识点三]　复数三角形式的乘法 两个复数相乘，积的模等于各复数模的　积　，积的辐角等于各复数的辐角的　和　. r1(cos θ1＋isin θ)·r2 (cos θ2＋isin θ2)＝　r1r2[cos(θ1＋θ2_)＋isin(θ1＋θ2_)]　. [知识点四]　复数三角形式的除法 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的　商　，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的　差　. eq \f(r1cos θ1＋isin θ1,r2cos θ2＋isin θ2)＝　eq \f(r1,r2)[cos (θ1－θ2) ＋isin(θ1－θ2 ]　. [预习自测] 1．复数1＋i的辐角主值为(　　) A.eq \f(π,6)　　　 B.eq \f(π,3)　　　 C.eq \f(π,4)　　　 D.eq \f(π,2) 解析：C　[因为复数1＋i对应的点在第一象限，所以arg(1＋i)＝eq \f(π,4).] 2．若复数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n为实数，则正整数n的最小值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[因为eq \f(1＋i,1－i)＝eq \f(2i,2)＝i，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n＝in为实数，所以n的最小值为2.] 3.eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5,12)π＋isin\f(5,12)π))·eq \r(6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5,6)π＋isin\f(5,6)π)) ＝________. 解析：eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5,12)π＋isin\f(5,12)π))·eq \r(6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5,6)π＋isin\f(5,6)π)) ＝3eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,4)＋isin\f(5,4)π)) ＝3eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)i)) ＝－3－3i. 答案：－3－3i 4．计算(cos π＋isin π)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)＋isin \f(π,3)))＝________. 解析：(cos π＋isin π)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)＋isin \f(π,3)))＝coseq \f(2π,3)＋isineq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i. 答案：－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i 5．把下列复数表示成代数形式 (1)4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos \f(π,3)＋isin\f(π,3)))； (2)6(coseq \f(11,6)π＋isineq \f(11,6)π)； (3)eq \r(2)(coseq \f(3,4)π＋isineq \f(3,4)π)； (4)3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3,2)π＋isin\f(3,2)π)). 解：(1)4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)) ＝2＋2eq \r(3)i. (2)6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)i))＝3eq \r(3)－3i. (3)eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3,4)π＋isin\f(3,4)π))＝eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋\f(\r(2),2)i))＝－1＋i. (4)3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3,2)π＋isin\f(3,2)π))＝－3i. 将复数的代数形式转化为三角形式 [例1]　将下列复数代数式化成三角形式： (1)eq \r(3)＋i；(2)1－i. [思路点拨]　z＝a＋bi(a，b∈R)＝r(cos θ＋isin θ)．注意θ的范围． [解]　(1)r＝eq \r(\r(3)2＋12)＝2，所以cos θ＝eq \f(\r(3),2)， 对应的点在第一象限，所以arg(eq \r(3)＋i)＝eq \f(π,6)， 所以eq \r(3)＋i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6))). (2)r＝eq \r(12＋－12)＝eq \r(2)，所以cos θ＝eq \f(\r(2),2)， 对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝eq \f(7π,4)， 所以1－i＝eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,4)＋isin\f(7π,4))). 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤： (1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求出复数三角式． [变式训练] 1．复数z＝eq \r(3)－i的三角形式为(　　) A．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)＋isin\f(2π,3))) B．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,3)－isin\f(5π,3))) C．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,6)－isin\f(7π,6))) D．2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(11π,6)＋isin\f(11π,6))) 解析：D　[因为r＝2，所以cos θ＝eq \f(\r(3),2)，又z＝eq \r(3)－i对应的点在第四象限，所以arg(eq \r(3)－i)＝eq \f(11π,6)，所以z＝eq \r(3)－i＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(11π,6)＋isin\f(11π,6)))] 复数的三角形式化为代数形式 [例2]　复数z＝eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)＋icos\f(2π,3)))化为代数形式为(　　) A.eq \f(3,2)i＋eq \f(\r(3),2)i　　　 B．－eq \f(3,2)＋eq \f(\r(3),2)i C．－eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2)i D.eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2)i [思路点拨]　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝rcos θ,y＝rsin θ))求解． 解析：D　[z＝eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)＋icos\f(2π,3))) ＝eq \r(3)sineq \f(2π,3)＋eq \r(3)icoseq \f(2π,3)＝eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＋ieq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) ＝eq \f(3,2)－eq \f(\r(3),2)i] 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A. [变式训练] 2．将复数z＝eq \r(2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos－\f(π,4)＋isin－\f(π,4)))化为代数形式为________． 解析：z＝eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)－isin\f(π,4)))＝eq \r(2)×coseq \f(π,4)－ieq \r(2)×sineq \f(π,4)＝1－i. 答案：1－i 复数三角形式的乘法运算 [例3]　计算： (1)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)＋isin\f(2π,3)))×eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,6)＋isin\f(5π,6)))； (2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×eq \f(1,2)(cos 25°＋isin 25°)． [思路点拨]　运用复数三角形式的乘法运算法则直接求解． [解] (1)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)＋isin\f(2π,3)))×eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,6)＋isin\f(5π,6))) ＝2eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3π,2)＋isin\f(3π,2))) ＝－2eq \r(3)i. (2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×eq \f(1,2)(cos 25°＋isin 25°)＝8(cos 35°＋isin 35°)×eq \f(1,2)(cos 25°＋isin 25°) ＝4(cos 60°＋isin 60°) ＝2＋2eq \r(3)i. 直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加． [变式训练] 3．计算：(eq \r(3)＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝________. 解析：法一　(eq \r(3)＋i)(cos 60°＋isin 60°) ＝2(cos 30°＋isin 30°)(cos 60°＋isin 60°) ＝2(cos 90°＋isin 90°)＝2i. 法二　(eq \r(3)＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝(eq \r(3)＋i)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)) ＝eq \f(\r(3),2)＋eq \f(3,2)i＋eq \f(1,2)i－eq \f(\r(3),2)＝2i. 答案：2i 复数三角形式的除法运算 [例4]　(1)设π<θ<eq \f(5π,4)，则复数eq \f(cos 2θ＋isin 2θ,cos θ－isin θ)的辐角主值为(　　) A．2π－3θ　 B．3θ－2π　　 C．3θ　 D．3θ－π (2)计算：8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,6)＋isin\f(7π,6)))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3))))). [思路点拨]　直接运用除法法则进行运算． (1)解析：B [eq \f(cos 2θ＋isin 2θ,cos θ－isin θ)＝eq \f(cos 2θ＋isin 2θ,cos－θ＋isin－θ) ＝cos 3θ＋isin 3θ. ∵π<θ<eq \f(5π,4)，∴3π<3θ<eq \f(15π,4)， ∴π<3θ－2π<eq \f(7π,4)，故本题应选B.] (2)解：8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,6)＋isin\f(7π,6)))÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3))))) ＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,6)＋isin\f(5π,6))) ＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i)) ＝－eq \r(3)＋i. 直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减． [变式训练] 4．计算：2i÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos 30°＋isin 30°)). 解：2i÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos 30°＋isin 30°)) ＝2(cos 90°＋isin 90°)÷eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos 30°＋isin 30°)) ＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋2eq \r(3)i. $