7.2.2 复数的乘除运算 （教学课件）数学人教A版必修第二册

第7章 复数 7.2.2 复数的乘除运算 人教A版·必修第二册· 学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算规则，能熟练进行具体复数的乘除运算。 2.理解并验证复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，明确其与实数运算律的一致性。 3.掌握复数范围内实系数一元二次方程的求解方法，能运用求根公式或配方法解决相关方程问题。 4.提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体会数系扩充的数学思想。 目录 CATALOG 01.复数的乘法运算及运算律 03.题型强化训练 02.复数的除法运算 04.小结及随堂练习 7.2.2复数的乘除运算 01 复数的乘法运算 及运算律 导入新知1：手机信号传输中的“复数密码” “同学们每天都在用手机刷视频、发消息，可你们知道手机信号是如何精准传输的吗？其实在信号处理中，工程师会用到‘复信号’来描述电磁波的振动规律——比如某信号的复数表达式是3+2i，另一路干扰信号是1+i，要计算信号的有效强度，就需要用到复数的除法来‘过滤’干扰；而信号的叠加放大，又离不开复数的乘法运算。 1. 信号表达式为3+2i，干扰信号为1+i，为什么需要用复数除法才能“过滤”干扰、计算信号有效强度？ 2. 结合信号叠加放大的需求，推测复数乘法运算在信号处理中起到了怎样的作用？ 3. 信号遇到“障碍”时，方程求解出现负数开平方，复数为何能破解实数范围内无解的困境？ 4. 复数乘除运算作为现代通信的“隐形功臣”，除了信号过滤和放大，还可能在哪些通信场景中应用？ 导入新知2：超市促销中的“复数算账” “假设超市推出‘文具组合套餐’：A套餐包含1本笔记本（价值3元）和2支笔（每支1元，记为虚部单位i），套餐价格可表示为3+2i；B套餐包含1本笔记本（3元）和1支笔（1元），价格表示为3+i。现在有两个问题：①买2套A套餐需要花多少钱？这就需要用复数乘法计算2×(3+2i)；②用10元现金（对应实数10）购买1套A套餐，应找回的‘复数余额’该如何计算？ 1. A套餐价格为3+2i，买2套A套餐需计算2×(3+2i)，结合套餐物品组成，推测复数乘法的运算规则可能是什么？ 2. 用实数10（10元现金）购买1套A套餐（3+2i），应找回的“复数余额”为何需要用复数除法10÷(3+2i)计算？ 3. 优惠券价值计算出现负数开平方时，实数范围内无法核算，复数为什么能破解这个难题？ 4. 除了超市“复数算账”，生活中还有哪些场景会用到复数的乘除运算来解决实际问题？ 复习旧知 数系扩充的基本规则 复数的基本概念 两个复数相等的含义 复数的分类 形如 (a,b∈R)的数叫做复数，其中 叫做虚数单位. 其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部. = ， 复数 z= 复习旧知 复平面 的概念 复数与点、 向量的一一对应 复数的模 及其应用 共轭复数 的概念 复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b) 一一对应 …… 如果z＝a＋bi， 那么z＝a-bi. 复习旧知 复数的加法 复数的减法 复数的加减法的运算律 复数的加减法的几何意义 …… 复数的加减法可以按照向量的加减法来进行 (a + bi) + (c + di ) =(a + c)+(b + d)i. (a + bi)-(c + di) = (a - c)+(b - d) i. 与多项式的加减法运算律类似 学习新知 我们规定，复数的加法法则如下∶ 设z1=a + bi，z2= c + di (a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积为 (a + bi) (c + di )=ac + bci+adi+ bdi2 =(ac－bd) + (bc+ad) i 类似多项式展开 把 i2 换成－1， 合并实部与虚部 很明显，两个复数的积是一个确定的复数，特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可. 学习新知 复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗? 【思考】 设z1=a+bi， z2=c+di . 则z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+ad i+bci+bd i2 =ac+ad i+bci－bd =(ac－bd)+(ad+bc)i 而z2·z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac－bd)+(ad+bc)i. 所以满足 (交换律) z1·z2=z2·z1 同理易得：(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律) z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (分配律) 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断复数对应的点所在的象限 学习新知 例1： 【解析】 学习新知 【变式】 学习新知 例4： 【解析】 分析：本例可以用复数的乘法法则计算，也可以用乘法公式计算 (指的是与实数系中的乘法公式相对应的公式). 学习新知 【变式】 学习新知 复数的乘法运算法则的应用 (1) 复数的乘法运算可以把 i 看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把 i2 化为－1，进行最后结果的化简； (2) 对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便．例如平方差公式、完全平方公式等． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 虚数单位i及其性质、复数的乘方 02 复数的除法运算 7.2.2复数的乘除运算 学习新知 类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.请探求复数除法的法则？ 【探究】 分子分母同乘以分母的共轭 复数，从而使分母“实数化” 分子，分母运用 乘法进行化简 化为复数的代数形式 学习新知 例5： 【解析】 学习新知 【变式】 学习新知 注意点： 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 瞬时变化率的概念及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的除法运算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的除法运算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的相等、复数的除法运算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据复数对应坐标的特点求参数 学习新知 例6： 【解析】 在复数范围内解下列方程： 分析：利用复数的乘法容易得到（1）中方程的根. 学习新知 例6： 【解析】 在复数范围内解下列方程： 学习新知 例6： 【解析】 在复数范围内解下列方程： 学习新知 【详解】 【变式】 学习新知 【变式】 【详解】 学习新知 在复数范围内解方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的平方根与立方根 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 复数的平方根与立方根 03 题型强化训练 7.2.2复数的乘除运算 能力提升 题型一、复数的乘法运算 能力提升 题型一、复数的乘法运算 【反思感悟】 能力提升 题型二、复数的除法运算 能力提升 题型二、复数的除法运算 1. 两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．　　 2. 复数的除法运算法则的应用 复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算． 3．常用公式 (1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.　 能力提升 题型二、复数的除法运算 1．两个复数代数形式的除法运算的步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．　 2．常用公式　 能力提升 题型三、复数范围内的方程根问题 能力提升 题型三、复数范围内的方程根问题 【反思感悟】 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解． 04 小结及随堂练习 7.2.2复数的乘除运算 课堂总结1 1．知识清单： (1)复数的乘法运算及运算律．(2)复数的除法运算． (3)在复数范围内解方程． 2．方法归纳：分母实数化、配方法、求根公式法． 3．常见误区：分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误． 课堂总结2 作业 课本80页练习，80页习题7.2的剩余题. 7.2.2复数的乘除运算 练习 （第80页） 习题7.2（第80页） 习题7.2（第80页） 10．使用信息技术手段进行试验：尝试在复数集中对实系数多项式进行因式分解，观察并记录所发现的规律． 人教A版·必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 1. 的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【详解】由于， 所以的虚部为：. 故选：C 2. 已知复数 （ 为虚数单位），则在复平面内复数 对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】复数，所以对应的点为, 则在复平面内复数对应的点位于第二象限； 故选：B 【答案】A 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的代数乘法运算求解即可. 【详解】解：因为复数 ， , 所以 故选：A � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 已知复数 ， ，则 （    ） A． B． C． D． 若复数z满足 ，则z的虚部为（    ） A． B． C． D． � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 【详解】设复数 ，由复数z满足 可得 ，即 则 ，解之得 ，即z的虚部为 故选：D � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 3.若 为虚数单位，则 （   ） A．2 B．2 C．2 D．0 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 已知i为虚数单位，则 （    ） A． B．1 C． D．i 【详解】. 故选：A. 【答案】D 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】先求出复数z，即可判断出复数z在复平面对应的点在第四象限. 【详解】由已知条件 可得 ，解得 ， 复数z在复平面内对应的点为 ，在第四象限. 故选：D. � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 已知 （i为虚数单位），则复数z在复平面对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成eq \f(a＋bi,c＋di)的形式． 复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型， 则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母 同乘a＋bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数． 5. 的虚部为（ ） A． B． C． D． 【详解】根据题意得，所以的虚部为. 故选：C 6. 已知复数 满足 ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】复数满足，则. 故选：C. 已知 为虚数单位，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】由， 故选：C. 8. 下列选项中，与复数 （i为虚数单位）相等的复数是（    ） A． B． C． D． 【详解】． 故选：A 9. 已知 ，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】由， 则在复平面内对应的点为，且位于第一象限， 所以，解得，所以的取值范围为． 故选：A． 若复数 ，则下列说法正确的是（     ） 的虚部是 B．若复数 的共轭复数为 ，则 C．在复数范围内， 是方程 的根 D．若复数：满足 ，则 的最大值为6 � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 对A，复数 ， ，其虚部是 ，A选项错误； 对B， ， ， ，B选项错误； 对C， ，复数范围内， 是方程 的根，C选项正确； � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 对D，设 ， ， ， 则复平面内点 的轨迹为以 为圆心， 1为半径的圆， 的几何意义为点 到原点的距离， 由圆心 到原点的距离为5，则 的最大值为6，D选项正确. 故选：CD. 若复数 ，则下列说法正确的是（     ） 的虚部是 B．若复数 的共轭复数为 ，则 C．在复数范围内， 是方程 的根 D．若复数：满足 ，则 的最大值为6 � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� (1)求根公式法　　 (2)利用复数相等的定义求解　　　 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)， 化简后利用复数相等的定义求解．　　　　 ①当Δ≥0时，x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)； ②当Δ<0时，x＝eq \f(－b±\r(－b2－4ac)i,2a). 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法　　　 10. 若复数 满足 （ 是虚数单位），则下列说法正确的是（   ） A． B． 的模为4 C． 在复平面内对应的点位于第一象限 D． 【详解】由复数，可得， 对于A，由虚数不能比较大小，所以A错误； 对于B，由，可得，所以，所以B错误； 对于C，由复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，所以C错误； 对于D，由，可得，所以，所以D正确. 故选：D. 11.若 ，则 ． 【详解】， 或． 故答案为：或. 12.已知 为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若 ，则 D．若 是方程 的两根，则 【详解】A，设，，， ，所以，正确； B，设，则， 由，得，所以，正确； C， 若，不妨取，， D， 此时，但不成立，错误； D，若是方程的两根，根据韦达定理可知， 则，正确． 故选：ABD 【答案】D 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数乘法运算计算出 即可得出结果. 【详解】因为 ，可知复数 在复平面内对应的点为 ， 所以 在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 【练习1】复数 在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� (1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤 ①首先按多项式的乘法展开； ②再将i2换成－1； ③然后再进行复数的加、减运算． (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)； ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； ③(1±i)2＝±2i. 【答案】B 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的模 【分析】利用复数运算法则和模长的性质计算即可. 【详解】 故选：B � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 【练习2】已知复数 ，若 的共轭复数为 ，则 （    ） A． B．5 C． D．10 � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� eq \f(1,i)＝－i； (2) eq \f(1＋i,1－i)＝i； (3) eq \f(1－i,1＋i)＝－i.　　　　 【答案】A 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根 【分析】利用复数的四则运算即可得解. 【详解】因为 是关于 的方程 的一个根， 所以 ，则 . 故选：A. � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 【练习3】已知 是关于 的方程 的一个根，则实数 的值为（    ） A．8 B． C．4 D． � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� ①当Δ≥0时，x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)； ②当Δ<0时，x＝eq \f(－b±\r(－b2－4ac) i,2a)(此时，两根互为共轭复数)． $