7.2.2 复数的乘除运算教学设计- 2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦复数的乘除运算，通过复习复数加减运算与多项式乘法，类比建立新旧知识联系，以多项式乘法展开为支架，引导学生从已知过渡到复数乘法法则的探究。 该资料以类比与分层为特色，通过多项式乘法类比复数乘法培养抽象能力，分层练习提升运算素养，共轭复数应用与i的幂周期性探究强化逻辑推理。实例中用平方差公式简化运算，帮助学生理解本质，教师可借反思突破除法难点，提升教学实效。

附件： 教学设计 课程基本信息 课题 7.2.2复数的乘、除运算 课型 新授课/一轮复习 学科 数学 年级 高一 学段 高中 版本章节 第七章第二节 教学目标： 1. 掌握复数代数形式的乘法和除法运算；能够按照多项式乘法规则进行复数乘法运算。 理解复数乘法的交换律、结合律和分配律;能够运用这些运算律简化复数运算过程。 2. 理解并解释“分母实数化”在复数除法中的必要性和合理性，体会转化思想的应用，能熟练进行两个及以上复数的乘法与除法运算，提升数学运算的核心素养； 3.理解并会求复数范围内一元二次方程的根；能利用i的幂的周期性简化高次幂运算。 教学重难点 教学重点： 1. 复数代数形式的乘法和除法运算法则。 2. 复数除法的定义与化简方法。 教学难点： 1. 复数除法中分母实数化的原理，共轭复数在运算中的应用。 2. 求复数范围内的方程一元二次方程的根。 学情分析 学生已掌握实数的四则运算、多项式的乘法运算以及平方根与方程求解等基础知识，并在前一节中学习了复数的概念、代数形式及其加减运算，对虚数单位的性质已有明确的认识，具备一定的代数运算能力；本节课通过代数形式推导出，并给出复数除法的计算方法，强调利用共轭复数实现分母实数化。要求学生理解复数乘除运算法则的合理性，掌握通过共轭复数实现分母实数化的方法，能够运用法则进行复数乘除法运算，会用i的幂的周期性简化高次幂运算。这有助于提升学生的代数变形能力、运算素养以及对数系扩充的整体认识，为后续学习复数的三角表示奠定基础。 教学准备 教学课件，粉笔，尺子 教学过程 教学任务 教学内容 设计意图 创新设计（含AI应用） 回忆：若a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)应该如何展开？ （一）复习引入 激活旧知 前面我们学习了复数的加减运算及其几何意义，知道了两个复数相加(减)就是把实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).我们还发现复数的加减法与实数中多项式的加减法类似，那么复数的乘除运算是否也有这种规律呢？这节课我们就来一起探究复数的乘法和除法法则。 回忆：若a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)应该如何展开？ 通过复习复数的加减运算法则和多项式的乘法，建立新旧知识之间的联系，降低学生学习的陌生感；激发学生探究新知识的兴趣；增强学生的目标意识，为后续探究复数的乘法和除法法则做好铺垫。 问题1：设 ， ，（其中a，b，c，d∈R，）是任意两个复数，那么它们的乘积为：·＝()()，按照上述运算法则将其展开，·等于什么？ （二）新知探究 建构法则 目标一：复数的乘法运算及运算律 问题1：设 ， ，（其中a，b，c，d∈R，）是任意两个复数，那么它们的乘积为：·＝()()，按照上述运算法则将其展开，·等于什么？ 设两个复数分别为 和 ，其中 ，则它们的乘积按照如下法则进行计算： 由于 ，将上式中的 替换为 ，并整理实部与虚部，得： 因此，两个复数相乘的结果仍然是一个复数，其实部为 ，虚部为 。这一过程表明，复数的乘法在形式上类似于多项式的乘法，只需在展开后将 换成 ，再将实部与虚部分别合并即可。 问题2.实数的乘法满足哪些运算律?复数的加法满足交换律和结合律，那么复数的乘法是否满足乘法交换律、结合律及乘法对加法的分配律？ 类比实数乘法的运算律，我们很容易得到复数乘法满足的运算律： 对于任意复数 ，有：交换律：；结合律：； 分配律：。 通过类比多项式乘法计算复数的乘法，培养学生知识迁移能力和代数运算素养；借助小组合作探究运算律，提升逻辑推理能力与团队协作意识；让学生亲身经历知识生成过程，加深对复数乘法本质的理解，避免机械记忆。 例3：计算(1-2i)(3+4i)(-2+i). 例4：计算: (1) (2+3i)(2-3i); (2) (1+i)2. 解: (1) 这个形式是共轭复数相乘，可以使用复数的乘法法则计算，也可以使用平方差公式：计算. 令 ，，则： 由于 ，所以：. （2）可以使用复数的乘法法则计算，也可以使用完全平方公式： 令 ，，则： 代入 得：. 总结：实数中多项式相乘满足的完全平方式和平方差公式对复数依然适用。共轭复数的乘积等于它们模的平方，z1z2=a2+b2；遇到形如 的结构，直接套用平方差公式，并注意 ；对于 ，可用完全平方公式展开，关键是要记得 ； 问题3.若z1，z2是共轭复数，则 z1z2是一个怎样的数？ 设z1=a+bi,z2=a-bi(a、b∈R)，则z1z2= 所以，z1z2的结果是一个实数. 常用结论： (a+bi)·(a-bi)= a2+b2(a，b∈R)； (a±bi)2=a2±2abi-b2 (a，b∈R)； (1+i)2＝2i， (1－i)2＝－2i， (1+i)(1－i)=2. 练习： 1．计算：(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6－2i D．6＋2i 2．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　) A．2－13i B．13＋2i C．13－13i D．－13－2i 3. 在复数范围内一元二次方程x2－2x＋5＝0的解是_______. ；(2) ；(3) ；(4) . 通过典型例题训练与练习，强化运算技能；比较不同解法，优化思维策略；引导学生发现规律，提升归纳能力；突出共轭复数的作用。 思考：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.如何定义复数的除法？ 例5：计算(1＋2i )÷(3－4i ) 问题5：你能运用所学的复数运算法则解决下列问题吗？ i1=____. i2=____. I3=____.I4= ____.I5= ____. I6=____.I7=____.I8=____. i4n＋1=____.i4n+2=____.i4n+3=____.i4n+4=____.in+in+1+in+2 +in+3=____. (n∈N*) I2025=____. （四）新知探究 建构法则 目标二：复数的除法运算 思考：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.如何定义复数的除法？ 例5：计算(1＋2i )÷(3－4i ) 解：i， （五）拓展延伸 深化认知 目标三：i 的幂的周期性 和实数一样，复数的乘方就是相同复数的乘积，即n个z连乘记为 zn，比如：i4表示4个i 相乘. 问题5：你能运用所学的复数运算法则解决下列问题吗？ i1=____. i2=____. I3=____.I4= ____.I5= ____. I6=____.I7=____.I8=____. i4n＋1=____.i4n+2=____.i4n+3=____.i4n+4=____.in+in+1+in+2 +in+3=____. (n∈N*) I2025=____. 通过类比与启发，引导学生自主发现除法的关键策略；突出“分母实数化”这一核心技巧；通过完整示范，帮助学生建立清晰的解题程序，克服心理障碍。 通过探究i的幂的周期性，拓展学生视野，提升模式识别能力；完善知识网络，帮助学生形成系统化的认知结构。 作业设计 必做题：1.教科书第80页 练习第1,2,3,4题；第80页习题 7.2 复习巩固第3题. 选做题：教科书第94页复习参考题第8题. 板书设计/课堂小结 7.2.2复数的乘、除运算 1. 复习复数的加减运算 例题3、例4 2. 复数的乘法法则 例题5、例题6 3. 复数的除法法则 练习 4.i 的幂的周期性 教学反思 从课堂练习和课后作业来看，复数乘法目标达成较好：85% 的学生能独立完成 “单项式 × 多项式”“多项式 × 多项式” 类型的复数乘法且能准确处理的符号问题，这得益于教学中用 “多项式乘法类比” 的思路。但复数除法目标存在明显缺口：仅 60% 的学生能规范完成除法运算，主要问题集中在两点：一是忘记 “分母乘共轭复数” 的核心步骤；二是共轭复数找错，导致分母仍为复数形式。这说明未理解操作的本质。​ 二、教学过程亮点：类比与分层，助力基础理解​ 类比教学降低认知难度：复数乘法是学生接触的首个 “非实数运算”，教学中未直接抛出法则，而是先复习多项式乘法通过 “字母→特殊字母的过渡，学生能自然接受复数乘法的展开逻辑，避免了对 “新法则” 的畏惧感。课堂上采用 “先独立做、再小组评、最后教师讲” 的模式，基础薄弱的学生能掌握核心运算，基础好的学生也能得到思维拓展，课堂参与度较高。​ 三、教学不足：原理讲解浅，时间分配失衡​ 时间分配偏向乘法，除法练习不足：因担心学生对乘法不熟悉，预留了较多讲解乘法，导致学生缺乏独立练习的时间。课后作业中，除法题的错误率远高于乘法，且多数错误是 “步骤遗漏”，本质是课堂上未足够时间让学生试错、纠错。​ 缺乏 “运算意义” 的联结：教学中仅聚焦 “怎么算”，未提及复数乘除的实际应用（如电路分析中交流电的计算、复平面上的旋转变换），导致学生觉得 “复数运算只是单纯的计算任务”，缺乏学习兴趣。部分学生课后提问 “学这个有什么用”，反映出教学中 “知识价值” 传递的缺失。​本次教学让我意识到，复数运算教学不能仅停留在 “教会步骤”，更要通过类比、推导、联结实际，让学生理解 “法则背后的逻辑”。后续将结合本次反思优化教学设计，重点突破除法运算的原理理解，让学生真正 “会算、懂算、愿算”。 学科网（北京）股份有限公司 $