7.2.2 复数的乘除运算教学设计- 2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦“复数的乘、除运算”，通过复习复数加减运算律与多项式乘法，类比构建复数乘法法则探究支架，衔接已有知识与新知，形成“加减→乘法→除法”的逻辑脉络。 特色在于以类比迁移与转化思想为主线，用多项式乘法类比复数乘法，借助共轭复数实现除法“分母实数化”，结合i的幂的周期性探究，渗透数学运算、逻辑推理核心素养。实例包括分步演示分母实数化过程，从具体到一般求解实系数一元二次方程，配合数字人动画辅助导入。对学生强化运算技能与转化意识，对教师提供分层例题与作业设计，提升教学实效。

教学设计 课程基本信息 课题  7.2.2复数的乘、除运算 课型 新授课 学科  数学 年级  高一 学段  高中 版本章节 普通高中教科书数学必修第二册（A版）教材第七章第二节 教学目标 1. 理解复数乘法和除法运算法则，能够类比多项式乘法法则进行复数乘法运算；理解复数乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律;能够运用这些运算律简化复数乘法运算；发展数学运算和逻辑推理核心素养； 2. 理解并解释“分母实数化”在复数除法中的本质，体会转化与化归思想的应用，能熟练掌握两个及两个以上复数的乘法运算和除法运算；发展数学运算和数学抽象核心素养； 3. 能正确计算复数范围内实系数一元二次方程的根；能利用的幂的周期性进行的高次幂运算. 教学重难点 重点：1. 复数的乘法和除法运算法则；2. 复数除法的定义及运算法则. 难点：1. 复数除法中分母实数化的原理，共轭复数在复数除法运算中的应用；2. 求复数范围内的方程一元二次方程的根. 学情分析 学生前面已经学习了复数的加减运算法则和运算律，有了一定的基础做铺垫。本节课与上节课一样类比多项式乘法计算复数的乘法，让学生亲身经历知识生成过程，加深对复数乘法本质的理解.     教学准备    多媒体课件   教学过程 教学任务 教学内容 设计意图 创新设计（含AI应用） 复数的乘法应该如何运算呢？是否也满足这些运算律呢？ 回忆：若，，，∈R，则(＋)(＋)应该如何展开呢？                      1.问题1：设 ， ，（其中，，，，）是任意两个复数，那么，它们的乘积会等于什么呢？我们可以把a+bi看成是关于i的“一次二项式”，类比多项式的乘法将其展开，结果为： 将上式中的 替换为 ，并把实部与虚部分别合并，结果得： 因此，两个复数相乘的结果仍然是一个复数.特别地，当,都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积. 2.我们规定，复数乘法法则如下:设 ， ，（其中，，，，）是任意两个复数，那么，它们的乘积 两个复数相乘 , 类似于两个多项式相乘, 只要在所得的结果中把 i2 换成 -1, 并且把实部与虚部分别合并，整理成a+bi的形式即可.  通过复习复数的加减运算法则和运算律，建立新旧知识之间的联系，降低学生学习的陌生感；激发学生探究新知识的兴趣；增强学生的目标意识，为后续探究复数的乘法和除法法则做好铺垫.  使用豆包生成数字人动画回答问题.      实数的乘法满足哪些运算律?那么复数的乘法是否满足乘法交换律、结合律及乘法对加法的分配律呢？            类比实数乘法的运算律，我们很容易验证复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法满足分配律. 交换律：；结合律：； 分配律：。  通过类比多项式乘法计算复数的乘法，培养学生知识迁移能力，渗透数学运算素养；提升学生逻辑推理能力；让学生亲身经历知识生成过程，加深对复数乘法本质的理解，避免机械记忆.                      例1.计算(1-2)(3+4)(-2+). 解: (1-2)(3+4)(-2+)= (11-2)(-2+)= -20+15 . 例2.计算: (1) (2+3)(2-3); 总结：实数集中的平方差公式和完全平方式在复数集中同样适用.以后遇到形如 的结构，可以直接套用平方差公式，并注意 ；对于 ，可用完全平方公式展开，关键是要记得 ；  通过典型例题训练，强化运算技能；比较不同解法，优化思维策略；引导学生发现规律，提升归纳能力；突出共轭复数的作用，为除法教学埋下伏笔.      如果z1，z2是共轭复数，那么它们的乘积z1z2是一个什么样的数呢？       设z1=+,z2=-(，)，则z1z2==|z1|² = |z2|². 所以，z1z2的结果是一个实数.且等于z1或z2模的平方.所以两个共轭复数的乘积是一个实数.     实数的除法是乘法的逆运算.类比实数除法的意义，你认为应该如何定义复数的除法呢？ 我们我们规定复数的除法也是乘法的逆运算.即把满足(+)(x+y) =+b(,,,,,y∈R,且c+d≠0) 的复数+y叫做复数 +除以复数 + 的商, 或 记为： 或 例3.计算(1＋2 )÷(3－4 ) 解：， 强调每一步的操作目的：分子与分母都乘分母的共轭复数3+4，然后分子按复数法则乘法展开，分母利用共轭复数的积德性质变为实数，从而使分母“实数化”，最后约分化简把结果化成 a + bi的标准复数形式.通过类比与启发，引导学生自主发现除法的关键策略；突出“分母实数化”这一核心技巧. 例4.在复数范围内解下列方程： (1) 2+2=0； (2) 2++=0，（其中,,，且≠0,∆=2−4<0）. 从具体方程2+2=0过渡到一般形式的方程，符合 “从特殊到一般” 的认知规律，让学生能通过已有例子理解更普遍的结论，降低新知识的理解门槛。第一题通过 “发现这两个根有什么特点？” 的互动提问，引出 “两个根是共轭虚数” 的结论，既强化了共轭复数的概念，又为后续第二个方程的讲解埋下伏笔，教学逻辑连贯. 你能运用所学的复数运算法则解决下列问题吗？ 1=____. 2=____. 3=____.4= ____.5= ____. 6=____.7=____.8=____.2025=____. 4n＋1=____.4n+2=____.4n+3=____.4n+4=____.n+1+n+2 +n+3+n+4=____. (n∈N) 和实数一样，复数的乘方就是相同复数的乘积，即n个z连乘记为 zn，比如：4表示4个 相乘. 通过探究i的幂的周期性，拓展学生视野，提升模式识别能力；完善知识网络，帮助学生形成系统化的认知结构. 作业设计    必做题：1.教科书第80页 练习第2,3，4题； 2.教科书第80页习题 7.2 第3，4题. 选做题：教科书第95页复习参考题第7题.   板书设计/课堂小结 板书设计： 7.2.2复数的乘、除运算 1. 复数的乘法法则 4.例题1、2. 2. 复数乘法运算律 5.例题3、4. 3. 复数的除法法则 6.i的幂的周期性 小结：  师生共同进行归纳总结本节课的核心内容，同时梳理其中蕴含的数学思想方法和核心素养.复数乘法法则、乘法运算律、复数除法、的幂的周期性.教师强调这些内容不仅构成了复数运算的核心知识体系，而且运用了类比和转化的数学思想方法以及渗透了数学抽象、逻辑推理、数学运算三大核心素养.   教学反思   复数乘除运算作为复数章节的核心难点，教学后仍有诸多可优化之处。课堂上虽然类比多项式的乘法引入复数的乘法和除法法则，但部分学生对运算本质理解不深，尤其在复数除法运算中，分母实数化的计算容易出错。 教学中存在两点不足：一是实操练习不足，学生对 “分母实数化” 步骤不够熟练，计算失误较多；二是知识衔接不够自然，未能充分关联复数几何意义，导致学生难以理解运算的几何表征。 后续改进需聚焦两点：增加分层练习，设计基础性和拓展性计算题，强化运算熟练度；应加强错题复盘，针对性解决学生在符号处理、公式应用中的高频问题，提升教学实效。    学科网（北京）股份有限公司 $