精品解析：安徽六安市霍邱县2025～2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷

霍邱县2025~2026学年度第一学期期末考试九年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共计40分） 1. 下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 如果线段，，那么和的比例中项是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位，则得到的抛物线是（ ） A B. C. D. 5. 如图，，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如果点三点都在抛物线的图象上，那么、与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C D. 10. 如图，四边形为矩形，以边、所在直线建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数的图象交于点，交于点，作直线交轴于点，交轴于点，连接，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 一定平行于 C. 若，则 D. 四边形的面积 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共计20分） 11. 抛物线的对称轴是直线_______． 12. “水瓶琴”是一种通过敲击装有不同水量的瓶子来发声的打击乐器，也被称为“音乐瓶”．实验发现，当液面高度与瓶高的比值为黄金数时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若当，且敲击时发出音符“”的声音时，则______． 13. 若反比例函数图象如图所示，则的值可以为______（写出一个符合要求的即可）． 14. 如图，正方形的边长为，点是边的中点，连接，沿翻折，使点落在处，连接，过点作交于点，延长交于点． （1）______； （2）的长为_______． 三、解答题（本大题共有9小题，共计90分） 15. 计算：． 16. 已知，求和的值． 17. 如图，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空： ， ； （2）判断与是否相似，并证明你的结论． 18. 在一次数学实践活动中，小亮同学要测量旗杆高度，他从旗杆底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得旗杆顶部的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点、、、、在同一平面内． （1）求最佳测量点到地面的距离； （2）求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：） 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上． （1）点为位似中心，在网格中画，使与的位似比为2（新图与原图的相似比为2）； （2）求的边上的高长． 20. 如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． （1）试说明； （2）若，求证：． 21. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 如图1，在锐角中，，平分交边于点． （1）求证：； （2）如图2，点上一点，且，若，连接． （i）求的值； （ii）若面积为15，求的面积． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 霍邱县2025~2026学年度第一学期期末考试九年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共计40分） 1. 下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，符合题意； B、中未知数的最高次数不是2，不是二次函数，不符合题意； C、中等式右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； D、当时，不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数（为常数，）的图象上的点满足横纵坐标的乘积等于，据此计算各选项横纵坐标的乘积，与对比即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴在该反比例函数的图象上的点的横纵坐标的乘积一定要为， ∵， ∴四个点中，只有点在该反比例函数的图象上， 故选：C． 3. 如果线段，，那么和的比例中项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例线段的相关知识，根据比例中项的定义，比例中项的平方等于两条线段的乘积，且线段长度为正数，据此计算求解即可． 【详解】解：设和的比例中项是， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， 又∵线段长度为正数， ∴， 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位，则得到抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移原则，并准确应用于顶点式函数． 原抛物线的顶点为，向左平移1个单位后，顶点变为；根据顶点式写出平移后的抛物线解析式，再与选项对比得出答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 将其向左平移1个单位，顶点坐标变为，即． 因此，平移后的抛物线解析式为． 故选：B． 5. 如图，，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形对应角相等是解决问题的关键． 由即可得到，从而确定答案． 【详解】解：， ， 故选：D． 6. 如果点三点都在抛物线的图象上，那么、与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，先确定抛物线的开口方向与对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴离对称轴越近，函数值越小 又∵点在对称轴上，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角函数定义及勾股定理，熟记勾股定理求线段长的方法及三角函数值定义是解决问题的关键． 数形结合，在中，由，可设，再由勾股定理求出长度，最后根据求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在中，，，则设， 由勾股定理可得， 则， 故选：A． 8. 若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象与x轴的交点问题，需分一次函数与二次函数两种情况讨论，当时函数为一次函数，与x轴必有交点；当时函数为二次函数，则判别式，最后综合两种情况得到k的取值范围． 【详解】解：当时，函数为，是一次函数， 令，则，解得，即函数与x轴有交点，符合题意． 当时，函数为二次函数，则需满足判别式， ∴ ∴， ∴且． 综上，， 故选：C． 9. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定选项B、C；根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定选项A、D． 【详解】解：A、由，，不能判定，因为相等的角不是成比例的两边的夹角，故本选项符合题意； B、因为，，所以，故本选项不符合题意； C、因为，，所以，故本选项不符合题意； D、由，可得，又因为，所以，故本选项不符合题意． 故选：A． 10. 如图，四边形为矩形，以边、所在直线建立如图所示的平面直角坐标系，反比例函数的图象交于点，交于点，作直线交轴于点，交轴于点，连接，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 一定平行于 C. 若，则 D. 四边形的面积 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设，，则点，，，从而求出直线的解析式，点的坐标，可判断四边形是平行四边形，求出，，然后将代入即可判断，然后证明四边形是平行四边形，进而可判断D；根据平行四边形的性质可判断B；再根据和点坐标特征求出、的长，可判断C． 【详解】解：四边形是矩形，反比例函数， 设，，则点，，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 则， ， ， ∴当时，，， ∴， 把代入，得， ， ，故A错误； 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ，故D错误； 四边形是平行四边形， ，故B正确； ， 四边形是平行四边形， 若， ， ， ，且，则， ， ， 直线的解析式为， ，且， ， ，故C错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，一次函数的图象与性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共计20分） 11. 抛物线的对称轴是直线_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 12. “水瓶琴”是一种通过敲击装有不同水量的瓶子来发声的打击乐器，也被称为“音乐瓶”．实验发现，当液面高度与瓶高的比值为黄金数时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若当，且敲击时发出音符“”的声音时，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 若反比例函数图象如图所示，则的值可以为______（写出一个符合要求的即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，涉及解不等式组，数形结合得到满足的不等式组解集是解决问题的关键． 由图中点与反比例函数图象的位置关系得到当时，，解得；当时，，解得；从而得到，任意取满足范围的值即可得到答案． 【详解】解：由图可知，当时，，解得；当时，，解得； 综上所述，， 则可取， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，正方形的边长为，点是边的中点，连接，沿翻折，使点落在处，连接，过点作交于点，延长交于点． （1）______； （2）的长为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键． （1）根据正方形的性质得出，，根据折叠性质得出，，，根据角的和差关系得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案； （2）设，则，利用勾股定理列方程可求出的值，即可求出，，，利用勾股定理即可求出的值． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为，点是边的中点， ∴，，，， ∵沿翻折，使点落在处， ∴，，， ∵，延长交于点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）设， 由（1）得，，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：，（与点重合，不符合题意，舍去）， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共有9小题，共计90分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 先分别计算出各个特殊角的三角函数值，再由含乘方的有理数混合运算法则计算即可得到答案． 【详解】解： ． 16. 已知，求和的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据得到，进而可得，再由可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空： ， ； （2）判断与是否相似，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2），理由见解析 【解析】 【分析】此题考查的是勾股定理，相似三角形的判定； （1）先证明是等腰直角三角形，求出，再根据邻补角和勾股定理求解即可； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）同理可得： ∵，，，， ∴，， ∴， ∴． 18. 在一次数学实践活动中，小亮同学要测量旗杆的高度，他从旗杆底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得旗杆顶部的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点、、、、在同一平面内． （1）求最佳测量点到地面的距离； （2）求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】（1）m （2）旗杆的高度是m 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，包括坡度坡角问题和仰角俯角问题，解题的关键是通过作辅助线，将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理和三角函数进行求解． （1）根据斜坡坡度，设，，在中，利用勾股定理求出的值，进而得到的长度． （2）过点作，构造矩形，得到，，再在中，利用求出的长度，最后由计算出旗杆的高度． 【小问1详解】 解：如图，由题意得，是直角三角形， ∵斜坡的斜面坡度， ∴． 设， ∵， ∴， 解得：， 则． 【小问2详解】 解：过点作，交于点， 由（1）知， ∵， ∴． 由题意可得，四边形是矩形，则， 在中，， ∵ ， ∴， ∴ 答：旗杆的高度是． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上． （1）点为位似中心，在网格中画，使与的位似比为2（新图与原图的相似比为2）； （2）求的边上的高长． 【答案】（1）见解析 （2）边上的高长为2 【解析】 【分析】本题考查了作图—位似变换，相似三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据位似变换的性质作图即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 小问1详解】 解：如图所示：即为所作， 【小问2详解】 解：∵与的位似比为2， ∴，且相似比为2， ∵边上的高为1， ∴边上高长为2． 20. 如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． （1）试说明； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。 （1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论； （2）由可得，即，进而得到；从而得到，再结合即可证明结论。 【小问1详解】 解：∵， ， ， 。 【小问2详解】 证明：， ， ， ． ， ． 又， ． 21. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（）之间的函数关系式． （2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式． （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润1125元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用和二次函数的应用． （1）根据平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，即可列出关系式； （2）根据销售利润平均每天销售量每箱利润，列出平均每天的销售利润w与销售价x之间的函数关系式； （3）根据二次函数的性质求最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得：， 化简得：； 【小问2详解】 解：由题意得： ， 即该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴抛物线开口向下， 对称轴为直线， ∵，w随x的增大而增大， ∴当时，w的最大值为1125元， ∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润． 22. 如图1，在锐角中，，平分交边于点． （1）求证：； （2）如图2，点是上一点，且，若，连接． （i）求的值； （ii）若的面积为15，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）（i）；（ii）的面积 【解析】 【分析】（1）过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质，易得，从而，根据平行线分线段成比例和等量代换，易得，，即可求证； （2）（i）利用“”说明，得，等量代换，即可求解；（ii）根据题意，易求，又根据，可得，最后根据面积之间的关系，可求． 小问1详解】 证明：如图，过点作，交于点， 平分， ， ， ， ， ， ， ，即， ，即， ； 【小问2详解】 （i）， ， ，且， ， ， ， 且， ，即， （ii），面积， 的面积， 且， ，即， ， ，即． 【点睛】本题考查角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行线的性质，面积之间的关系等知识点，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】（1） （2）①；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 ①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $