学易金卷：高一数学下学期第一次月考（上海专用01）范围：【沪教版】必修第一册+必修第二册第1章

2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷（上海专用01） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册+必修第二册第1章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．函数的定义域是 2．若幂函数在上单调递增，则实数的值为 3．某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 4．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 5．已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设 . 6．“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子･天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数据：光速为米/秒，） 7．已知一扇形的周长为6，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角的弧度数为 ． 8．若函数是奇函数，则实数 9．在中，角所对的边分别为，若，则 10．已知是第一象限角，且，则的值为 11．函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ． 12．已知函数且关于的方程有7个不同实数解，则实数的取值范围为 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项） 13. 已知，设命题，命题，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14. 下列函数对于任意，都有成立的是（    ） A． B． C． D． 15．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 16. 已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分） 17．（本题14分） 请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，这二个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中； 已知集合， （1）求集合A，B； （2）若是成立的______条件，判断实数m是否存在？若实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（本题14分） 已知． （1）求的值； （2）求的值． 19．（本题14分） 中国航天事业在2025年迎来里程碑式发展，全年发射次数突破300次大关，共将超过300颗卫星精准送入预定轨道.1903年前苏联航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今所有火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为7900 m/s. 参考数据：，，. （1）当该型号火箭的质量比为8时，求该型号火箭的理想速度； （2）假设一个火箭的理想速度为v（单位：m/s），若希望火箭发射的理想速度提升1倍，则火箭的质量比变为原来的多少倍？ （3）经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来的2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，求该火箭在改进前质量比的最小值（结果保留一位小数）. 20．（本题18分） 已知幂函数在上单调递增．函数，． （1）求的值； （2）当时，记，的值域分别为集合，，若，求实数的取值范围； （3）当时，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； 21．（本题18分） 已知函数与的定义域均为，若对任意的 都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； （2）若，函数是函数在上的“L函数”，求实数的取值范围； （3）试比较和的大小， 并证明：若，函数是函数在上的“L函数”，且，则对任意的都有. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷（上海专用01） 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．【答案】； 2．【答案】2； 3．【答案】2； 4．【答案】； 5．【答案】且 6．【答案】31； 7．【答案】2； 8．【答案】1； 9．【答案】； 10．【答案】； 11．【答案】4（答案不唯一）；【】 12．【答案】 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项） 13 14 15 16 D A C A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分） 17．（本题14分） 【答案】（1），；（2）答案见解析； 【解析】（1）由得，故集合， 由得，因为m>0， 故集合；【6分】 （2）若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集， 则有，其中等号不同时取到，解得， 所以，实数m的取值范围是. 若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集， 则有，其中等号不同时取到，解得， 所以实数m的取值范围是；【14分】 【说明】本题考查了解含有参数的一元二次不等式、解不含参数的一元二次不等式、根据必要不充分条件求参数、根据充分不必要条件求参数； 18．（本题14分） 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）， 整理得， 所以.【7分】 （2） 代入， 得：.【14分】 【说明】本题考查了正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式； 19．（本题14分） 【答案】（1）；（2）倍；（3）5.1； 【解析】（1）.【4分】 （2）设该火箭开始时的质量比为，理想速度提升1倍后的质量比为，则： ，得  ①； ，得  ②； 由①②两式，得倍. 【8分】 （3）技术改进前的理想速度， 技术改进后的理想速度， 要使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，则：， 即，即，即， 从而， 故该火箭在改进前质量比的最小值为5.1；【14分】 【说明】本题考查了对数的运算、对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题； 20．（本题18分） 【答案】（1）；（2）；（3）存在，； 【解析】（1）因为是是幂函数， 所以，解得或， 当时，，在为减函数， 当时，，在为增函数， 所以；【6分】 （2）由（1）知，当时，， 即，， 因为，，所以，，解得， 即的取值范围为；【10分】 （3），令，因为，所以， 则令，，对称轴为， ①当，即时，函数在为增函数， ，解得； ②当，即时，， 解得，不符合题意，舍去； ③当，即时，函数在为减函数， ，解得，不符合题意，舍去； 综上所述：存在使得的最小值为0．【18分】 【说明】本题综合考查了根据集合的包含关系求参数、求二次函数的值域或最值、求幂函数的解析式； 21．（本题18分） 【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3），证明见解析； 【解析】（1）对任意的，且， ，. 显然有， 所以函数是函数在上的“L函数”. 【4分】 （2）因为函数是函数在上的“L函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 化简得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，解得.【10分】 （3）因为，，所以. 所以当时，. 当 时，. 综上：. 对于，不妨设， （i）当时， 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以.  此时成立； （ii）当时，由得， 因为，函数是函数在上的“函数， 所以 ， 此时也成立， 综上，恒成立. 【18分】 【说明】本题主要考查了函数的新定义；本题的关键是弄清楚“L函数”的定义，注意不能转化成两个函数的值域的包含关系分析问题； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 （上海专用01） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ Comment by ligan xie: 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■ ■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡（上海专用01） 姓 名： 准考证号： 注意事项 1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 地 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 2 3. 4 款 杯 6 9 10 11 馨 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516 题每题5分；每题有且只有一个正确选项 13 [A[B][C][D] 14[AB][C][D] 15 [A][B][C]D] 16[A]B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷（上海专用01） 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册+必修第二册第1章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．函数的定义域是 【提示】由对数函数的定义域可知需满足，解出的范围即可； 【答案】； 【解析】要使有意义，则， 所以，， 所以，的定义域为； 【说明】本题主要考查函数定义域的定义及求法，以及对数函数的定义域； 函数定义域的三种类型及求法：（1）知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；（2）实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；（3）已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出； 2．若幂函数在上单调递增，则实数的值为 【提示】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果； 【答案】2； 【解析】因为幂函数在上是增函数， 所以，解得； 【说明】本题考查了幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数； 3．某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 【提示】根据容斥原理可分析出3项都参加的人数； 【答案】2； 【解析】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学， ， 则， 且， 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 故答案为：2. 【说明】本题考查了集合的利用Venn图求集合； 4．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 【提示】根据充分不必要条件的定义可得集合的包含关系，根据包含关系可求得结果； 【答案】； 【解析】因为，“”是“”的充分不必要条件，所以，是的真子集， 因为，，所以，，则，， 又，所以，，则的取值范围为. 故答案为：. 【说明】本题考查了根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式； 5．已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设 . 【提示】根据反证法步骤,要证明命题结论成立，先假设结论的否定成立即可； 【答案】且 【解析】由题意，应假设且， 故答案为：且 【说明】本题考查了反证法的概念辨析； 6．“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子･天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数据：光速为米/秒，） 【提示】依题意可得尺子经过天后，剩余的长度米，结合对数运算可得结果； 【答案】31； 【解析】依题意，光在2“阿托秒”内走的距离为米， 经过天后，剩余的长度米，由，得， 两边同时取对数，得， 而，则，所以至少需要经过31天才能使其长度小于光在2“阿托秒”内走的距离. 故答案为：31； 【说明】本题考查了对数的运算、运用换底公式化简计算、指数函数模型的应用（2）、由对数函数的单调性解不等式； 7．已知一扇形的周长为6，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角的弧度数为 ． 【提示】设扇形的半径为，则弧长为，结合面积公式和二次函数的性质计算面积取得最大值时的取值，再用圆心角公式即可求解； 【答案】2； 【解析】设扇形的半径为，则弧长为， 面积为， 所以当时S取得最大值为， 此时，圆心角为（弧度）． 故答案为：2. 【说明】本题考查了弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用； 8．若函数是奇函数，则实数 【提示】根据奇函数的性质计算可得； 【答案】1； 【解析】当时，则， 则，解得， 此时， 当时，所以，符合题意. 所以. 故选：C； 【说明】本题主要考查了由奇偶性求参数； 9．在中，角所对的边分别为，若，则 【提示】直接根据正弦定理即可求出； 【答案】； 【解析】由正弦定理可得，则； 【说明】本题考查了利用正弦定理解三角形； 10．已知是第一象限角，且，则的值为 【提示】先根据平方关系及商数关系求出，再根据利用两角差的正切公式即可得解； 【答案】； 【解析】因为是第一象限角，所以， 所以， 所以. 【说明】本题考查了给值求值型问题、用和、差角的正切公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦）； 11．函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ． 【提示】根据题意，在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解； 【答案】4（答案不唯一）； 【解析】因为且，若函数是单调函数，结合二次函数可知：在R上单调递增， ，解得. 故答案为：4（答案不唯一）；   【说明】本题考查了根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数； 12．已知函数且关于的方程有7个不同实数解，则实数的取值范围为 【提示】本题属于嵌套型函数的解的问题，画出的函数图像，设， 根据题意，等价于方程，通过求的解的个数，利用数形结合，可求得的取值范围； 【答案】 【解析】 由题意，的图像如图所示，因为有7个不同实数解，设，则方程有2个不等实根，且或，． 当，时，，满足题意； 当时，，解得． 综上，． 故答案为： 【说明】本题综合考查了根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围； 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项） 13. 已知，设命题，命题，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】取特殊值判断充分性、必要性即可得解； 【答案】D； 【解析】取，满足，但，充分性不成立， 取，满足，但，必要性不成立； 故p是q的既不充分也不必要条件； 故选：D； 【说明】本题依据不等式性质考查了充分必要条件的判别； 14. 下列函数对于任意，都有成立的是（    ） A． B． C． D． 【提示】把不等式等价于图象为上凸的函数，再结合函数性质判断各选项； 【答案】A； 【解析】满足，则函数为上凸函数， 对于A，的图象是上凸的，符合题意； 对于B，的图象是下凸的，不符合题意； 对于C，的图象是下凸的，不符合题意； 对于D，的图象是下凸的，不符合题意； 故选：A. 【说明】本题考查了函数图像的识别、函数新定义； 15．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【提示】先判断函数的奇偶性，再结合特殊值，即可判断； 【答案】C； 【解析】由，可得，即函数的定义域为且，关于原点对称， 由，可知函数为奇函数，故排除B、D； 又因为，故排除A. 故选：C； 【说明】本题考查了函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状； 16. 已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【提示】首先判断，再化简，利用基本不等式求解； 【答案】A； 【解析】解：设方程的两个异号的实根分别为，，则，． 又，，， 则（当且仅当，时取“”）， 由不等式恒成立，得，解得． 实数的取值范围是． 故选：A． 【说明】本题考查了基本不等式“1”的妙用求最值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式； 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分） 17．（本题14分） 请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，这二个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中； 已知集合， （1）求集合A，B； （2）若是成立的______条件，判断实数m是否存在？若实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【提示】（1）解一元二次不等式即可得到集合A，B.； （2）根据充分条件和必要条件的定义转为不等式关系进行求解即可； 【答案】（1），；（2）答案见解析； 【解析】（1）由得，故集合， 由得，因为m>0， 故集合； （2）若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集， 则有，其中等号不同时取到，解得， 所以，实数m的取值范围是. 若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集， 则有，其中等号不同时取到，解得， 所以实数m的取值范围是； 【说明】本题考查了解含有参数的一元二次不等式、解不含参数的一元二次不等式、根据必要不充分条件求参数、根据充分不必要条件求参数； 18．（本题14分） 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【提示】（1）利用诱导公式化简可得到答案； （2）利用同角的三角函数关系可得答案. 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）， 整理得， 所以. （2） 代入， 得：. 【说明】本题考查了正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式； 19．（本题14分） 中国航天事业在2025年迎来里程碑式发展，全年发射次数突破300次大关，共将超过300颗卫星精准送入预定轨道.1903年前苏联航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今所有火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为7900 m/s. 参考数据：，，. （1）当该型号火箭的质量比为8时，求该型号火箭的理想速度； （2）假设一个火箭的理想速度为v（单位：m/s），若希望火箭发射的理想速度提升1倍，则火箭的质量比变为原来的多少倍？ （3）经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来的2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，求该火箭在改进前质量比的最小值（结果保留一位小数）. 【提示】（1）直接代入，根据题目给的数据化简计算. （2）和代入，然后计算相除. （3）令和，两式相减，大于等于1975 m/s，最后根据题目给的数据化简计算 【答案】（1）；（2）倍；（3）5.1； 【解析】（1）. （2）设该火箭开始时的质量比为，理想速度提升1倍后的质量比为，则： ，得  ①； ，得  ②； 由①②两式，得倍. （3）技术改进前的理想速度， 技术改进后的理想速度， 要使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，则：， 即，即，即， 从而， 故该火箭在改进前质量比的最小值为5.1； 【说明】本题考查了对数的运算、对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题； 20．（本题18分） 已知幂函数在上单调递增．函数，． （1）求的值； （2）当时，记，的值域分别为集合，，若，求实数的取值范围； （3）当时，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； 【提示】（1）根据幂函数的特征以及性质可求得结果； （2）根据（1）中得到的单调性以及包含关系可得到结果； （3）利用换元法得到有关的一个一元二次函数，根据对称轴的位置分三种情况求最小值可求得结果. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，； 【解析】（1）因为是是幂函数， 所以，解得或， 当时，，在为减函数， 当时，，在为增函数， 所以； （2）由（1）知，当时，， 即，， 因为，，所以，，解得， 即的取值范围为； （3），令，因为，所以， 则令，，对称轴为， ①当，即时，函数在为增函数， ，解得； ②当，即时，， 解得，不符合题意，舍去； ③当，即时，函数在为减函数， ，解得，不符合题意，舍去； 综上所述：存在使得的最小值为0． 【说明】本题综合考查了根据集合的包含关系求参数、求二次函数的值域或最值、求幂函数的解析式； 21．（本题18分） 已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； （2）若，函数是函数在上的“L函数”，求实数的取值范围； （3）试比较和的大小， 并证明：若，函数是函数在上的“L函数”，且，则对任意的都有. 【提示】（1）根据“L函数”的定义进行判断即可； （2）根据“L函数”的定义把问题转化成关于恒成立的问题，求的取值范围； （3）先用作差法证明，再分情况讨论，根据“L函数”的定义证明； 【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3），证明见解析； 【解析（1）对任意的，且， ，. 显然有， 所以函数是函数在上的“L函数”. （2）因为函数是函数在上的“L函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 化简得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，解得. （3）因为，，所以. 所以当时，. 当 时，. 综上：. 对于，不妨设， （i）当时， 因为函数是函数在上的“L函数”， 所以.  此时成立； （ii）当时，由得， 因为，函数是函数在上的“函数， 所以 ， 此时也成立， 综上，恒成立. 【说明】本题主要考查了函数的新定义；本题的关键是弄清楚“L函数”的定义，注意不能转化成两个函数的值域的包含关系分析问题； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷（上海专用01） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册+必修第二册第1章 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．函数的定义域是 2．若幂函数在上单调递增，则实数的值为 3．某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 4．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 . 5．已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设 . 6．“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于秒，原子核内部作用过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子･天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在2“阿托秒”内走过的距离.（参考数据：光速为米/秒，） 7．已知一扇形的周长为6，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角的弧度数为 ． 8．若函数是奇函数，则实数 9．在中，角所对的边分别为，若，则 10．已知是第一象限角，且，则的值为 11．函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ． 12．已知函数且关于的方程有7个不同实数解，则实数的取值范围为 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项） 13. 已知，设命题，命题，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14. 下列函数对于任意，都有成立的是（    ） A． B． C． D． 15．函数的图象大致为（     ） A． B． C． D． 16. 已知实数，满足如下两个条件：（1）关于的方程有两个异号的实根；（2），若对于上述的一切实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分） 17．（本题14分） 请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，这二个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中； 已知集合， （1）求集合A，B； （2）若是成立的______条件，判断实数m是否存在？若实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（本题14分） 已知． （1）求的值； （2）求的值． 19．（本题14分） 中国航天事业在2025年迎来里程碑式发展，全年发射次数突破300次大关，共将超过300颗卫星精准送入预定轨道.1903年前苏联航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今所有火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为7900 m/s. 参考数据：，，. （1）当该型号火箭的质量比为8时，求该型号火箭的理想速度； （2）假设一个火箭的理想速度为v（单位：m/s），若希望火箭发射的理想速度提升1倍，则火箭的质量比变为原来的多少倍？ （3）经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来的2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，求该火箭在改进前质量比的最小值（结果保留一位小数）. 20．（本题18分） 已知幂函数在上单调递增．函数，． （1）求的值； （2）当时，记，的值域分别为集合，，若，求实数的取值范围； （3）当时，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； 21．（本题18分） 已知函数与的定义域均为，若对任意的 都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”. （1）若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； （2）若，函数是函数在上的“L函数”，求实数的取值范围； （3）试比较和的大小， 并证明：若，函数是函数在上的“L函数”，且，则对任意的都有. 试题 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