6.3 解三角形（第1课时）——正弦定理 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第二册

必修第二册 6.4 解三角形（1）——正弦定理 【教学目标】 1.经历正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及三角形的面积公式． 2.会将生活中的实际问题转化为具体数学问题，并利用正弦定理解决问题，发展数学建模、数学运算素养． 3.在发现正弦定理中边与所对角的正弦之比的几何意义的过程中，体会转化的思想方法，能运用正弦定理进行边与角之间的互相转化． 【教学重点与难点】 重点：经历正弦定理的推导过程，掌握正弦定理以及三角形的面积公式． 难点：会用正弦定理解决简单的实际问题． 【教学过程】 1． 引入 在直角三角形中，，那么直角三角形中的边角关系有哪些呢？ 由于，，于是，，也就是说.因为，所以上式还能化为. 在斜三角形中，上述边角之间的关系是否仍然成立？ 2． 正弦定理 无论为锐角、直角还是钝角，对边上的高，都有. 那么△的面积.同理可得，. 这就是三角形的面积公式：. 将上述公式同时除以，得，即称为正弦定理. 例1 在△ABC中，（1）若，求边； （2）若，求角B. 解：（1）； （2）或，又，∴. 例2 某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和.某日两个观测点的林场人员都观测到处出现火情.在处观测到的火情发生在北偏西方向，而在处观测到火情在北偏西方向.已知在的正东方向km处，要确定火场分别距及多远. 解：在△中，已知，，km.求与的长. 在△中，由于，由正弦定理，得，从而（km）， （km）. 所以，的长约为14.6km，的长约为22.4km. 3． 推广的正弦定理 例3 已知圆是△的外接圆，其圆心，直径为.试用与角、及的正弦来表示三角形三边长、及. 解： 、及中至少有两个是锐角，不妨为锐角，过作直径，并连接.直径所对的圆周角，弧所对的圆周角，且.于是，即. 由正弦定理得（为△外接圆半径） ，，. 本例结论可称推广的正弦定理：，可实现三角形边和角的转化. 例4设是△的外接圆的半径，为△的面积. 求证： （1）； （2）. 解：（1）. （2）. 练习1：在△中，已知，，．求c．（结果精确到0.01） 练习2：在△中，已知，，．求b、c和面积S．（结果精确到0.01） 练习3：在△ABC中，如果，试判断该三角形的形状． 4． 课堂小结 知识：正弦定理，三角形面积公式．思想方法：分类讨论，转化与化归，从特殊到一般． 核心素养：逻辑推理，数学运算，直观想象． 5． 回家作业 1. 在△中，已知，，. 求. 2. 在△中，若，求. 3. 在△中，已知，，. 求、及. 4. 在△中，已知是的内角平分线．求证：． 5. 在△中，求证：． 6. 在△中，角、、所对边的边长分别记作、、. 若，，，求． 7. 在△中，角、、所对边的边长分别记作、、. 已知，． （1）求； （2）若，求△的面积． （回家作业答案） 1. 2. 或 3. 4. 证明略 5. 证明略 6. 7. （1）；（2）. 学科网（北京）股份有限公司 $