周周练08 8.3 简单几何体的表面积与体积（数学人教A版必修第二册）

2025-2026学年高一下学期数学周周练08 8.3 简单几何体的表面积与体积 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知圆柱的底面半径为1，高为2，圆柱的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱体积公式直接计算可得. 【详解】由圆柱体积公式可得. 故选：A 2．已知圆台上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则这个圆台的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的上下底面积可计算出其上下底面的半径与周长，根据周长之比计算出展开图的扇形半径之比，根据扇环的面积求出母线l的长度，由两个半径、高、母线构成的直角梯形中求出圆台的高，带入圆台的体积公式即可得出答案． 【详解】依题意知圆台上底面半径为 ，下底面半径为 如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长，大扇形弧长， 由知道 ，则圆台的侧面积 所以高 圆台的体积 故选C 【点睛】本题考查圆台的体积，属于中档题． 3．一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是（    ） A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 【答案】C 【分析】设球心为，截面圆心为，连结，由球的截面圆性质和勾股定理，结合题中数据算出球的半径，再利用球的体积公式即可算出答案. 【详解】设球心为，截面圆心为，连结，则截面圆，，    在中，， ， ∴球的半径， 因此球的体积， 故选：C. 【点睛】本题着重考查了球的截面圆性质、球的体积公式等知识，通过轴截面图得到球的半径是解题的关键，属于基础题． 4．三棱锥的棱长均为，顶点在同一球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：因为三棱锥的棱长均为，所以该三棱锥为正四面体，其外接球的半径，所以其外接球的表面积为，故选C. 考点：1.正多面体的外接球与内切球；2.球的表面积与体积. 【名师点睛】本题考查正多面体的外接球与内切球、球的表面积与体积，属中档题；与球有关的组合体的类型及解法有：1.球与旋转体的组合通常通过作出它们的轴截面解题；2.球与多面体的组合，通常通过多面体的一条侧棱和不球心，或切点、接点作出轴截面，把空间问题转化为平面问题. 5．已知三棱柱中，所有棱长均为6，且，则该三棱柱的侧面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得点在底面内的投影点O必定在底部正三角形ABC的的角平分线上，可证得为矩形，分别为求出矩形的面积，四边形，的面积即可得出答案. 【详解】由于三棱柱的所有棱长均等于6，且， 所以点在底面内的投影点O必定在底部正三角形ABC的的角平分线上， 所以平面ABC，延长交于点，为的中点， 所以，，所以， 所以平面，又因为平面， 所以，又因为，， 所以矩形的面积为， 四边形，的面积为：， 所以该三棱柱的表面积等于. 故选：C. 6．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设底面半径为r，母线为l，由轴截面是等腰直角三角形得，代入求出r和l，再求出圆锥的高，代入体积公式计算． 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线为l， 圆锥的轴截面是等腰直角三角形， ，即， 由题意得，侧面积， 解得， ，圆锥的高， 圆锥的体积， 故选：A． 【点睛】本题考查圆锥的体积、侧面积，以及轴截面问题，属于基础题． 7．如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可． 【详解】设正方体的棱长为，则正方体的表面积是， 正四面体的棱长为，它的表面积是， 因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为． 故选：D． 8．如图所示（单位：），直角梯形的左上角剪去四分之一个圆，剩下的阴影部分绕所在直线旋转一周形成的几何体的表面积为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】旋转后几何体是从一个圆台上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式，可求其表面积． 【详解】解：所求旋转体的表面积由三部分组成： 圆台下底面、侧面和一半球面， 其中 S球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π． 故所求几何体的表面积为：8π+35π+25π＝68π， 故选C． 【点睛】本题考查组合体的表面积问题，涉及圆台与球的面积，考查空间想象能力，数学公式的应用，是基础题． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD 【分析】根据给定的几何体，利用圆锥、圆柱的结构特征，结合体积公式、侧面积公式逐项求解判断. 【详解】对于A，由勾股定理得圆锥母线长，A正确； 对于B，圆锥的体积为，圆柱的体积为， 因此圆锥与圆柱的体积比为，B正确； 对于C，该几何体的表面积为，C错误； 对于D，设圆锥侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得，圆心角，D正确． 故选：ABD 10．在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（    ） A．正三棱台的下底面的面积为 B．正三棱台的下底面的面积为 C．正三棱台的体积为 D．正三棱台的体积为 【答案】AC 【分析】运用台体体积公式,结合正三角形面积计算即可. 【详解】因为正三棱台的下底面的面积为， 所以正三棱台的体积 则A，C正确，B，D错误． 故选：AC. 11．已知正四面体ABCD的各棱长均为2，下列结论正确的是（    ） A．正四面体ABCD的高为 B．正四面体ABCD的体积为 C．正四面体ABCD的外接球的半径为 D．正四面体ABCD的内切球的表面积为4π 【答案】AB 【分析】对于A：利用勾股定理求解即可； 对于B：求体积即可； 对于C：根据正四面体ABCD的外接球即为该正方体的外接球，即可求解； 对于D：直接利用面积公式求解即可． 【详解】 对于A：在四面体中，过点作面于点， 则为底面正的重心，因为所有棱长均为2， 可得， 所以， 即正四面体的高为， 故A正确； ，， 正四面体ABCD的体积，故B正确； 将正四面体ABCD补形为如图正方体，易知正四面体ABCD的外接球即为该正方体的外接球， 则外接球半径等于正方体体对角线的一半，即，故C错误； 记正四面体ABCD的内切球的半径为r，则， ，解得，故内切球的表面积为，故D错误． 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 【答案】/ 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，    因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 13．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为 . 【答案】 【分析】由题意，该几何体是由棱长为的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体是全等的三棱锥，结合三角形和正方形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意，该几何体是由棱长为的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体是全等的三棱锥， 同时几何体是由8个底面边长为的等边三角形和边长为的6个正方形组成的一个14面体， 所以该几何体的表面积为： . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及几何体的表面积的计算，其中解答中正确判定几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力，属于基础题. 14．现有甲、乙两个形状完全相同的四棱台容器如图所示，已知棱台上、下底面均为正方形，且，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时7min．若按照相同的速度匀速往乙容器里注水，则当水的高度是四棱台高度的一半时，用时 min．    【答案】19 【分析】根据台体的体积公式运算求解. 【详解】由题意可知，过该四棱台各侧棱中点的截面正方形的边长为． 设四棱台的高为2h．对于甲容器，水面之上、水面之下台体的体积之比为． 设往乙容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时， 则，即，所以用时19min． 故答案为：19. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，若不计容器的厚度，如何求出球的体积？ （1）求球的体积的关键是什么？ （2）求出球的半径. （3）计算球的体积. 【答案】（1）求出球的半径；（2）（3） 【分析】（1）球的体积大小由半径决定，故关键是求出球的半径. （2）作出球的一个适当的截面，利用，解方程即可. （3）利用球的体积公式即可求解. 【详解】（1）球的体积计算的关键是求出球的半径. （2）如图，作出球的一个适当的截面，则，. 设球的半径为，则， . （3）将球的半径代入球的体积公式得:. 【点睛】本题考查了球的体积公式，需熟记公式，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 16．(本小题满分15分)如图，在平面四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周后得到的几何体的体积 【答案】 【分析】如图，过作垂直于，交延长线于点，则所求几何体的体积可看成是由梯形绕所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减去绕所在直线旋转一周所得的圆锥的体积，计算得到答案. 【详解】如图，过作垂直于，交延长线于点， 则所求几何体的体积可看成是由梯形绕所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减去绕所在直线旋转一周所得的圆锥的体积. 由题意可知，又，所以， 所以所求几何体的体积. 【点睛】本题考查了旋转体的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 17．(本小题满分15分)如图，梯形中，，，，，，在平面内过点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为 【分析】先确定旋转体的形状，再利用圆柱和圆锥的表面积公式与体积公式求解即可. 【详解】在梯形中，，， ，，， 如图，作， 由题意得四边形是矩形，故， ，， ，． 由于以为轴将梯形旋转一周后形成的几何体 为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥． 由上述计算知，圆柱母线长，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径． 圆柱的侧面积，圆锥的侧面积， 圆柱的底面积，圆锥的底面积， 组合体上底面积， 旋转体的表面积． 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积． 设圆柱体体积为，圆锥体体积为， ，， ． 18．(本小题满分16分)如图，长方体的三条棱的长分别为．    (1)将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，求剩下的几何体的体积； (2)求长方体外接球的体积和表面积． 【答案】(1) (2)体积为，表面积为 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据长方体的体对角线为外接球的直径可求解. 【详解】（1）在长方体中，． 则． ， 所以剩余部分的体积为． （2）长方体的体对角线长为， 设长方体的外接球的半径为，可得，即， 所以外接球的体积为， 表面积为． 19．(本小题满分17分)材料1．类比是获取数学知识的重要思想之一，很多优美的数学结论就是利用类比思想获得的．例如：若，，则，当且仅当时，取等号，我们称为二元均值不等式．类比二元均值不等式得到三元均值不等式：，，，则，当且仅当时，取等号．我们经常用它们求相关代数式或几何问题的最值，某同学做下面几何问题就是用三元均值不等式圆满完成解答的． 题：将边长为的正方形硬纸片（如图1）的四个角裁去四个相同的小正方形后，折成如图2的无盖长方体小纸盒，求纸盒容积的最大值．    【答案】 【分析】设截去的小正方形的边长为，求出纸盒容积，利用三元均值不等式求解. 【详解】设截去的小正方形的边长为，则纸盒容积 ， 当且仅当，即时取等号． ∴纸盒的容积取得最大值． 你也可以将变形为求解． 你还可以设纸盒的底面边长为，高为，则， 则纸盒容积． 当且仅当，即，时取等号， ∴纸盒的容积取得最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练08 8.3 简单几何体的表面积与体积 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知圆柱的底面半径为1，高为2，圆柱的体积是（   ） A． B． C． D． 2．已知圆台上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则这个圆台的体积为（    ）． A． B． C． D． 3．一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是（    ） A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 4．三棱锥的棱长均为，顶点在同一球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D． 5．已知三棱柱中，所有棱长均为6，且，则该三棱柱的侧面积等于（    ） A． B． C． D． 6．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示（单位：），直角梯形的左上角剪去四分之一个圆，剩下的阴影部分绕所在直线旋转一周形成的几何体的表面积为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 10．在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（    ） A．正三棱台的下底面的面积为 B．正三棱台的下底面的面积为 C．正三棱台的体积为 D．正三棱台的体积为 11．已知正四面体ABCD的各棱长均为2，下列结论正确的是（    ） A．正四面体ABCD的高为 B．正四面体ABCD的体积为 C．正四面体ABCD的外接球的半径为 D．正四面体ABCD的内切球的表面积为4π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ． 13．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为 . 14．现有甲、乙两个形状完全相同的四棱台容器如图所示，已知棱台上、下底面均为正方形，且，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时7min．若按照相同的速度匀速往乙容器里注水，则当水的高度是四棱台高度的一半时，用时 min．    四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，若不计容器的厚度，如何求出球的体积？ （1）求球的体积的关键是什么？ （2）求出球的半径. （3）计算球的体积. 16．如图，在平面四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周后得到的几何体的体积 17．如图，梯形中，，，，，，在平面内过点作，以为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 18．如图，长方体的三条棱的长分别为．    (1)将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，求剩下的几何体的体积； (2)求长方体外接球的体积和表面积． 19．材料1．类比是获取数学知识的重要思想之一，很多优美的数学结论就是利用类比思想获得的．例如：若，，则，当且仅当时，取等号，我们称为二元均值不等式．类比二元均值不等式得到三元均值不等式：，，，则，当且仅当时，取等号．我们经常用它们求相关代数式或几何问题的最值，某同学做下面几何问题就是用三元均值不等式圆满完成解答的． 题：将边长为的正方形硬纸片（如图1）的四个角裁去四个相同的小正方形后，折成如图2的无盖长方体小纸盒，求纸盒容积的最大值．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期数学周周练08 8.3 简单几何体的表面积与体积 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C C C A D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AC AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．/ 13． 14．19 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分14分） （1）求出球的半径；（2）（3） 【分析】（1）球的体积大小由半径决定，故关键是求出球的半径. （2）作出球的一个适当的截面，利用，解方程即可. （3）利用球的体积公式即可求解. 【详解】（1）球的体积计算的关键是求出球的半径. （2）如图，作出球的一个适当的截面，则，. 设球的半径为，则， . （3）将球的半径代入球的体积公式得:. 【点睛】本题考查了球的体积公式，需熟记公式，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 16．（本小题满分15分） 【分析】如图，过作垂直于，交延长线于点，则所求几何体的体积可看成是由梯形绕所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减去绕所在直线旋转一周所得的圆锥的体积，计算得到答案. 【详解】如图，过作垂直于，交延长线于点， 则所求几何体的体积可看成是由梯形绕所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减去绕所在直线旋转一周所得的圆锥的体积. 由题意可知，又，所以， 所以所求几何体的体积. 【点睛】本题考查了旋转体的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 17．（本小题满分15分）表面积为，体积为 【分析】先确定旋转体的形状，再利用圆柱和圆锥的表面积公式与体积公式求解即可. 【详解】在梯形中，，， ，，， 如图，作， 由题意得四边形是矩形，故， ，， ，． 由于以为轴将梯形旋转一周后形成的几何体 为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥． 由上述计算知，圆柱母线长，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径． 圆柱的侧面积，圆锥的侧面积， 圆柱的底面积，圆锥的底面积， 组合体上底面积， 旋转体的表面积． 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积． 设圆柱体体积为，圆锥体体积为， ，， ． 18．（本小题满分16分）(1) (2)体积为，表面积为 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据长方体的体对角线为外接球的直径可求解. 【详解】（1）在长方体中，． 则． ， 所以剩余部分的体积为． （2）长方体的体对角线长为， 设长方体的外接球的半径为，可得，即， 所以外接球的体积为， 表面积为． 19．（本小题满分17分） 【分析】设截去的小正方形的边长为，求出纸盒容积，利用三元均值不等式求解. 【详解】设截去的小正方形的边长为，则纸盒容积 ， 当且仅当，即时取等号． ∴纸盒的容积取得最大值． 你也可以将变形为求解． 你还可以设纸盒的底面边长为，高为，则， 则纸盒容积． 当且仅当，即，时取等号， ∴纸盒的容积取得最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $