精品解析：河南许昌市襄城县2025-2026学年第一学期期末教学质量检测八年级数学试题

学年第一学期期末教学质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间为100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列体育图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 1 4. 已知，，则的值是（ ） A. 6 B. 24 C. 36 D. 72 5. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 6. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，相交于点O，已知，要根据“”证明，还需添加的一个条件是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（    ） A. B. C. D. 10. 对于正数，规定，例如：，，则的值为（ ） A. B. 2023 C. 2024 D. 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 若有意义，则的取值范围是_____． 12. 一个等腰三角形的底角为，则这个三角形的顶角为_______． 13. 已知a+b=-5，ab=3，则的值为______． 14. 如图，在四边形中，于，，按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．若点在射线上，则线段的长度为___________． 15. 在“”形薄板中建立如图所示的平面直角坐标系，其中、轴的单位长度都为，则“”形薄板的重心坐标为_____． 三、解答题 16. 如图，中，平分．点E，F分别在边，上；，交于点G， ． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为．与关于轴对称，点 的对称点分别为． （1）请在图中画出，并写出点的坐标； （2）若点是内的一点，其关于轴的对称点为，求的值． 18. 如图，在中，，垂直平分，连接． （1）证明：． （2）若，，求的长． 19. 【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： （1）； （2）． 20. 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图①，当为的中点时，求线段与的数量关系； 【特例启发，解答题目】 （2）如图②，当为边上任意一点时，求线段与的数量关系，并说明理由． 21. 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算，可用竖式除法如图： 所以除以，商式为，余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题： （1）______； （2）计算：； （3）能被整除，求a、b的值． 22. “激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， （1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 23. 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是______分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将假分式化为带分式； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数x的值，使得分式的值为整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学年第一学期期末教学质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间为100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列体育图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用同底数幂乘除法、合并同类项、积的乘方的初中知识点，逐一判断选项的正误． 【详解】解：A、，A计算错误； B、，B计算正确； C、，C计算错误； D、，D计算错误． 3. 在平面直角坐标系中，若点关于y轴对称的点是，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标性质：横坐标互为相反数，纵坐标不变，求代数式的值；根据关于y轴对称的性质可求得a与b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵点关于轴对称的点是， ∴由对称性质，横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴且， ∴，， ∴． 故选：D． 4. 已知，，则的值是（ ） A. 6 B. 24 C. 36 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】将所求代数式变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ，． ∴ 原式 ． 5. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，掌握是解题的关键．根据完全平方式的特点即可解答． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 即 故选：D． 6. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：，则A不符合题意； 无法进行约分，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，提公因式与完全平方公式的运算，将分式的除法变为分式的乘法是解题的关键．先根据提公因式与完全平方公式计算，再将除法变为乘法约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 8. 如图，相交于点O，已知，要根据“”证明，还需添加的一个条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】添加再结合，可利用“”证明△． 【详解】解：添加，理由如下： 在和中， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等． 9. 如图，把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处，且，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．由折叠的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵把等边沿着折叠，使点A恰好落在边上的点P处， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 对于正数，规定，例如：，，则的值为（ ） A. B. 2023 C. 2024 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，根据题意找到规律是解题的关键． 利用函数性质 ，将求和中的项配对，每对和为1，最后单独计算 即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴有 ， 即， ， ， ， ， 这样的组合共有 对， 又 ， ∴ 原式 = ． 故选：A． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 若有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂是解题的关键． 根据有意义，可得，进一步计算即可． 【详解】解：有意义， ， ， 故答案为：． 12. 一个等腰三角形的底角为，则这个三角形的顶角为_______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是．利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：等腰三角形的一个底角是，则顶角的度数是， 故答案为：． 13. 已知a+b=-5，ab=3，则的值为______． 【答案】19 【解析】 【分析】把变成，代入求出即可． 【详解】解：∵a+b=-5，ab=3， ∴ =19． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，注意：，． 14. 如图，在四边形中，于，，按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．若点在射线上，则线段的长度为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，勾股定理，等腰三角形的判定．先根据勾股定理求出的长，再求得即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理可知． 由作图过程可知射线平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 15. 在“”形薄板中建立如图所示的平面直角坐标系，其中、轴的单位长度都为，则“”形薄板的重心坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查均匀薄板的重心与形心重合的几何概念，采用分割法，将不规则“”形拆分为个规则矩形，确定各矩形的面积与形心坐标，再代入形心叠加公式，分别计算整体重心的：横、纵坐标，得到最终结果． 【详解】解：水平上方矩形，长，宽，面积，形心坐标； 竖直中间矩形，长，宽，面积，形心坐标； 水平下方矩形，长，宽，面积，形心坐标； ∴， 重心横坐标， 重心竖坐标， 重心坐标为． 故答案为：． 三、解答题 16. 如图，中，平分．点E，F分别在边，上；，交于点G， ． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ． ∵平分， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义是解本题的关键． （1）首先根据，，等量代换可得，进而得到，最后利用平行线的性质即可得证，再由角平分线的定义得出，等量代换即可得出． （2）根据三角形的内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，又因为，所以，进而可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 是角平分线， ， ， ， ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为．与关于轴对称，点 的对称点分别为． （1）请在图中画出，并写出点的坐标； （2）若点是内的一点，其关于轴的对称点为，求的值． 【答案】（1） 如图所示.   点E，F，G的坐标分别为； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，坐标与图形变化—轴对称，解二元一次方程组，熟知关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征先分别找出点A、B、C关于x轴对称的对应点E、F、G，然后顺次连接E、F、G即可得到答案； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于m、n的二元一次方程组，由此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，，即， 解得 ． 18. 如图，在中，，垂直平分，连接． （1）证明：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴ ∴ ∵ ∴； （2）6 【解析】 【分析】（1）首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质得到，即可证明出； （2）首先根据三角形内角和定理求出，然后求出，利用含角直角三角形的性质求出，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，等边对等角，垂直平分线的性质，含角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 19. 【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 【特殊情况，探索结论】 （1）如图①，当为的中点时，求线段与的数量关系； 【特例启发，解答题目】 （2）如图②，当为边上任意一点时，求线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）当为的中点时，线段与的数量关系为； （2）解：．理由： 过点E作，交于点，则，，如图所示： ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当为边上任意一点时，线段与的数量关系为． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定及性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质． （1）利用等边三角形的性质，结合已知，可得，由等腰三角形的性质和判定，可得，等量代换，即可得线段与的数量关系； （2）过点E作，交于点，利用等边三角形的性质证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当为的中点时，线段与的数量关系为． （2）略 21. 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算，可用竖式除法如图： 所以除以，商式为，余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题： （1）______； （2）计算：； （3）能被整除，求a、b的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）模仿例题，可用竖式计算； （3）设商式为，则有，根据对应项系数相等即可解决问题． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 设商式为， 则有 ． 【点睛】本题考查整式的乘法，解题的关键是掌握整式的乘除法运算法则，学会模仿解题，属于中考常考题型． 22. “激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， （1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】（1）购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 （2）最多能购买16个型号的纪念品． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意“用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍”列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，根据“所花费用不超过6300元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买16个型号的纪念品． 23. 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是______分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将假分式化为带分式； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数x的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）；（3）或或0或2． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真； （2）； （3） ， ∵与x均为整数， ∴或， ∴或或0或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $