条件概率与全概率公式 讲义-2026届高三数学二轮复习

第2节 条件概率与全概率公式 ——————————制胜高考演练———————— 知识点1 条件概率 P（A）P（B|A） 知识点2 全概率公式 1.全概率公式 P（Ai）P（B. ——————————制胜高考演练———————— 知识点1 条件概率 1. D【解析】，，. 2. D【解析】由题意知，， ，所以. 3. A【解析】设发生中度雾霾为事件，刮四级以上大风为事件，依题意，，，，则在刮四级以上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为. 4. A【解析】设事件表示“抽到的两张都是假钞”，事件表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即.又，. 5. 【解析】小红从到的最短路径条数为：，小红从经过到的最短路径条数为：，故，小红经过和到的最短路径条数为：，故，所以. 6. 【解析】设“甲在五一假期值班两天”，“甲连续值班”，因为已知甲在五一长假期间值班2天，所以丙和乙分别值班一天、两天或两天、一天，所以五一假期甲乙丙三人值班方案共有种，又因为甲在五一长假期间连续值班两天，可以是第1，2两天或第2，3两天或第3，4两天或第4，5两天，所以甲在五一长假期间值班2天且甲连续值班的方案共有种，所以由条件概率公式得. 7. 【解析】将这5名教师分配到新疆的，，共3所学校，每所学校至少1人， 则先分组后排列，5名教师分成三组，可能为1，1，3或1，2，2. 若为1，1，3，则有种情况；若为1，2，2，则有种情况. 所以5名教师分配到新疆的，，共3所学校，每所学校至少1人， 共有种情况. 设“甲、乙两人不分配到同一所学校”为事件，“甲恰好分配到学校”为事件. 若为1，1，3，则甲、乙两人分配到同一所学校有：种； 若为1，2，2，则甲、乙两人分配到同一所学校有：种； 所以甲、乙两人不分配到同一所学校共有：种. 所以. 若为1，1，3，甲、乙两人不分配到同一所学校，且甲恰好分配到学校有：种； 若为1，2，2，甲、乙两人不分配到同一所学校，且甲恰好分配到学校有：种； 所以甲、乙两人不分配到同一所学校，且甲恰好分配到学校总共有：种. 所以. 所以. 知识点2 全概率公式 8. D【解析】,即，解得. 9. C【解析】事件与可以同时发生,根据互斥事件的定义,A错误;由全概率公式得,故B错误;由概率的乘法公式得,故C正确;根据题意, 所以,故D错误. 10. C【解析】记事件“第一箱中取书”，事件“从第二箱中取书”.事件“第次从箱中取到的书是科技书”，,则由题意知，，, , 所以. 11. C【解析】设买到的灯泡是甲厂产品为事件，买到的灯泡是乙厂产品为事件，则，，记事件：从该地市场上买到一个合格灯泡，则，所以. 12. 【解析】设事件为“第一次抽到白球”，事件为“第二次抽到白球”，则，所以，由题可得，，，，所以. 13. 【解析】从某高校中任意调查一名学生，记该学生近视为事件A，记该学生每天操作电子产品超过1h为事件B，则从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为.由题可知，，.由全概率公式得，即解得，即从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为. 14．【解析】（1）设事件为“第一轮基础知识作答成功”，事件为“第二轮拓展知识比拼成功”， 由题意可知，，则， 根据全概率公式，第二轮拓展知识比拼成功的概率为： . （2）闯关成功需要两项任务均成功，即事件，其概率为： ， 因不同参赛者的第一轮结果相互独立，且第二轮成功概率仅依赖于自身第一轮结果， 故各参赛者的闯关成功事件相互独立， 记为名居民中闯关成功的人数，则， 所以数学期望， 方差：. 15.【解析】（1）甲在比赛中抢到的题目比乙多的事件是甲抢到2个题的事件与甲抢到3个题的事件和， 其概率为. （2）依题意，的所有可能取值为， 则， ， 所以的分布列为： 1 3 数学期望. （3）设甲获胜为事件，甲在比赛中共抢到道题为事件， 则， ， ， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2节 条件概率与全概率公式 ——————————教学要求———————— 核心素养要求 数学抽象 水平1：能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够解释数学概念和规则的含义；能够模仿学过的数学方法解决简单问题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想 逻辑推理 水平1：能够在熟悉的情境中，用归纳或类比的方法，发现数量或图形的性质、数量关系或图形关系 数学运算 水平1：能够在熟悉的数学情境中，根据问题的特 征形成合适的运算思路，解决问题 学业质量要求 能够结合具体实例，理解随机事件的独立性和条件概率的关系 教材内容要求 随机事件的条件概率 ①结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件 概率。 ②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系。 ③结合古典概型，会利用乘法公式计算概率。 ④结合古典概型，会利用全概率公式计算概率。了解贝叶斯公式。 ——————————教材内容梳理———————— 知识点1 条件概率 条件概率的概念 1.定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，我们称P（B|A）＝ 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 【知识拓展】关于定义：①事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的.②每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率，是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件）求另一个事件在此条件下发生的概率. 2.概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则P（AB）＝ .我们称上式为概率的乘法公式. 【知识拓展】关于计算：已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求，相当于把A发生看作新的基本事件空间来计算发生的概率，即 . 其中和分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件个数，表示基本事件空间中包含的基本事件个数. 3.条件概率的性质 设P（A）>0，则 （1）P（Ω|A）＝1； （2）如果B与C是两个互斥事件，则P（（B∪C）|A）＝P（B|A）＋P（C|A）； （3）设和B互为对立事件，则P（ ）＝1－P（B）. 【易错警示】条件概率揭示了P（A），P（AB），P（B|A）三者之间“知二求一”的关系 【方法技巧】求条件概率的常用方法 （1）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B|A）＝. （2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n（AB），得P（B|A）＝. 【例1】甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于（    ） A. B. C. D. 【试题解读】（1）解决问题的工具：考查条件概率公式. （2）具体的测试目标：从学业质量水平上看符合“能够通过数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构”这一要求. 【答案】B 【解析】由题意知，，，所以. 【例2】湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（    ） A. B. C. D. 【试题解读】（1）解决问题的工具：考查古典概型概率和条件概率公式. （2）具体的测试目标：从学业质量水平上看符合“能够解释数学概念和规则的含义，了解数学命题的条件与结论” 【答案】B 【解析】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有个基本事件，事件A含有的基本事件数是，则，事件含有的基本事件数为，则,所以. 【例3】算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105.现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动.设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（    ） A. B. C. D. 【试题解读】（1）解决问题的工具：考查条件概率公式. （2）具体的测试目标：从学业质量水平上看符合“能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想”这一要求. 【答案】A 【解析】千位有1、5两种选择，百位、十位、个位有0、1、5三种选择，事件“表示的四位数为偶数”，要使得表示的四位数为偶数，则末位应该是0，可得，事件“表示的四位数大于5050”，要使得表示的四位数为偶数且四位数大于5050，则千位是5，百位应该是1或5，个位是0，可得，故. 【例4】第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为，200米比赛未能站上领奖台的概率为，两项比赛都未能站上领奖台的概率为，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是 . 【试题解读】（1）解决问题的工具：考查条件概率公式. （2）具体的测试目标：从学业质量水平上看符合“能够理解和构建相关数学知识之间的联系”这一要求. 【答案】 【解析】设在200米比赛中站上领奖台为事件，在100米比赛中站上领奖台为事件， 则，，，， 则， 则， 故. 知识点2 全概率公式 1.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝ . 2.贝叶斯公式（理解） 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P（B）>0， 贝叶斯公式的内含 （1）P（A1|B）＝＝反映了P（A1B），P（A1），P（B），P（A1|B），P（B|A1）之间的互化关系. （2）P（A1）称为先验概率，P（A1|B）称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重. 在贝叶斯公式中，P（Ai）和P（Ai |B）分别称为先验概率和后验概率. 【易错警示】对全概率公式定义理解不清楚，导致求概率出错. 【知识拓展】“化整为零”求多事件的全概率问题 1.如图，P（B）＝（Ai）P（B|Ai）. 2.已知事件B的发生有各种可能的情形Ai（i＝1,2，…，n），事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 【方法技巧】利用全概率公式的解题思路 （1）按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）； （2）求P（Ai）和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P（Ai）P（B|Ai）； （3）代入全概率公式计算. 【例1】芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为 . 【试题解读】（1）解决问题的工具：考查全概率公式. （2）具体的测试目标：从学业质量水平上看符合“能够通过数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构”这一要求. 【答案】 【解析】设，分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品， 甲厂生产该芯片的次品率为p，则，，，， 则由全概率公式得：，解得. 【例2】在某地A，B，C三个县区爆发了流感，这三个地区分别3%，2%，4%的人患了流感.若A、B、C三个县区的人数比分别为4：3：3，先从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是 . 【试题解读】（1）解决问题的工具：考查条件概率公式. （2）具体的测试目标：从学业质量水平上看符合“能够理解和构建相关数学知识之间的联系”这一要求. 【答案】0.03 【解析】设事件D为此人患流感，，，分别代表此人来自A、B、C三个地区，根据题意可知： ，，，，，， . 【例3】据悉，中国，美国，俄罗斯的卫星发射数量比例为，发射成功率分别为90%，80%，60%，则在某卫星由中美俄之一成功发射的条件下，该卫星由中国发射的概率为 . 【试题解读】（1）解决问题的工具：考查互斥事件的概率计算公式和条件概率的概率计算公式. （2）具体的测试目标：从学业质量水平上看符合“能够通过数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构”这一要求. 【答案】 【解析】设“卫星是由中美俄之一成功发射”为事件，“卫星是由中国发射的概率”为事件，“卫星是由美国发射的概率”为事件，“卫星是由俄罗斯发射的概率”为事件， 可得， 所以 ，所以该卫星由中国发射的概率为. 【例4】一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则 . 【试题解读】（1）解决问题的工具：考查条件概率和全概率公式. （2）具体的测试目标：从学业质量水平上看符合“能够解释数学概念和规则的含义，了解数学命题的条件与结论” 【答案】 【解析】由题意，，， 则； ，， 则. ——————————制胜高考演练———————— 知识点1 条件概率 1.用五个数字排成一个无重复数字的五位数，设事件{数字在的左边}，事件{与相邻}，则等于（    ） A. B. C. D. 2.一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件A：“这3个球的颜色各不相同”，事件B：“这3个球中至少有1个黑球”，则（    ） A. B. C. D. 3.根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2，则在刮四级以上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为（    ） A.0.5 B.0.625 C.0.8 D.0.9 4.从含有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，在其中1张是假钞的条件下，2张都是假钞的概率是（    ） A. B. C. D. 5. “五一”假期期间，小明和小红两位同学计划去四川省图书馆与老师探讨作业试卷上的圆锥曲线大题.如图，小红在街道处，小明在街道处，四川省图书馆位于处.二人均选择最短路线并约定在天府广场汇合，记事件：小红经过，事件：小红经过，则 .    6. 1886年5月1日，芝加哥的二十一万六千余名工人为争取实行八小时工作制而举行大罢工，经过艰苦的流血斗争，终于获得了胜利.为纪念这次伟大的工人运动，1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节.五一劳动节某单位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一长假期间值班2天，则甲连续值班的概率是 . 7.为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业的发展，某市派出了包括甲、乙在内的5名专家型教师援疆，现将这5名教师分配到新疆的，，共3所学校，每所学校至少1人，则在甲、乙两人不分配到同一所学校的前提下，甲恰好分配到学校的概率为 . 知识点2 全概率公式 8.已知，，，则（    ） A. B. C. D. 9.有张奖券，其中张可以中奖，现有个人从中不放回地依次各随机抽取一张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件“第个人抽中中奖券”，则下列结论正确的是（    ） A.事件与互斥 B. C. D. 10.已知有两箱书，第一箱中有3本故事书，2本科技书；第二箱中有2本故事书，3本科技书.随机选取一箱，再从该箱中随机取书两次，每次任取一本，做不放回抽样，则在第一次取到科技书的条件下，第二次取到的也是科技书的概率为（    ） A. B. C. D. 11.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（    ） A.0.75 B.0.8 C.0.76 D.0.95 12.盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.则第二次取出的球是白色的概率为 . 13.每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h，这些人的近视率约为50%，现从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为 . 14.某社区举办“公益知识闯关赛”，共有100名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务.已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为，且不同参赛者第一轮成功与否相互独立；若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时，他第二轮拓展知识比拼成功的概率为；若他第一轮基础知识作答失败时，第二轮拓展知识比拼成功的概率为，若两项任务均成功，则视为最终闯关成功. （1）若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率； （2）记为参赛居民中闯关成功的人数，求的数学期望与方差. 15.甲、乙两人进行AI知识问答比赛，进行一轮抢答赛，比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到得0分，最后累计总分最多的人获胜，假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和，求： （1）甲在比赛中抢到的题目比乙多的概率； （2）若比赛中3道题均被乙抢到，设乙答题得分为，求的分布列和期望； （3）甲在比赛中获胜的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $