精品解析：河南南阳市内乡县2025年秋期期终八年级数学巩固与练习

2025年秋期期终八年级数学巩固与练习 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 9的平方根为（ ） A. 9 B. C. D. 3或 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在实数，，（每两个1之间依次增加一个0），，中，无理数有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知y(y－16)＋a＝(y－8)2，则a的值是( ) A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 6. 《醉翁亭记》中写道：“…射者中…”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，要在学校的一块三角形草坪上建一个文化牌，若要使文化牌到草坪三条边的距离相等，则这个文化牌的位置应选在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三边的垂直平分线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三条角平分线的交点 8. 有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11，其箱线图如下：下列说法错误的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的上四分位数是15 D. 被墨水污染的数据是3和18 9. 如图：等边三角形中，，与相交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 《义务教育劳动课程标准年版》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有45名学生，其中学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生有______名． 12. 因式分解：_______________ 13. 河南剪纸艺术历史悠久，一张正方形剪纸的边长为，如图现将其沿虚线裁剪后仍是正方形剪纸，则小正方形剪纸的面积比原剪纸的面积减少了____． 14. 若，则的值为___________． 15. 如图，在中，，点是射线上一动点（在点的右侧），，当______时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形． 三、解答题（每题3分，共15分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 关于的代数式化简后不含项和常数项． （1）求、的值； （2）求的值． 18. 某校为创建书香校园，倡导读书风尚，开展了师生“大阅读”活动，并制定“大阅读”星级评选方案，每月评选一次，为了解活动开展情况，学校组织对全校“大阅读”星级评选工作进行抽样调查，随机抽取20名学生阅读的积分（分值为整数）情况进行分析． 【收集数据】20名学生的“大阅读”积分（单位：分）：32，43，34，35，15，46，48，24，54，10，25，40，59，42，55，30，47，28，37，42 【整理数据】 积分/分 星级 红 橙 黄 绿 青 频数（人数） 2 3 5 （1）填空： ， ； （2）根据表格制成如图所示不完整的频数分布直方图，请将其补全（用阴影部分表示）； （3）如果将其绘制成扇形统计图，请求出橙星级所在扇形圆心角的度数； 【得出结论】 （4）这20名学生中，“大阅读”积分不低于40分的学生人数占抽取学生总人数的百分之几？ 19. 在《直指算法统宗》里有一道问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终日笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词意：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地面一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（尺）时，秋千的踏板与人一样高，而此人身高五尺，当然这时的秋千的绳索是呈直线状态．现在问这个秋千的绳索有多长？ 20. 如图，是由边长为 1 的正方形构成的 的网格图， 的顶点都在格点上． （1）判断是否为等腰三角形_____．（填是或否），并直接写出的面积为_____； （2）命题 “腰长相等的两个等腰三角形是全等三角形”是真命题还是假命题？如果是假命题，请在图中再画一个顶点是格点的三角形说明； 若是真命题，请进行证明． 21. 如图，是的中线，，点C关于直线的对称点为E． （1）请在图中作出点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，，求证：． 22. 阅读材料：利用因式分解生成密码 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码，规则是：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码． （1）已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是________； （2）已知多项式，用上述方法生成密码，若p、q都是正整数，且密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？ （3）多项式，当，时，利用题目中所示的方法，可以得到密码101213，求m的值． 23. 综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】 学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？同学们猜测：大边对大角．如图1，中，，求证：． 经同学们的讨论，以下三个小组给出了解决方法： 第1小组 第2小组 第3小组 思路 与 辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 分析：作于，在上截取，连接． 图形 请你选择其中一个小组的思路与图形，完整写出证明． 【知识应用】 （2）在△中，已知：，用“”连接、、应为　　 ； 【问题拓展】 （3）第4小组提出想法：大角对大边，即在一个三角形中，如果角大，那么角所对的边大。你认为这个小组的想法正确吗？如果正确，请补充图形完成证明（包含已知和求证，并写出完整证明过程）。如果不正确，请举出反例。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期终八年级数学巩固与练习 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 9的平方根为（ ） A. 9 B. C. D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义，需明确正数的平方根有两个且互为相反数．掌握平方根的定义是解题关键，根据平方根的定义解题即可． 【详解】解：∵平方根的定义为：若，则是的平方根， 又∵， ∴9的平方根是3或． 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的定义、幂的运算法则、完全平方公式，掌握上述运算规则及公式是解题关键，需根据算术平方根的定义、幂的运算法则（幂的乘方、同底数幂的乘除）、完全平方公式，逐一分析每个选项的运算是否正确即可． 【详解】A选项：算术平方根的结果为非负数，，A选项错误，不符合题意； B选项：，，B选项错误，不符合题意； C选项：同底数幂相除，底数不变指数相减，∴，C选项正确，符合题意； D选项：完全平方公式为，D选项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 在实数，，（每两个1之间依次增加一个0），，中，无理数有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查无理数的识别，解题的关键是熟知无理数的定义； 根据无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断，然后即可求解； 【详解】解：∵ 是分数，属于有理数；是整数，属于有理数；（每两个1之间依次增加一个0）是无限不循环小数，属于无理数；是无理数；，是整数，属于有理数； ∴综上所述，无理数有2个； 故选：C； 4. 沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若，，则添加如下条件仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定条件，准确分析判断是解题的关键． 根据已知的条件，，加入选项中得条件判断即可； 【详解】解：，，， ，故选项不符合题意； ， ， ， ，，， ，故选项不符合题意； 当时，与，不能构成的判定条件，故符合条件； 当时，与，可以构成的判定条件，故不符合题意； 故选：． 5. 已知y(y－16)＋a＝(y－8)2，则a的值是( ) A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，即可解答． 【详解】解：∵ y(y−16)+a=(y−8)2， ∴y2−16y+a=y2−16y+64 ∴a=64， 故选D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． 6. 《醉翁亭记》中写道：“…射者中…”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，箭在投壶外面部分的最大长度为， 最小长度为， ∴箭在投壶外面部分的长度不可能是. 故选：A． 7. 如图，要在学校的一块三角形草坪上建一个文化牌，若要使文化牌到草坪三条边的距离相等，则这个文化牌的位置应选在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三边的垂直平分线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三条角平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于文化牌到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定文化牌位置． 【详解】解：∵文化牌到草坪三条边的距离相等， ∴这个文化牌的位置应选在三角形三条角平分线的交点， 故选：D． 8. 有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11，其箱线图如下：下列说法错误的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的上四分位数是15 D. 被墨水污染的数据是3和18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图，根据箱线图的定义一一分析判断即可． 【详解】解：A．这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B．这组数据的下四分位数是4，上四分位数是15，中位数为，故该选项符合题意； C．这组数据的上四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； D．箱线图下边缘是3，上边缘是18，∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图：等边三角形中，，与相交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 根据勾股定理计算出长即可． 【详解】∵在长方形中，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 《义务教育劳动课程标准年版》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有45名学生，其中学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生有______名． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率，根据频数总次数频率进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：名， 该班学会炒菜的学生有18名． 故答案为：． 12. 因式分解：_______________ 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用公式法分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，解题关键是按因式分解的一般步骤：一提、二套、三分组，有公因式要先提公因式进行分解． 13. 河南剪纸艺术历史悠久，一张正方形剪纸的边长为，如图现将其沿虚线裁剪后仍是正方形剪纸，则小正方形剪纸的面积比原剪纸的面积减少了____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了整式加减、完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的展开形式是解题关键，利用大的正方形的面积减去小的正方形的面积即可求解． 【详解】解：原正方形的面积为， 小正方形边长为， 小正方形的面积为， 则面积减少了． 故答案为：． 14. 若，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先把变形为，然后把整体代入计算即可． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故答案为∶4． 15. 如图，在中，，点是射线上一动点（在点的右侧），，当______时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】先根据题意画出符合的情况，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：分为以下3种情况： ①， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ②， ∵，， ∴， 又， ∴ ③ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 综上所述，或或，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能画出符合的所有图形是解此题的关键． 三、解答题（每题3分，共15分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）2；（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、整式的化简求值，掌握实数混合运算法则及整式运算技巧是解题关键． (1)先去绝对值、求算术平方根、立方根、乘方运算，再化简即可； (2)先算小括号里面的，再算中括号里面的，接着算括号外面的，最后，再代入求值即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 当，时，原式． 17. 关于的代数式化简后不含项和常数项． （1）求、的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算、解一元一次方程、代数式求值． （1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含和常数项得出，，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出，根据（1）中得出的a和b的值，即可解答． 【小问1详解】 解： ， ∵化简后不含 项和常数项， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：， 由（1）知，， ∴， 原式． 18. 某校为创建书香校园，倡导读书风尚，开展了师生“大阅读”活动，并制定“大阅读”星级评选方案，每月评选一次，为了解活动开展情况，学校组织对全校“大阅读”星级评选工作进行抽样调查，随机抽取20名学生阅读的积分（分值为整数）情况进行分析． 【收集数据】20名学生的“大阅读”积分（单位：分）：32，43，34，35，15，46，48，24，54，10，25，40，59，42，55，30，47，28，37，42 【整理数据】 积分/分 星级 红 橙 黄 绿 青 频数（人数） 2 3 5 （1）填空： ， ； （2）根据表格制成如图所示不完整的频数分布直方图，请将其补全（用阴影部分表示）； （3）如果将其绘制成扇形统计图，请求出橙星级所在扇形圆心角的度数； 【得出结论】 （4）这20名学生中，“大阅读”积分不低于40分的学生人数占抽取学生总人数的百分之几？ 【答案】（1）7，3；（2）见解析；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． （1）由样本数据直接得出答案； （2）根据（1）的结果可补全频数分布直方图； （3）利用橙星级的频数除以总人数，再即可； （4）利用获得绿星级及以上的人数，除以20 ，再即可． 【详解】解：（1）由样本数据得：的有 7 人，的有 3 人， ， 故答案为：7，3； （2）补全频数分布直方图如下： （3）橙星级所在扇形圆心角的度数为． （4）这20名学生中，“大阅读”积分不低于40分的学生人数占抽取学生总人数的． 19. 在《直指算法统宗》里有一道问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终日笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”词意：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地面一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（尺）时，秋千的踏板与人一样高，而此人身高五尺，当然这时的秋千的绳索是呈直线状态．现在问这个秋千的绳索有多长？ 【答案】这个秋千的绳索的长是14.5尺 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．设这个秋千的绳索尺，得到，求出的值，即可得到秋千的绳索的长． 【详解】解：设尺， 依题意，，， ∴ ， 在中，， ， 解得， 故尺， 答：这个秋千的绳索的长是14.5尺． 20. 如图，是由边长为 1 的正方形构成的 的网格图， 的顶点都在格点上． （1）判断是否为等腰三角形_____．（填是或否），并直接写出的面积为_____； （2）命题 “腰长相等的两个等腰三角形是全等三角形”是真命题还是假命题？如果是假命题，请在图中再画一个顶点是格点的三角形说明； 若是真命题，请进行证明． 【答案】（1）是； （2）“腰长相等的两个等腰三角形是全等三角形”是假命题，图见解析 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，等腰三角形的定义，全等三角形的判定，解题的关键是掌握勾股定理以及全等三角形的判定． （1）根据勾股定理可判断是否为等腰三角形；利用三角形的面积公式可求出的面积； （2）根据等腰三角形的定义、全等三角形的判定方法判定方法解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴是等腰三角形； 的面积． 故答案为：是；； 【小问2详解】 解：“腰长相等的两个等腰三角形是全等三角形”是假命题，如图， ， ∴和是等腰三角形，且腰长相等，但与不全等． 21. 如图，是的中线，，点C关于直线的对称点为E． （1）请在图中作出点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据要求作出图形即可； （2）证明是等边三角形可得结论． 【小问1详解】 解：如图，点E即为所求； ； 【小问2详解】 证明：∵是的中线， ∴， ∵C，E关于对称， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 22. 阅读材料：利用因式分解生成密码 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码，规则是：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码． （1）已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是________； （2）已知多项式，用上述方法生成密码，若p、q都是正整数，且密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？ （3）多项式，当，时，利用题目中所示的方法，可以得到密码101213，求m的值． 【答案】（1）1525425 （2）125 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，新定义问题，正确理解新定义是解题的关键． （1）将多项式分解因式，代入数值计算因式码，然后按从小到大的顺序排列形成密码即可； （2）先将多项式分解因式，再根据题意排序，由前两个因式码可得方程组，解方程组代入第三个因式码即可得解； （3）先将多项式分解因式，再根据已知数据及密码101213排序，得出对应方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：， 当取，时，，，， ∴生成的密码是1525425． 故答案为：1525425； 【小问2详解】 解：， 、q都是正整数， ． ，，解得． 第三个因式码为； 【小问3详解】 解：． 根据题意，当，时，三个因式码为10，12，． 又∵密码为101213， ∴三个因式码为10，12，13， ∴， ． 23. 综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】 学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？同学们猜测：大边对大角．如图1，中，，求证：． 经同学们的讨论，以下三个小组给出了解决方法： 第1小组 第2小组 第3小组 思路 与 辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 分析：作于，在上截取，连接． 图形 请你选择其中一个小组的思路与图形，完整写出证明． 【知识应用】 （2）在△中，已知：，用“”连接、、应为　　 ； 【问题拓展】 （3）第4小组提出想法：大角对大边，即在一个三角形中，如果角大，那么角所对的边大。你认为这个小组的想法正确吗？如果正确，请补充图形完成证明（包含已知和求证，并写出完整证明过程）。如果不正确，请举出反例。 【答案】（1）见解析；（2） ；（3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了等角对等边，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 选择第1小组的思路：作的平分线，交于D，在上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择第2小组的思路：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择第3小组的思路：作于D，在上截取，连接，首先根据垂直平分线的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）根据大边对大角求解即可； （3）在内部，以C为顶点，以为一边作，另一边与交于点D，首先由等角对等边得到，然后等量代换得到，然后根据三角形三边关系得到，进而得到． 【详解】解：（1）（方法一）我选择第 1 小组的思路 证明：作的平分线，交于，在上截取，连接 平分， ， 在△和△中， ， ， ， 是△的外角， ， ， （方法二）我选择第 2 小组的思路 证明：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接， 平分， ， 在△和△中， ， ， ， 是△的外角， ， ； （方法三）我选择第 3 小组的思路 证明：作于，在上截取，连接， ，， ， ， 是△的外角， ， ； （2） ∵在中，， ∴； （3）已知：如图，在中，， 求证：， 证明：在内部，以为顶点，以为一边作，另一边与交于点， ， ， ， ， 在△中，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $