精品解析：河南省商丘市柘城县2025年秋八年级期末质量检测 数学试卷

2025年秋八年级期末质量检测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，依据分式有意义时分母不为0的性质，列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴， ∴． 故选：C． 3. 若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键．先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值． 【详解】解：∵将展开得, 又∵, ∴ 由得, 将，代入得，符合条件, ∴, 故选：D． 4. 关于，的方程组的解满足，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，幂的乘方，同底数幂的除法，得，然后由，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 得，即， ∵， ∴，解得， ∵， 所以代入得， 故选：． 5. 若一个三角形的三边长分别为，，，且满足分式，则该三角形一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的性质，因式分解，等腰三角形的定义，根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），对分子进行因式分解，结合三角形边长为正数的性质，推导三角形三边的关系，进而判断三角形类型． 【详解】解：∵分式， ∴分子，且分母，即， ， ∵三角形三边长均为正数， ∴， 又∵， ∴，即， ∵且， ∴该三角形有两条边相等，是等腰三角形， 故选：B． 6. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出再用角平分线求出，由线段垂直平分线得出，根据等腰三角形的性质得出，然后求出，最后用外角性质求出． 【详解】解：根据尺规作图痕迹知，平分，是线段的垂直平分线， ， ， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ， ． 故选：D． 7. 如图，在和中，点在线段上，若，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先证明，所以，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 茄果类全自动嫁接机器人已投入试用，其嫁接速度是一个熟练工的3倍，嫁接1200株番茄，机器人的用时比一个熟练工的用时少3小时，设熟练工的嫁接速度为株/小时，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，结合机器人用时比熟练工少3小时的等量关系列方程． 【详解】解：设熟练工的嫁接速度为株/小时，则机器人的嫁接速度为株/小时， 根据题意，得， 故选：A． 9. 已知，，，则的值为（ ） A. 与值有关 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，将两个已知等式相减，利用平方差公式及的条件求出的值，再将所求式子转化为完全平方形式代入计算即可． 【详解】解：∵①，② ∴得 ∴ 又∵，即 ∴， ∴． 故选：D． 10. 从，，，，，这六个数中随机抽取一个数，记为．若数使关于的不等式组至少有三个整数解，且使关于的分式方程的解为正整数，那么这六个数中所有满足条件的的值之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查分式方程的解，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． 先解不等式组确定a的取值范围，再解分式方程筛选出符合条件的a值，最后计算满足条件的a值之和． 【详解】解：不等式组 解得， 解得， ∴不等式组解集为， ∵不等式组至少有三个整数解， ∴， ∵从，，，，，这六个数中随机抽取一个数，记为， ∴a可以为1，2，3，5，6， 解分式方程， 去分母得， 整理得，即 ∵方程解为正整数且 当时，不是正整数，舍去； 当时，是正整数，符合条件； 当时，不是正整数，舍去； 当时，是正整数，符合条件； 当时，不是正整数，舍去． ∴满足条件的a为2和5，其和为． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 分式与的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的最简公分母的确定方法，熟练掌握因式分解及最简公分母的定义是解题的关键．先对两个分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义，确定各分母所有因式的最高次幂的乘积． 【详解】解：∵，， ∴最简公分母． 故答案为：． 12. 已知长方形的面积为，长为，则该长方形的周长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据长方形的面积公式求出长方形的宽，再根据周长公式求出即可． 【详解】∵长方形的面积为，长为， ∴长方形的宽为：， ∴长方形的周长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式除以单项式，根据面积公式求出长方形的宽，正确化简多项式都是解决此题的关键． 13. 如图，是内的一点，且点到顶点，，的距离相等，连接，．若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，连接，先求出，又点到顶点，，的距离相等，所以，则，，得，则，最后由三角形内角和定理即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点到顶点，，的距离相等， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，作，使交边于点．在点的运动过程中，当是等腰三角形时，______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由等边对等角可得，再结合三角形内角和定理可得，分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果，熟练掌握等腰三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴当时，，此时； 当时，，故，此时点与点重合，故不符合题意； 当时，，此时； 综上所述，或， 故答案为：或． 15. 对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算例如：．则方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可． 【详解】解：， ∴方程为：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解本题的关键在理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 将下列各式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键： （1）先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用十字相乘法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，是解题的关键． 先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘，得 化简，得 解得： 检验，把代入得：， ∴是原方程的解． 【小问2详解】 解：， 方程两边同时乘得：， 化简得：， 解得：， 检验，把代入得： ， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 18. 先化简，再求值，其中与、构成的三边长，且为整数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，三角形三边关系，熟练掌握分式化简求值、三角形三边关系的应用是解题的关键； 先利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，然后根据三角形三边关系得到，然后代数求解即可． 【详解】解：原式 ， 与、构成的三边长， ， 又为整数， ， 当时，原式． 19. 如图，在中，为边的中点，过点作，连接，，分别交，于点，，且，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，且，根据平行线的性质得出，证明为的垂直平分线，得出，最后根据等腰三角形的性质得出答案即可； （2）证明，得出，再根据线段间数量关系，得出答案即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵在中，，， ，且， ， ， 又为的中点， 为的垂直平分线， ， ； 【小问2详解】 证明：根据解析（1）可得：， ∴， ∵在中，，， ， 即， ∵在和中， ， ∴， ，即． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）在图中画出三角形关于轴对称的图形； （2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时点关于这条直线的对称点的坐标为______． （3）在轴上寻找一点，使的面积与面积相等．请直接写出点的坐标：______． 【答案】（1）见详解 （2）x轴， （3） 【解析】 【分析】本题考查作图−画轴对称图形，坐标关于对称轴的变换．以及根据网格性质直接写出点的坐标. （1）利用轴对称性质分别作出A，B，C的对应点，，，然后连接即可； （2）利用轴对称的性质求解问题即可； （3）根据的面积与面积相等结合网格的性质即可求出P点． 【小问1详解】 解：如图，即所求； 【小问2详解】 在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是x轴，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为； 故答案为：x轴， 【小问3详解】 如图，点P即为所求． 点P的坐标为 21. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩的单价比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． （1）请问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划共购买25个A，B两种型号充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问共有几种购买方案？哪种方案的购买费用最少？ 【答案】（1）A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元 （2）有3种购买充电桩的方案，购买16个A型充电桩、9个B型充电桩总费用最少，最少费用万元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系，列出不等式． （1）设A型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价为万元，根据用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等，列出方程，解方程即可； （2）设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，根据购买总费用不超过26万元，B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的，列出不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：设A型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意，得：， 解得：， 经检验是原方程的解， （万元）， 答：A型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价为万元； 【小问2详解】 解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个， 根据题意得：， 解得， 为整数， ，， ∴该停车场有3种购买充电桩的方案， 方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩； 方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩； 方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩． ∵A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价 ∴购买方案三总费用最少，最少费用（万元）． 22. 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“ 差分式”． （2）分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，分式的加减法，熟练掌握掌握分式的加减法法则是解答本题的关键． （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； 根据为正整数，即可解答． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， 解得，； 为正整数， 当时，，则； 当时，，则； 的值为或． 23. 如图1，平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，，，其中x是方程的解． （1）求的长度． （2）如图2，分别以，为边作等边三角形，，连接，，线段交于点C，交点F，求的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点G．求证：G为的中点． 【答案】（1）6 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）解方程得出，再直接运用直角三角形角的性质求解即可； （2）先利用证，得到，从而利用三角形内角和得到． （3）作于H，先证，得，再证，得到，从而得证． 【小问1详解】 解：（1）解方程，得 经检验， 是原分式方程的解． ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 ∵，均等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ 【小问3详解】 证明：过点E作于点H，如解图所示，则． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴G为的中点． 【点睛】本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等，掌握全等三角形的判定方法是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋八年级期末质量检测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 关于，的方程组的解满足，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个三角形的三边长分别为，，，且满足分式，则该三角形一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 6. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在和中，点在线段上，若，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 茄果类全自动嫁接机器人已投入试用，其嫁接速度是一个熟练工的3倍，嫁接1200株番茄，机器人的用时比一个熟练工的用时少3小时，设熟练工的嫁接速度为株/小时，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，，则的值为（ ） A. 与值有关 B. 4 C. 8 D. 16 10. 从，，，，，这六个数中随机抽取一个数，记为．若数使关于的不等式组至少有三个整数解，且使关于的分式方程的解为正整数，那么这六个数中所有满足条件的的值之和是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 分式与的最简公分母是______． 12. 已知长方形的面积为，长为，则该长方形的周长为______． 13. 如图，是内的一点，且点到顶点，，的距离相等，连接，．若，则的度数为______． 14. 如图，在中，，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，作，使交边于点．在点的运动过程中，当是等腰三角形时，______． 15. 对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算例如：．则方程解是________． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 将下列各式分解因式： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值，其中与、构成的三边长，且为整数． 19. 如图，在中，为边中点，过点作，连接，，分别交，于点，，且，． （1）求证：； （2）求证：． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为． （1）在图中画出三角形关于轴对称的图形； （2）在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时点关于这条直线的对称点的坐标为______． （3）在轴上寻找一点，使的面积与面积相等．请直接写出点的坐标：______． 21. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号充电桩．已知A型充电桩的单价比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等． （1）请问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划共购买25个A，B两种型号充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问共有几种购买方案？哪种方案的购买费用最少？ 22. 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“ 差分式”． （2）分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 23. 如图1，平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，，，其中x是方程的解． （1）求的长度． （2）如图2，分别以，为边作等边三角形，，连接，，线段交于点C，交点F，求的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点G．求证：G为的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $