精品解析：山东省日照市2026届高三上学期期末数学试题

2023级高三上学期期末考试 数学 2026.02 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义及共轭复数的概念求解. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为， 所以，所以， 故选：C. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的解集，求得，结合集合的交集的定义和运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得，所以， 因为，所以. 故选：D. 3. 设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项. 4. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得. 【详解】因为点，分别为，边上的中点，所以， 又，则， 所以. 故选：B 5. 已知函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象变换得到新函数，根据三角函数性质及诱导公式求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位，得到， 因为该图象关于原点对称，所以，解得， 因为，所以的最小值为， 故选：A. 6. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ） A. 有极小值点，没有极大值点 B. 有极大值点，没有极小值点 C. 至少有两个极小值点和一个极大值点 D. 至少有一个极小值点和两个极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】由题设，令与切点横坐标为且，由图存在使，则有三个不同零点，结合图象判断的符号，进而确定单调性，即可确定答案. 【详解】由题设，，则， 又直线与曲线相切于两点且横坐标为且， 所以的两个零点为，由图知：存在使， 综上，有三个不同零点， 由图：上，上，上，上， 所以在上递减，上递增，上递减，上递增. 故至少有两个极小值点和一个极大值点. 故选：C. 7. 已知实数，满足，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数图像直接画图求解即可. 【详解】设， 则分别为与图象交点的横坐标， 当时，如下图所示，此时，故A情况可能出现. 当时，且位于和交点上方时， 如下图所示，此时，故C情况可能出现. 当时，且位于和交点下方时， 如下图所示，此时，故D情况可能出现. 所以不可能出现. 故选：B 8. 已知为等腰直角三角形，为空间中的一个点，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得出S点满足的方程，求出高的最大值，即可求体积最大值. 【详解】以为坐标原点，直线为轴建立空间直角坐标系，则， 因为为等腰直角三角形，，所以， 设，由可得，即，所以， 由可得，即， 三棱锥的底面在平面内，面积为，三棱锥的高为， 由可知，当时，取得最大值， 故三棱锥体积的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的分位数是23 B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数是1或4”，事件“向上点数是奇数”，则 C. 若随机变量，，则 D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为9 【答案】AB 【解析】 【分析】求出分位数判断A；利用古典概率公式求出概率判断B；利用正态分布对称性求出概率判断C；利用平均数、方差的性质计算判断D. 【详解】对于A，由，得给定数据组分位数是23，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，随机变量，由，得 ，C错误； 对于D，数据的平均数为2，方差为3，则数据 的平均数为，方差为，D错误. 故选：AB 10. 已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 奇函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解则可对A判断求解；令，可得即可对B判断求解；利用赋值法令，可得，然后再化简可得即可对C判断求解；由题可求得，再结合周期为，即可对D求解判断. 【详解】A：令，，可得，解得， 所以，故A正确； B：由题可得函数的定义域为，令，则得， 即，所以为偶函数，故B错误； C：令，即，即①， 将替换可得②， +②得，则， 所以，故C正确； D：令，则，因，所以； 由，所以当时，， 当时，，当时，， 令，，则，解得，所以， 所以在一个周期内， 因，所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 对于曲线（其中均为正数），下列说法正确的是（ ） A. 曲线是轴对称图形 B. 当时，曲线围成的封闭区域面积的取值范围为 C. 当时，曲线与曲线有4个交点 D. 当时，曲线围成的封闭区域的面积小于 【答案】AB 【解析】 【分析】A代入判断即可；B代入参数，可得第一象限与坐标轴围成的面积范围，结合A的对称性即可判断；C代入参数，结合基本不等式可得曲线无公共点；D选项，举特例即可判断. 【详解】A选项，若满足曲线的方程，则满足曲线的方程，则曲线关于坐标轴以及原点对称，A正确； B选项，当时，曲线，在第一象限为线段，与坐标轴交于，则，，， 由二次函数可求得的取值范围为，B正确； C选项，当时，当时，曲线：， 由基本不等式可得，与不会同时成立，则无交点，C错误； D选项，当时，若，则曲线：， 在第一象限，即， 则， 当且仅当取等号， 如图，曲线在第一象限与坐标轴围成的面积大于直线与坐标轴围成的面积2， 则曲线围成的封闭区域的面积大于8，D错误； 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的二项展开式中项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再确定项的系数即可. 【详解】二项式的展开式通项公式为， 由，得，则， 所以的二项展开式中项的系数为. 故答案为： 13. 已知直线与圆交于、两点，当取得最小值时，其正弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出直线恒过点，再得出当取得最小值时，，利用倍角公式可求. 【详解】的标准方程为， 可化为， 若，则，则直线恒过点， 因为，所以点在圆内部， 当取得最小值时，最小，则点到直线的距离最大，此时， 因为， 所以当时，，， 当取得最小值时，其正弦值为. 故答案为： 14. 任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数.则__________（写成的形式，与为互质的具体正整数）；若构成了数列，设数列，求数列的前项和__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用无限循环小数的性质设，然后建立等式求解即可；利用题中给出的规律先求出的通项公式，然后得到的通项公式，然后列项相消求解即可. 【详解】令，则，解得，所以 易知 所以 所以 所以 所以答案：； 【点睛】关键点点睛：若，则，借此建立等式； ，借此求得的通项公式；同样的道理. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求; （2）若，，求及边上的高． 【答案】（1） （2），边上的高为 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式计算可得； （2）利用正弦定理将边化角，结合二倍角公式求出，再由两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，最后根据边上的高为计算可得. 【小问1详解】 由, 可得， 即， 由于，则， 故，解得； 【小问2详解】 因为， 由正弦定理可得, 又，则， 所以，所以， 所以， 所以 ， 由正弦定理可得，即，解得， 故边上的高为. 16. 为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮在最后一轮比赛中，有，两道问题其中问题为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响． （1）求问题被回答正确的概率； （2）记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）． （2）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【小问1详解】 设“甲抢到问题”为事件，“问题被回答正确”为事件， 由题意可知：， 由全概率公式可得  所以问题被回答正确的概率为． 【小问2详解】 由题意可知：的可能取值有：，，，则有： ， ， ， 所以的分布列为 期望． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，．若分别为棱上的动点，且，点在平面上的射影为点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）证明过程见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理求出，进而，故⊥，结合⊥，得到线面垂直，面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，根据得到，，求出平面的法向量，设出线面角，得到， 因为，所以， 【小问1详解】 ，，， 由余弦定理得， 故，故⊥， 直三棱柱中，⊥， 又，平面， 故⊥平面， 又平面，所以平面⊥平面； 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 点在平面上的射影为点，， ，， 设，， 故， ，故，整理得， 又，故，又，解得， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，故， 设直线与平面所成角大小为， 则， 因为，所以， 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 18. 已知双曲线的渐近线方程为，点在上．按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记． （1）求； （2）求数列的通项公式，并说明理由； （3）记的面积为，证明：． 【答案】（1），， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意求出双曲线的方程为，由题意可知，根据及点在双曲线上，求出，同理求出，代入即可求出答案； （2）由和得，再根据，，代入联立化简得，可得是等比数列，进而得到通项公式； （3）根据及，求出，进而得到和坐标，利用三角形面积公式的向量表示求出为定值，即可证明. 【小问1详解】 由题意知双曲线的焦点在轴，且双曲线的渐近线方程为， 则， 又点在上，则， 联立，解得，则双曲线方程为， 由题意得，的斜率， 则，解得， 同理，由题意得，的斜率， 则，解得， 因为， 所以， ， . 【小问2详解】 因为，所以，因为， 所以， 于是，① 由于，， 所以．且， 两式作差可得，② 把①代入②可得，③ 由③+①得， 即， 因为，所以， 由（1）知，故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． 【小问3详解】 由（2）知，， 又，所以，， ， ， 所以 ， 即为定值， 所以. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若函数有三个不同极值点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，令，利用导数说明的单调性，从而求出的单调区间； （2）（ⅰ）依题意可得有三个不同的零点，分、、三种情况讨论，结合零点存在性定理说明即可； （ⅱ）由(i)可知，令，推导出若是方程的根，则也是方程的根，从而得到，则问题转化为证明，即证，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又， 当时，令，则， 函数在上单调递增， 又，则当时，；当时，； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 （ⅰ）由有三个不同的极值点，得有三个不同的零点， 由（1）知，当时，在上单调递增，只有个零点，不符合题意； 当时，，则在上单调递增，不符合题意； 当时，令，即， 则和是方程的两个实数解，且， 所以当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减，且， 因为， 对于函数，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，于是，当且仅当时取等号； 则当时，， 而， 因此， ， 因为，所以存在，所以在上存在唯一零点， 因为，所以存在，所以在上存在唯一零点， 所以当或时，当或时， 所以在和上单调递减，在和上单调递增， 记，所以是的三个不同的极值点，且， 综上所述，实数的取值范围为. (ii)由(i)可知，令， 若是方程的根，则， 所以，故也是方程的根，所以， 要证，只需证， 因为，所以， 只需证， 令，则， 令，则， 所以在单调递增，所以， 所以，所以在单调递增，故， 所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高三上学期期末考试 数学 2026.02 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 2 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ） A. 有极小值点，没有极大值点 B. 有极大值点，没有极小值点 C. 至少有两个极小值点和一个极大值点 D. 至少有一个极小值点和两个极大值点 7. 已知实数，满足，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为等腰直角三角形，为空间中的一个点，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的分位数是23 B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数是1或4”，事件“向上点数是奇数”，则 C. 若随机变量，，则 D. 数据平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为9 10. 已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 11. 对于曲线（其中均为正数），下列说法正确的是（ ） A. 曲线轴对称图形 B. 当时，曲线围成的封闭区域面积的取值范围为 C. 当时，曲线与曲线有4个交点 D. 当时，曲线围成的封闭区域的面积小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项展开式中项的系数为______． 13. 已知直线与圆交于、两点，当取得最小值时，其正弦值为______． 14. 任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数.则__________（写成的形式，与为互质的具体正整数）；若构成了数列，设数列，求数列的前项和__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求; （2）若，，求及边上的高． 16. 为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮在最后一轮比赛中，有，两道问题其中问题为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响． （1）求问题被回答正确的概率； （2）记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，．若分别为棱上的动点，且，点在平面上的射影为点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 18. 已知双曲线的渐近线方程为，点在上．按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记． （1）求； （2）求数列的通项公式，并说明理由； （3）记的面积为，证明：． 19. 已知函数． （1）当时，求单调区间； （2）若函数有三个不同的极值点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $