精品解析：山东省日照市2024-2025学年高三上学期期末校际联合考试数学试卷

2022级高三上学期期末校际联合考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合，再利用并集的性质得到答案即可. 【详解】令，解得，故， 因为，所以，故D正确. 故选：D 2. 若复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为， 故复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 3. “幂函数在上单调递减”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的性质求解参数，再判断必要性和充分性即可. 【详解】若是幂函数，则， 解得或，当时，， 由反比例函数性质得在上单调递减， 当时，， 由幂函数性质得在上单调递减， 故在上单调递减时，或， 即当在上单调递减时，无法推出，充分性不成立， 当时，可以推出在上单调递减，必要性成立， 综上，在上单调递减是的必要不充分条件，故C正确. 故选：C 4. 若角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出的值，再利用诱导公式结合两角和的正切公式可求得所求代数式的值. 【详解】由三角函数定义可得， 所以 . 故选：B. 5. 从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】利用间接法即可得解. 【详解】从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，不同的选法种数为种， 若甲、乙两人都被选中，则不同的选法种数为种， 因此，甲、乙至多有人被选中的不同选法有种. 故选：C. 6. 已知数列是公差为的等差数列， 则 （ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得数列是公比为的等比数列，利用等比数列的性质可得结果. 【详解】由题意可知，即，故， ∴数列为等比数列，公比， ∴. 故选：C. 7. 若是奇函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义域先求出，再根据奇函数的性质求出，从而可求. 【详解】， 则自变量满足，则， 故函数定义域中不能有，故即， 此时， 而，故， 故，故. 故选：D 8. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，在中，若，则当取最大值时，点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示点坐标，利用焦半径公式、两点间距离公式分别是出,利用“角化边”，结合基本不等式即可求解. 【详解】设点，由题意知， 根据焦半径公式可得， 在中，由正弦定理可得, 所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 即的最大值为时，P的横坐标为. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本数据、、、、、、的分位数是 B. 数据、、、的平均数为，则、、、的平均数为 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用平均数的性质可判断B选项；利用独立重复试验的概率公式可判断C选项；利用正态密度曲线的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，将样本数据由小到大排列依次为：、、、、、、， 因为，因此，这组样本数据的分位数是，A对； 对于B选项，数据、、、的平均数为，则、、、的平均数为，B错； 对于C选项，若随机变量，则，C错； 对于D选项，若随机变量，且， 则，D对. 故选：AD. 10. 已知函数部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 直线为的图象的一条对称轴 D. 在区间上值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用，即可判断A选项；利用整体代入法结合正弦函数的单调区间即可判断B选项；利用判断C选项；根据时利用正弦函数的性质判断选项D. 【详解】由函数的部分图象知，，解得；因为，所以，A正确； 由五点法作图结合图象可知，解得，所以； 时不是单调函数，所以在区间不是单调函数，B不正确； 因为，所以直线为的图象的一条对称轴，C正确； 时所以，所以在区间上的值域为，D正确， 故选：ACD. 11. 已知正方体的棱长为6，过棱的中点作正方体的截面，则（ ） A. 截面多边形的周长为 B. 截面多边形的面积为 C. 截面多边形存在外接圆 D. 截面所在平面与平面所成角的正弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意画出正方体，将题中截面画出，根据边长关系即可求出边长和面积；判断截面多边形各边长垂直平分线是否交于一点即可判断出多边形是否存在外接圆；根据二面角定义和余弦定理求出截面所在平面与平面所成角. 【详解】设，，的中点分别为、、， 连接并延长交直线，的延长线于点，，连接交于， 连接交于，连接，得到截面五边形，连接与的中点. 由，为中点，，，，因此周长为，故A正确. ，， ，， ， 截面多边形的面积为，故B正确. 与是公用一个顶点的全等三角形，两个三角形的外心不重合，所以这个五边形没有外接圆，故C错误. 因为， 根据二面角定义可知为截面与底面所成角（或补角）， ，， 根据余弦定理可得， 故， 所以截面所在平面与平面所成角的正弦值为，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据平面的性质作出截面图形. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是__________. 【答案】8 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项公式，令的指数为1，解出，可得结果. 【详解】展开式的通项公式为，(其中)， 令，解得，即二项式展开式中的系数为. 故答案为：8 13. 在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理求，代入运算求解即可. 【详解】 在中，因，，由余弦定理可得：， 在中，由余弦定理可得： ， 因为，即， 可得，解得. 故答案为：3. 14. 设函数，是公差为的等差数列，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得出，计算得出，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，结合可求得的值，即可得解. 【详解】因为数列是公差为的等差数列，则， ， ， 所以， 令， 则， 所以函数在上为增函数， 因为且，所以， 因此 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题关键在于将题干中的等式转化为关于的等式，通过构造函数，并分析其单调性，结合单调性求出的值. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑已经走进了千家万户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑（俗称“笔记本”）也非常流行．某公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别有关，在街头随机抽取了50人做调查研究，调查数据如下表所示． 男性 女性 合计 喜欢“台式机” 20 5 25 喜欢“笔记本” 10 15 25 合计 30 20 50 （1）是否有99%的把握认为喜欢哪种机型与性别有关？ （2）该公司针对男性客户做了调查，某季度男性客户中有青年324人，中年216人，老年108人，按分层抽样选出12人，又随机抽出3人的调查结果进行答谢，这3人中的青年人数设为随机变量，请求出的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.01 2.701 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）有的把握认为喜欢哪种机型与性别有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）求出，再对照临界值表即可得出结论； （2）先根据分层抽样求出各层人数，再写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 ， 所以有的把握认为喜欢哪种机型与性别有关； 【小问2详解】 由题意，， 所以人中有青年人人，中年人人，老年人人， 则的所有可能取值为， ，， ，， 则分布列为： . 16 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在上总有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）求出，对实数取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，，， 所以，函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为在上总有两个零点， 所以函数在上的图象与直线总有两个不同交点， 由，得， ①当时，在上恒小于， 所以，函数在上单调递减，不满足题意； ②当，由可得， 当或时，或，所以函数在都是单调函数，不符合题意， 故需，即； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，函数在上的图象与直线恒有两个不同交点， 则需，可得，满足 所以，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 17. 如图，，点在平面的同侧，，，平面平面. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）证明平面，再以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，并利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接，由，得， 由，得，而平面，则平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，又平面平面，平面平面平面， 则平面，过作，则平面，又， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 在四边形中，，则， ，而，则， 于是， ， 设，则， 设为平面的法向量，则，取，得， 由直线与平面所成角的正弦值为， 得，解得， 所以. 18. 在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足，记的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过作轴的垂线与曲线在第一象限的交点为，过点的直线与曲线相切，且与轴交于点. （i）点是曲线上异于的一点，且，求直线的方程； （ii）过点且斜率不为0的直线交曲线于两点（在的左侧），若为线段的中点，直线交直线于点，求证：轴. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得其轨迹为椭圆，结合椭圆的性质即可得到其标准方程； （2）（i）根据题意，联立直线与椭圆方程代入计算，即可得到点的坐标，然后结合三角形的面积公式代入计算，即可得到在关于对称的直线上，即可得到结果；（ii）联立直线DE与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得到直线的方程，再由直线与直线即可得到点的纵坐标，即可证明. 【小问1详解】 由题意知动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且焦距，长轴，所以，所以曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意知，点的坐标为， 因为过点的切线斜率不为0，故设，与椭圆联立， 得，令，得①， 又过，则②，联立①②可得，则， 所以点的坐标为， 因为，故， 从而到的距离为到距离的2倍，即在关于对称的直线上， 又在椭圆上，从而关于对称，故直线方程为. （ii）方法一：因为，直线的斜率不为0， 故设直线DE的方程为， 与椭圆联立，得， 所以， 所以，所以， 又，则直线的方程为， 轴，直线与交于，则，所以， 故， 故轴. 方法二：设， 则，则①，又由， 两式作差可得：②， 结合①②可得，，所以， 又，则直线的方程为 轴，直线与交于，则， 故，故轴. 19. 已知等差数列的公差，集合. （1）若，，求集合； （2）若，集合中恰好有两个元素，求； （3）当时，是否存在使得集合中恰好有三个元素，如果存在，求出的值，并给出证明过程；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）令，求出数列的通项公式，可得其周期，结合周期性可求得集合； （2）求得，，，根据题意可知或或，结合可求出的值，进而可求得数列的通项公式，结合周期性检验即可； （3）由可得或，结合可得出、、，然后对的取值进行分类讨论，根据、、、中至少有个值相等进行推理，推出矛盾，从而说明满足条件的不存在. 【小问1详解】 令，因为，，则， 则，周期为. 又因为，，， 所以，由周期性可知，. 【小问2详解】 因为，，， 因为恰好有两个元素，所以，或或， 因为，则，且， 若，则，可得； 若，则，即， 解得，则， 所以或. ①当时，，周期为， 所以，，，此时，符合题意； ②当时，，周期为， 所以，，，，此时，符合题意； 综上，或. 【小问3详解】 不存在使得集合恰好有三个元素，证明如下： 因为，则有或， 因为为公差的等差数列， 故，所以，又，故、、. ①当时，因为、、、中至少有个值相等， 此时，不成立； ②当时，因为、、、至少有个值相等， 此时，必然有， 即，则，即且不是整数，故不符合条件； ③当时，因为、、、至少有个值相等， 此时，必然有或， 若，则，即且不是整数， 若则，即且不是整数， 故不符合条件； 综上，不存在使得集合恰好有三个元素. 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系，从而得到的取值，再根据集合的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022级高三上学期期末校际联合考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. “幂函数在上单调递减”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 4. 若角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人被选中的不同选法有（ ） A 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知数列是公差为的等差数列， 则 （ ） A. 8 B. 4 C. D. 7. 若是奇函数，则（ ） A B. C. 1 D. 8. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，在中，若，则当取最大值时，点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本数据、、、、、、的分位数是 B. 数据、、、的平均数为，则、、、的平均数为 C 若随机变量，则 D. 若随机变量，且，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 直线为的图象的一条对称轴 D. 在区间上的值域为 11. 已知正方体的棱长为6，过棱的中点作正方体的截面，则（ ） A. 截面多边形的周长为 B. 截面多边形的面积为 C. 截面多边形存在外接圆 D. 截面所在平面与平面所成角的正弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是__________. 13. 在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则__________. 14. 设函数，是公差为的等差数列，，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑已经走进了千家万户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑（俗称“笔记本”）也非常流行．某公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别有关，在街头随机抽取了50人做调查研究，调查数据如下表所示． 男性 女性 合计 喜欢“台式机” 20 5 25 喜欢“笔记本” 10 15 25 合计 30 20 50 （1）是否有99%的把握认为喜欢哪种机型与性别有关？ （2）该公司针对男性客户做了调查，某季度男性客户中有青年324人，中年216人，老年108人，按分层抽样选出12人，又随机抽出3人的调查结果进行答谢，这3人中的青年人数设为随机变量，请求出的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.01 2.701 3.841 5.024 6.635 16. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在上总有两个零点，求实数的取值范围. 17. 如图，，点在平面同侧，，，平面平面. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 18. 在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足，记的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过作轴垂线与曲线在第一象限的交点为，过点的直线与曲线相切，且与轴交于点. （i）点是曲线上异于的一点，且，求直线的方程； （ii）过点且斜率不为0的直线交曲线于两点（在的左侧），若为线段的中点，直线交直线于点，求证：轴. 19. 已知等差数列的公差，集合. （1）若，，求集合； （2）若，集合中恰好有两个元素，求； （3）当时，是否存在使得集合中恰好有三个元素，如果存在，求出的值，并给出证明过程；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$