精品解析：江苏盐城市盐都区2025-2026学年度第一学期期末学业质量检测七年级数学试卷

2025--26学年度第一学期期末学业质量检测七年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间为100分钟，试卷满分120分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上相应位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，2的倒数是（　　） A. B. C. D. 2 2. 下列说法正确的是（ ） A. 是单项式 B. 的次数是6 C. 的系数是2 D. 是二次二项式 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（ ） A. 11条 B. 12条 C. 13条 D. 14条 5. 一副三角板如下图摆放，能得到和互补的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，已知一个正方体展开图的六个面依次书写“勇”“敢”“追”“逐”“梦”“想”，则折叠成正方体后，与“勇”相对的字是（　　） A. 敢 B. 逐 C. 追 D. 想 7. 如图，点、、在同一直线上，，，点、分别是、的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 将图1中的正方形剪开得到图2，图2 中共有4个正方形；将图2中一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中一个正方形剪开得到图4，图4中共有10个正方形；……； 如此下去．则图10中正方形的个数是 ( ) A. 28 B. 29 C. 31 D. 32 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡指定位置） 9. 东风-，全称为液体洲际战略核导弹，是中国人民解放军装备的射程最远、威力最大的重型洲际战略核导弹，其有效射程超过米．将数据用科学记数法表示为_________． 10. 若，则代数式的值为____． 11. 当____时，代数式与的值互为相反数． 12. 若一个角的度数是，则它的余角的度数是_____． 13. 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿子，就比竿子短5尺．问绳索、竿子各有多长？若设该问题中的竿子长为x尺，则可列方程为____________________________． 14. 如图是一款儿童小推车的示意图．若，，，则______°． 15. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则____． 16. 如图，分别过直线上点和点作射线、，，，射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，在射线旋转一周的过程中，经过____秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答时应在答题卡指定位置写出文字说明，推理过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 在如图所示的的方格纸中，每个小正方形的边长为，点A、B、C均为格点（格点是指每个小正方形的顶点）． （1）按下列要求画图： ①标出格点，使，并画出直线； ②标出格点，使，并画出直线； （2）计算的面积为 ； （3）若直线交于点，比较大小；线段 线段（填“”，“”、“”），理由 ． 21. 把下列的推理过程补充完整，并在括号内填上推理的依据： 如图，已知，，平分，证明：． 解：∵平分， ∴＝∠______， ∵， ∴， ∴____________（____________）， ∴（______）， ∵， ∴， ∴（______）． 22. 定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“相反方程”．例如：方程与方程互为“相反方程”． （1）若关于x的方程①：的解是，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是______； （2）若关于x的方程与其“相反方程”的解都是整数，求整数b的值； 23. 某超市第一次用3600元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品80件，乙种商品120件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为30元/件．（注：获利＝售价﹣进价） （1）该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？ （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？ 24. 如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论．如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D、O为平面内定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转． （1）如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则______°； （2）如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求的度数． （3）第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请求出这个定值． 25 项目式学习 项目主题 测试新款机器人的性能 项目背景 在科技展活动中，某科创小组测试新款机器人的性能 素材1 科创小组为测试新款机器人的性能，他们设置了一条笔直的测试道，在测试道上有B、C两个休整点，如图所示，B距A、D的距离分别为米、米，C与D的距离为米．其中a、b是不为0的实数． 素材2 若，时，机器人在测试道上来回运动，运动规则为机器人到达起点A或终点D时立即按当前运动速度折返，每次运动时间固定为4秒．具体运动过程如下： 第1次从起点出发以v米/秒的速度运动到记录点； 第2次从出发以米/秒的速度运动到记录点； 第3次从出发以米/秒的速度运动到记录点，到达后停止．且机器人的运动速度始终不超过6米/秒． 问题解决 任务1 请用含a、b的代数式表示休整点B、C之间的距离； 任务2 在素材2的基础上，在机器人首次到达终点D前，当记录点N2到起点的距离为12米时，求v的值； 任务3 在素材2基础上，记录点能恰好为终点D吗？若能，请求出v的值；若不能，请说明理由． 26. 如图1，点O为直线上一点，两个完全相同的直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边在直线上，． （1）将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，则______； （2）将图1中的三角板绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周，此时，三角板不动，请问几秒后所在的直线平分？ （3）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转两周，同时三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后所在的直线平分？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--26学年度第一学期期末学业质量检测七年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间为100分钟，试卷满分120分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上相应位置． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，2的倒数是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义得出2的倒数是，即可作答． 【详解】解：∵乘积为1的两个数互为倒数，且， ∴2的倒数是， 故选：B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 是单项式 B. 的次数是6 C. 的系数是2 D. 是二次二项式 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式的定义、单项式的系数与次数、多项式项与次数，熟练掌握相关概念是解题关键．根据单项式的定义、单项式的系数与次数、多项式项与次数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是单项式，则此项正确，符合题意； B、的次数是，则此项错误，不符合题意； C、的系数是，则此项错误，不符合题意； D、多项式中含有两项，其中的次数为1，的次数为，所以是三次二项式，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项的判断及合并同类项的法则依次计算判断即可． 【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意， B、与不是同类项，不能合并，不符合题意， C、，计算正确，符合题意； D、与，不是同类项，不能合并，不符合题意， 故选：C． 【点睛】题目主要考查同类项的判断及合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题关键． 4. 从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（ ） A. 11条 B. 12条 C. 13条 D. 14条 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的特点，多边形的对角线的定义，从多边形一个顶点出发的对角线数等于总顶点数减3（排除自身和两个相邻顶点），由正n边形从一个顶点出发有条对角线，由此即可求解． 【详解】解：∵ ，从一个顶点出发的可连接顶点数为， ∴ 对角线数为， 故选：A． 5. 一副三角板如下图摆放，能得到和互补的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查余角和补角，关键是补角的定义． 如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角．由此即可判断． 【详解】解：A、根据同角的余角相等，即与相等，故A不符合题意； B、，即与互余，故B不符合题意； C、，即与互补，故C符合题意； D、，即与相等，故D不符合题意． 故选：C． 6. 如图，已知一个正方体展开图的六个面依次书写“勇”“敢”“追”“逐”“梦”“想”，则折叠成正方体后，与“勇”相对的字是（　　） A. 敢 B. 逐 C. 追 D. 想 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方体展开图中相对面的判断，先明确正方体展开图相对面的判断方法，再分析给定展开图中各面位置关系，确定与“勇”相对的面． 【详解】解：依题意，折叠成正方体后，“追”字作为底面，“勇”是后面，“想”是前面， 则与“勇”相对的字是“想”． 故选：D． 7. 如图，点、、在同一直线上，，，点、分别是、中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和与差计算，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先求出线段的总长，再根据线段的中点的定义分别求出、的长，再根据即可求解． 【详解】解：点、、在同一直线上，，， ， 又点、分别是、的中点， ，， ． 故选：B． 8. 将图1中的正方形剪开得到图2，图2 中共有4个正方形；将图2中一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形；将图3中一个正方形剪开得到图4，图4中共有10个正方形；……； 如此下去．则图10中正方形的个数是 ( ) A. 28 B. 29 C. 31 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类．根据图形的变化发现规律即可求解． 【详解】解：图1中的正方形剪开得到图2，图2中共有 个正方形； 将图2中一个正方形剪开得到图3，图3中共有个正方形； 将图3中一个正方形剪开得到图4，图4中共有个正方形； 发现规律： 第n个图中共有正方形的个数为：个， 则第10个图中共有正方形的个数为个． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡指定位置） 9. 东风-，全称为液体洲际战略核导弹，是中国人民解放军装备的射程最远、威力最大的重型洲际战略核导弹，其有效射程超过米．将数据用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 先确定的值为，的值为7，求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若，则代数式的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，原式后两项提取变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11. 当____时，代数式与的值互为相反数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数．根据相反数的定义，代数式与的值互为相反数，即它们的和为零，据此列出方程并求解． 【详解】解：∵与的值互为相反数 ∴． 去括号，得． 合并同类项，得． 移项，得． 系数化为1，得． 故答案为：． 12. 若一个角的度数是，则它的余角的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了余角，解题关键是熟练掌握互余的定义．根据两个角的和是，那么这两个角是互余，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵一个角是， ∴这个角的余角度数为； 故答案为：57°24′． 13. 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿子，就比竿子短5尺．问绳索、竿子各有多长？若设该问题中的竿子长为x尺，则可列方程为____________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．设绳索长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于的一元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳索长 尺，根据题意得 故答案为：． 14. 如图是一款儿童小推车的示意图．若，，，则______°． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ， ，， ， 故答案为：70． 15. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查四边形内角和，长方形的性质，周角、平角的定义，先求出，由折叠的性质得，再根据周角、平角的定义计算即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 故答案为． 16. 如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，在射线旋转一周的过程中，经过____秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 【答案】15或60 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的运用、旋转的性质等知识点，在旋转中把角度表示出来是解答本题的关键． 情况一：如图：，，又，所以，故；情况二：如图：，，所以，故． 【详解】解：情况一，如图： ∴， ∴， 又∵，， ∴，解得：； 情况二，如图： ∴， ， 又∵， ∴，解得：． 综上，在射线旋转一周的过程中，经过15或60秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 故答案为：15或60． 三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答时应在答题卡指定位置写出文字说明，推理过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）直接利用含乘方的有理数混合运算法则计算即可； （2）直接利用有理数乘法运算律进行简便运算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，再代值计算即可得到答案． 【详解】解： ． 当时， 原式． 20. 在如图所示的的方格纸中，每个小正方形的边长为，点A、B、C均为格点（格点是指每个小正方形的顶点）． （1）按下列要求画图： ①标出格点，使，并画出直线； ②标出格点，使，并画出直线； （2）计算的面积为 ； （3）若直线交于点，比较大小；线段 线段（填“”，“”、“”），理由是 ． 【答案】（1）见解析 （2）4 （3），垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线、垂线的作法、三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）①直接利用网格得出的平行线即可；②直接利用网格结合垂线的作法即可解答； （2）割补法以及三角形的面积公式解答即可． （3）根据点到直线的距离垂线最短即可解答． 【小问1详解】 解：①如图：直线即为所求； ②如图：直线即为所求． 【小问2详解】 解：的面积为：． 【小问3详解】 解：∵于点， ∴（垂线段最短）． 故答案为：，垂线段最短． 21. 把下列的推理过程补充完整，并在括号内填上推理的依据： 如图，已知，，平分，证明：． 解：∵平分， ∴＝∠______， ∵， ∴， ∴____________（____________）， ∴（______）， ∵， ∴， ∴（______）． 【答案】；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，等角或同角的补角相等，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线的定义得出，可得，根据平行线的性质得出，根据同角的补角相等，得出，根据平行线的判定定理即可得出． 【详解】解：∵平分， ∴＝， ∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 22. 定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“相反方程”．例如：方程与方程互为“相反方程”． （1）若关于x的方程①：的解是，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是______； （2）若关于x的方程与其“相反方程”的解都是整数，求整数b的值； 【答案】（1） （2）整数b的值为，3 【解析】 【分析】本题主要考查新定义——互为“相反方程”，熟练掌握新定义，一元一次方程定义，一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，整式的化简求值，是解题关键． （1）根据题意得出，代入方程即可确定方程①的“相反方程”是，即可求解； （2）先确定“相反方程”，然后求解方程得出与都为整数，确定，分情况求解即可； 【小问1详解】 解：∵关于的方程①：的解是， ∴， ∴， ∴方程①为， ∴方程①的“相反方程”是， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 关于x的方程的“相反方程”为， 根据相反方程的定义，对于方程，需满足，即， 由得， 由得， ∵关于的方程与其“相反方程”的解都是整数， ∴与都为整数， ∵为整数，且为整数， ∴是的约数，即的值可能为。 ∵为整数， ∴为偶数， ∴， 当时，； 当时，， 综上所述，整数b的值为3，； 23. 某超市第一次用3600元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品80件，乙种商品120件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为30元/件．（注：获利＝售价﹣进价） （1）该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？ （2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？ 【答案】（1）该超市第一次购进甲种商品每件15元，乙种商品每件20元；（2）1600元 【解析】 【分析】（1）设该超市第一次购进甲种商品每件x元，则乙种商品每件（x+5）元，根据总进价为3600元列出方程并求解即可． （2）根据利润等于商品件数乘以每件的利润、总利润等于甲种商品的利润加上乙种商品的利润，列式计算即可． 【详解】解：（1）设该超市第一次购进甲种商品每件x元，则乙种商品每件（x+5）元，由题意得： 80x+120（x+5）＝3600， ∴80x+120x+600＝3600， ∴200x＝3000， ∴x＝15， ∴x+5＝15+5＝20． ∴该超市第一次购进甲种商品每件15元，乙种商品每件20元． （2）由题意得： 80×（20﹣15）+120×（30﹣20） ＝80×5+120×10 ＝400+1200 ＝1600（元）． ∴该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得1600元的利润． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握进价、销售量、利润之间的关系，是中考常考题型，难度适中． 24. 如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论．如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D、O为平面内定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转． （1）如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则______°； （2）如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求度数． （3）第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请求出这个定值． 【答案】（1）90 （2） （3）这个定值为 【解析】 【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的定义，角的和差关系，比例分配，定值问题，通过设元消元，将广播体操动作抽象为几何图形，抓住“三点共线”这一关键，消元得到与变量无关的值是解题的关键． （1）利用平角定义（共线时）及的关系，求出的度数； （2）先根据与的比例关系设未知数，结合平角求出各角的表达式，再利用角平分线性质得到，最后计算； （3）通过设比例中的未知数，用其表示和，代入式子化简验证是否为定值并求出该定值． 【小问1详解】 解：、、三点共线， ， 又点、重合，且， 。 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ∴设， ∵A、O、B三点共线， ， ， ， ， 平分， ， ； 【小问3详解】 解：设， ， ∴设， ， ∵A、O、B三点共线， ， ， ， ，， ∴， ∴的值为定值，这个定值为． 25. 项目式学习 项目主题 测试新款机器人的性能 项目背景 在科技展活动中，某科创小组测试新款机器人的性能 素材1 科创小组为测试新款机器人的性能，他们设置了一条笔直的测试道，在测试道上有B、C两个休整点，如图所示，B距A、D的距离分别为米、米，C与D的距离为米．其中a、b是不为0的实数． 素材2 若，时，机器人在测试道上来回运动，运动规则为机器人到达起点A或终点D时立即按当前运动速度折返，每次运动时间固定为4秒．具体运动过程如下： 第1次从起点出发以v米/秒的速度运动到记录点； 第2次从出发以米/秒的速度运动到记录点； 第3次从出发以米/秒的速度运动到记录点，到达后停止．且机器人的运动速度始终不超过6米/秒． 问题解决 任务1 请用含a、b的代数式表示休整点B、C之间的距离； 任务2 在素材2的基础上，在机器人首次到达终点D前，当记录点N2到起点的距离为12米时，求v的值； 任务3 在素材2的基础上，记录点能恰好为终点D吗？若能，请求出v的值；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：记录点能恰好为终点D时，v的值为或或3或4． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程实际应用、列代数式以及代数式求值等内容，正确理解题意是解题的关键． 任务1：根据解答即可； 任务2：先求出的长，到达终点前的路程为，建立方程求解即可； 任务3：分类讨论，分别当或或恰为终点时，建立方程求解即可． 详解】解：任务1： ； 任务2： ， 当，时，米， 由题意得， 解得； 任务3：若恰好为终点， 由题意得， 解得； 若恰好为终点， 由题意得， 得； 或， 解得，舍去； 若恰好为终点， 由题意得， 解得； 或， 解得； 综上所述，记录点能恰好为终点D时，v的值为或或3或4． 26. 如图1，点O为直线上一点，两个完全相同的直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边在直线上，． （1）将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，则______； （2）将图1中的三角板绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周，此时，三角板不动，请问几秒后所在的直线平分？ （3）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转两周，同时三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后所在的直线平分？ 【答案】（1）150° （2）15秒或35秒时，所在的直线平分 （3）27秒或63秒或99秒时，所在的直线平分 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、角的和差、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）由角的和差可得，由旋转的性质可得，再根据角的和差即可解答； （2）由题意可得：三角板绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周需40秒；然后分两种情况，分别分解旋转的性质以及角平分线的定义求解即可； （3）由题意可得：三角板绕点O按逆时针方向以每秒速度旋转两周，需120秒；然后分当三角板绕点O沿逆时针方向旋转、、三种情况，分别运用旋转的性质、角平分线的定义列一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵三角板绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：三角板绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周，则旋转时间为（秒）． 如图，当旋转至时，平分，则， ∴， ∴，即15秒时，所在的直线平分； 如图，当旋转至时，所在直线平分，交于点E， ∴，即35秒时，所在的直线平分． 综上，15秒或35秒时，所在的直线平分． 【小问3详解】 解：三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转两周，则旋转时间为（秒）， 三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转，旋转的角度为， 设旋转时间为t秒， ①如图：当三角板绕点O沿逆时针方向旋转时，所在的直线平分， ∴，解得：； ②如图：当三角板绕点O沿逆时针方向旋转时，所在的直线平分， ∴，解得：． ③如图：当三角板绕点O沿逆时针方向旋转时，所在的直线平分， ∴，解得：． 综上所述，27秒或63秒或99秒时，所在的直线平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $