寒假预习衔接：长方形和正方形应用题(专项训练)-2025-2026学年三年级下册数学苏教版

寒假预习衔接：长方形和正方形应用题 1．鸭子在河里游泳很轻松，可在岸上行走却很吃力。一只小鸭子想从A点到河对岸的B点去。你能帮它设计一条最短的路线吗？（尽可能使小鸭子在陆地上走的路线最短）    这样设计的理由是： 2．如图，一个长方形被分成了一个大正方形和两个小正方形。 （1）小正方形的边长是2厘米，那么，原来长方形的宽是 厘米，长是 厘米。 （2）如果涂色的小正方形表示10，那么原来长方形表示 。 （3）在图中合适的地方涂色，使它变成一个轴对称图形。 3．玲玲家要把大街边的自来水管接到自己家里，怎样接最省材料？把你的想法画出来。 4．生活中，木工师傅要判断木板的两边是否平行，常常把两把曲尺紧靠木板的两边，然后看看曲尺对应的刻度是否相同，如果相同，就说明木板两边平行。请你根据平行的知识，说一说这样操作的原理。这样的现象我们生活中还有很多，请你想一想，写一写，哪些地方也用到了这个平行的知识？ 5．运动会跳远比赛中，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩，小刚在运动会跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。 （1）用线段画出两次跳远的距离。 （2）你所画的两条线段互相（    ）。（填“垂直”或“平行”） 6．过点A分别画直线l的垂线和平行线。量一量，点A到直线l的距离是多少厘米？ 7．找一张长方形纸折一折再打开，你能让折痕互相垂直或互相平行吗？把你的方法说给同学听。 8．用一张长10厘米，宽6厘米的长方形纸折正方形。最大的正方形的边长是多少厘米？ 9．体育课上，大家分组玩夺宝游戏，工具箱在A点，宝藏在下图的直线上。淘气先拿工具箱再挖宝（不回到原点）。请你画出淘气行走的最近路线，再说说你这样画的理由。 我的理由：①_______________    ②____________ 10．要从幸福小区向小河挖一条通水管道，要使管道最短，应该怎样挖？请你在图上画出来。 11．沭河小区新建了一口水井A，从水井向花坛铺设水管，怎样铺设最近？请你设计一条铺设水管的路线，在图中画出来。 12．战国时期的墨家代表著作《墨经》中有一句话“平，同高也”，这句话描述了平行线的特点。请用合适的方法说明这句话的意思。（说明思考过程） 13．诸城恐龙公园已成为诸城市“城市绿肺”、“森林氧吧”，成为多功能地域级的中国北方最大恐龙文化主题公园，其中的诸城恐龙博物馆与龙立方成为人们科普科研、观光旅游胜地。请按要求画图并解释。 （1）请你画一条从恐龙博物馆到龙立方最近的路。 （2）请你画一条从恐龙博物馆通向小河最近的路，并从数学的角度说明这样画的理由：（    ）。 14．下图是一个长方形，在图中画出一个最大的正方形，这个正方形的边长是多少厘米：在剩下的图形里再画一个最大的正方形，这个正方形的边长是多少厘米。 15．操作。 （1）过A点画出已知直线的平行线和垂线。 （2）先画一画，再量一量。A点到直线的距离是（    ）厘米。取整厘米数。 16．过点A画已知直线的垂线和平行线，并量出点A到已知直线的距离。点A到已知直线的距离（    ）毫米。 17．如图：先过点A作已知直线的平行线，再过A点作已知直线的垂线，并量出A点到这条直线的距离是（    ）毫米。             18．按要求画图，过点A作直线b的垂线，垂足标为D；过点B作直线b的垂线，垂足标为C，图形ABCD是一个（    ）。 19．丽丽周末经常到游泳池里游泳，下图是长方形游泳池的两条边。 （1）请在图中把长方形泳池画完整； （2）丽丽此时位于点0处，如果她想尽快上岸（四条边都是岸边），应该怎么游？请在图上画出游的路线并说明这样画的理由。 20．过点D分别画线段AB和AC的平行线，你有什么发现？ 21．按要求画一画。 （1）有一块三角形的地（如图）。经过A点画出BC边的平行线。 （2）从点A走到BC边，怎样走最近？请你在图中画出来。你画出的两条线位置关系是互相（    ）。 22．明明家要把大街边的自来水管接到自己家里，怎样接材料最省？请画出路线图，并用学过的知识解释为什么这样安排。 23．我会画。 （1）如图，要从东村挖一条水渠与小河相通，要使水渠最短，应该怎样挖？请在图上画出来。 （2）你能用数学知识说一说，你这样画的理由是什么？ 24．如图，点A、B是妙想在立定跳远比赛中两次的脚跟落点，如果你是裁判员，那么应该怎样测量她的立定跳远成绩？ （1）请在图中表示出合理的测量方法。 （2）画出的两条线段的位置关系是互相（    ）。 25．有一块梯形的草坪（如图）。 （1）从C点走到对边AD，怎样走最近？（在图中画一画，并量一量） 点C到AD的距离是（    ）毫米。 （2）过B点，画出CD边的平行线。 26．同学们在公园里划船，从公园西岸的点划到东岸，怎样划船路程最短，请你把最短的路线画出来并说明理由。 27．先经过A点画出已知直线的平行线，再画出点A到已知直线的垂直线段；点A到直线的距离是（　　）厘米。（取整厘米数） 28．淘气在泳池里游泳，现在在A处，你能帮他设计一条最快游上岸的路线吗？在图中画出来。 29．如图，四只小鸡同时发现了一条害虫，于是以同样的速度向害虫跑去，哪只小鸡能吃到害虫？请把它圈出来，并说一说你判断的依据。 30．操作。 （1）请过A点画一条直线，使它与中山路平行。 （2）要从A点修一条路到达中山路，怎样修最短？请在图中画出来。 31．幸福村庄全面贯彻落实关于乡村振兴战略部署要求，推进乡村基础设施建设，助推乡村文化振兴。 （1）画出一条从爱国主义教育基地到文化室最近的路，这样画的理由是： （2）幸福村计划在幸福大道建一个离爱国主义教育基地最近的公交车站，你认为建在哪里最合适？请画一画并用“▲”标记出来。 32． （1）上图中，哪几条线段的长度是相等的？ （2）A和B两条直线是平行的吗？ （3）两条平行线之间的距离有什么特点？ 33．小兔和小狗分别从A点和B点同时向房子跑去。 （1）如果它们的速度相同，你觉得（    ）先到达。 （2）请写出你的理由。 34．（1）过点A画已知直线L的垂线和平行线。 （2）量出点A到直线L的距离是（    ）厘米。 35．如下图，木材加工厂要修一条水泥路与公路相连，你认为怎样修最省钱？在图中画出来，并说明你的理由。 36．护士阿姨从药房去病房送药，有两条路可以走（如图）。她走哪条路比较近？要走多少米？ 37．三（1）班劳动基地是一个长10米，宽8米的长方形菜地，同学们计划用篱笆围菜地，靠围墙一面不围，（如图）至少要准备多少米长的篱笆？ 38．下面是学校平面图的一部分，其中地下有一根水管经过A点，并与图中的下水道平行。 （1）请在图中画一条直线用来表示这根水管。 （2）图中A点有一个水龙头，现在要从此处挖一条排水 沟连接到下水道，应怎样挖才能使其长度最短？（请在图中画一条线段用来表示排水沟） （3）请你量一量，算一算，你设计的这条排水沟的实际长度是多少米？ 39．兰兰在泳池B处游泳，突然感觉身体不舒服，急忙向妈妈呼救。 （1）画出妈妈从A点出发帮助兰兰的最短路线。 这样画的理由是______。 （2）画出妈妈到达B点后，带着兰兰离开泳池的最短路线。 这样画的理由是______。 40．如图，乐乐、明明、丽丽家在同一条直线上，现在要经过公园修一条自来水管道，使他们三家到这条自来水管道的距离都相等，应该怎样修？ 41．一只鸭子从点A处游到河的对岸，怎么游路线最短？请在图中画出最短路线。 说一说这样画的理由：_______________________________________。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．图见详解；这样设计的理由是：因为小鸭子在岸上行走很吃力，所以在岸上走的路程要尽量短。因为从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段的长度最短，所以分别从A、B两点作到岸边的垂线，这时小鸭子在岸上走的路线最短，因为两点之间线段最短，所以在河里的路线就是连接岸边两个垂足的线段。 【分析】两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。点到直线的距离，垂线段最短，据此解答。 【详解】如图所示：    这样设计的理由是：因为小鸭子在岸上行走很吃力，所以在岸上走的路程要尽量短。因为从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段的长度最短，所以分别从A、B两点作到岸边的垂线，这时小鸭子在岸上走的路线最短，因为两点之间线段最短，所以在河里的路线就是连接岸边两个垂足的线段。 【点睛】本题考查最短路线问题，熟练掌握过直线外一点作直线的垂线的方法是解答本题的关键。 2．（1）4；6； （2）60； （3）见详解 【分析】（1）观察图，结合题意可知：长方形的宽是小正方形的边长的2倍，也是大正方形的边长，用2×2即可求出长方形的宽。长方形的长是大正方形的边长加小正方形的边长，也是小正方形边长的3倍； （2）观察图可知：长方形的宽上可以摆2个小正方形，长方形的长上可以摆3个小正方形，整个长方形可以摆6个小方形，用6×10即可解答； （3）如果一个图形沿着一条直线对折，左右两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。据此涂色即可。 【详解】（1）2×2＝4（厘米） 2×3＝6（厘米） 所以，小正方形的边长是2厘米，那么原来长方形的宽是4厘米，长是6厘米。 （2）6×10＝60 如果涂色的小正方形表示10，那么原来长方形表示60。 （3）在图中合适的地方涂色，使它变成一个轴对称图形。如图： 3．见详解 【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。据此过玲玲家这点作自来水管道这条直线的垂线段即可，沿着这条垂线段接自来水管最省材料。 【详解】过玲玲家这点作自来水管道这条直线的垂线段，如下： 答：如图，沿着这条垂线段接自来水管最省材料。 【点睛】根据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；由此解答即可。 4．见详解 【分析】平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；平行线之间的距离处处相等；据此解答。 【详解】答：操作的原理：平行线之间的距离处处相等，生活中还有：墙壁上挂相框，相框的上边拉了两条绳子，如果这两条绳子的长度相等，那么这个相框就与墙壁平行。（生活中用到的答案不唯一） 5．（1）见详解 （2）平行 【分析】（1）把起跳线看作一条直线，跳到的位置看作一个点，画出点到直线的距离，就是两次跳远的距离； （2）根据在同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可知所画的两条线段互相平行。 【详解】 （1）如图： （2）所画的两条线段互相平行。 6．画图见详解；2厘米 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。 依此画图并根据长度的测量方法，直接测量出点A到直线l的距离即可。 【详解】画图如下： 答：点A到直线l的距离是2厘米。 【点睛】此题考查的是过直线外一点作垂线、画平行线，以及点到直线的距离，熟练掌握垂直与平行的特点，是解答此题的关键。 7．见详解 【分析】长方形相邻的两条边是互相垂直的。把一张长方形纸沿着同一个方向连续对折几次，所得的折痕是互相平行的；先把这个长方形沿着长对折一次，再沿着宽对折一次，此时的折痕是互相垂直的。 【详解】答：可以让折痕互相平行或互相垂直，沿着同一个方向连续对折几次，折痕互相平行；沿着长对折一次，再沿着宽对折一次，折痕是互相垂直的。 8．6 【分析】在长10厘米，宽6厘米的长方形纸中折正方形，以长方形的宽6厘米作为正方形的边长，这样折出来的正方形是最大的。 【详解】如图所示：    最大的正方形的边长是6厘米。 【点睛】本题主要考查正方形和长方形的特点，在长方形中以宽作为边折出的正方形最大，熟练掌握即可。 9．图见详解 ①两点间线段最短；②点到直线距离，垂线段最短 【分析】淘气拿工具箱时行走的最近路线：直接连接淘气所在的位置与A点，此线段就是最短距离；两点间线段最短。 淘气拿着工具箱去挖宝行走的最近路线：过A点作图中直线的垂线段，此垂线段就是最短距离；点到直线距离，垂线段最短。 【详解】 我的理由：①两点间线段最短。    ②点到直线距离，垂线段最短。 10．从幸福小区到小河作垂线段；画图见详解 【分析】根据从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，要从幸福小区向小河挖一条通水管道，要使管道最短，就要从幸福小区到小河作垂线段。 【详解】要使管道最短，就要从幸福小区到小河作垂线段；画图如下： 【点睛】本题考查了学生对垂线段最短的掌握情况，同时检查了学生的作图能力，及利用数学知识解决实际问题的能力。注意垂线段最短。 11．见详解 【分析】根据垂线段最短，画出垂线段即可。 【详解】 【点睛】熟悉垂线段最短的知识，是解答此题的关键。 12．见详解 【分析】“平，同高也”这句话的意思是，平行线是处于同一高度，即它们之间的距离处处相等。平行线的特点是同一平面内永不相交的两条直线，它们之间的距离处处相等。 第一步，理解题目中的“平，同高也”这句话。这句话的意思是，平行线是处于同一高度，即它们之间的距离处处相等。 第二步，解释平行线的特点。平行线是同一平面内永不相交的两条直线，它们之间的距离处处相等，据此解答即可。 【详解】“平，同高也”这句话的意思是，平行线是处于同一高度，即它们之间的距离处处相等。平行线的特点是同一平面内永不相交的两条直线，它们之间的距离处处相等，即平行线之间的距离处处相等。 13．（1）（2）见详解 【分析】（1）根据两点之间线段最短，直接用线段连接恐龙博物馆和龙立方即可得出最近的路； （2）根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。把小河看作一条直线，恐龙博物馆看作一个点，由点向直线画垂直线段即可。 【详解】（1）一条从恐龙博物馆到龙立方最近的路。作图如下： （2）一条从恐龙博物馆通向小河最近的路。作图如下：这样画的理由：垂线段最短。 【点睛】熟练掌握两点之间，线段最短和垂线段最短的知识，是解答此题的关键。 14．6厘米；2厘米；（图见详解） 【分析】根据题意可知在下图的长方形中画出一个最大的正方形，那么这个正方形的边长就是长方形的宽。在剩下的图形里再画一个最大的正方形，剩下图形是一个小长方形长为6厘米，宽为2厘米，最大正方形的边长就是小长方形的宽。 【详解】 如图： 由分析可知，在图中画出一个最大的正方形，这个正方形的边长是6厘米：在剩下的图形里再画一个最大的正方形，8－6＝2（厘米），这个正方形的边长是2厘米。 【点睛】此题考查学生对正方形、长方形特征的认识以及区分。 15．（1）画图见详解； （2）3 【分析】（1）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 （2）点A到垂足的线段的长度，就是点A到直线的距离；直尺上1个大格是1厘米，因此用0刻度线对准线段的首端，线段的末端指向第多少个大格，则线段就长多少厘米，依此测量。 【详解】（1）画图如下： （2）经过测量可知，A点到直线的距离是3厘米。 16．见详解 【分析】平行线的画法：固定三角尺，使其一条直角边和已知直线重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，使点A位于该直角边上，沿着这条直角边再画出另一条直线，这条直线就是已知直线的平行线；过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与已知直线重合，让三角尺的另一条直角边通过点A，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线，根据长度的测量方法：用直尺的“0”刻度线和线段的一个端点重合，另一个端点在直尺上的刻度，就是点A到已知直线的距离。 【详解】 20毫米 过点A画已知直线的垂线和平行线，并量出点A到已知直线的距离。点A到已知直线的距离20毫米。 17．画图见详解；17 【分析】过直线外一点作已知直线的平行线的方法是：把三角板的一边与已知直线重合，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线，这条直线就与已知直线平行； 过直线外一点作已知直线的垂线的方法是：把三角板的一直角边与已知直线重合，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过已知点时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过直线外一点的这条直线的垂线； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此用直尺量出A点到这条直线的距离是多少毫米。 【详解】画图如下： 经过测量可知：A点到这条直线的距离是17毫米。 【点睛】本题考查了平行线和垂线的作法，培养了学生的作图能力。 18．图见详解过程；长方形 【分析】把三角板的一条直角边与已知直线b重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和点A（点B）重合，过点A（点B）沿三角板的直角边，向已知直线b画直线，垂足记作D（C）；然后再判断图形ABCD是一个什么图形即可。 【详解】据分析作图如下： 图形ABCD是一个长方形。 19．（1）、（2）均见详解 【分析】（1）长方形的两组对边分别相互平行，两组对边分别相等，四个角都是直角；依此画图。 （2）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。 【详解】 理由：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。 【点睛】此题考查的是画长方形，以及过直线外一点画垂线，应熟练掌握。 20．见详解 【分析】根据过直线外一点画平行线的方法，用直角三角板的一条直角边分别与AB、AC对齐，直尺对齐另一条直角边，移动三角板至D点，再分别画出平行线即可。 【详解】过点D分别画线段AB和AC的平行线，如下： 答：我发现：过直线外一点作已知直线的平行线，只能画一条。 【点睛】根据平行线的特征可以知道，过直线外一点作作已知直线的平行线，只能作一条。 21．（1）图见详解；（2）图见详解；垂直 【分析】（1）过直线外一点，画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成。 1、把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2、用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺。 3、平移后，使直线外的点在三角尺的一条直角边（刚才与已知直线重合的那一条直角边）上，沿直角边画出另一条直线。 这条直线就是已知直线的平行线。 （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。通过观察图可知画出的两条线位置关系是互相垂直。 【详解】（1）有一块三角形的地（如图）。经过A点画出BC边的平行线。 （2）从点A走到BC边，怎样走最近？请你在图中画出来。你画出的两条线位置关系是互相（垂直）。 22．作图见详解 因为直线外一点到与直线上任意一点的连线中，垂直线段最短。 【分析】要使材料最省，则要使从明明家这一点连接自来水管道的连线最短，根据直线外一点到直线的距离可知：直线外一点与直线上任意一点的连线中，垂直线段最短；所以，从明明家这一点向自来水管道这条直线作垂直线段，就是接材料的路线；根据过直线外一点向已知直线作垂线的方法，用三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边与直线外一点重合，从这一点沿直角边向已知直线作线段即可。据此解答。 【详解】根据分析，作图如下： 因为直线外一点到与直线上任意一点的连线中，垂直线段最短。 23．（1）见详解； （2）点到直线的距离，重线段最短。 【分析】（1）从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。据此过东村这点作小河这条直线的垂线段即可。 （2）根据垂直的性质说说这样画的理由即可。 【详解】（1）根据分析，过东村这点作小河这条直线的垂线段，如下： （2）我这样画的理由是：点到直线的距离，重线段最短。 【点睛】根据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；由此解答即可。 24．（1）见详解；（2）平行 【分析】（1）立定跳远的成绩应该测量脚跟落点到起跳线的距离，也就是从脚跟落点向起跳线作垂线段，测量垂线段的长度即是立定跳远的成绩。 （2）垂直于同一直线的两条线段互相平行。据此解答即可。 【详解】（1）如图： （2）画出的两条线段的位置关系是互相平行。 25．见详解 【分析】（1）直线外一点到直线的距离，垂线段最短，故做点C到线段AD的垂线段，再测量即可。 （2）画线段CD的垂线，用三角尺的直角边一边与CD的垂线重合，另一边画过点B的直线，这条直线就是CD的平行线。 【详解】 （1）经测量点C到AD的距离是20毫米。 【点睛】熟练掌握过已知直线外一点画直线的平行线与垂线是解答本题的关键。 26．见详解 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。依此画图即可。 【详解】如下图所示 点到直线的距离，垂线段最短。 【点睛】此题考查的是通过直线外一点画已知直线的垂线，熟练掌握垂直的特点是解答此题的关键。 27．图见详解；2 【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可； （2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可； （3）利用刻度尺测量出点A与垂足之间的线段的长度，就是点A到直线的距离。 【详解】如图所示： 点A到直线的距离是2厘米。 【点睛】本题考查了学生平行线和垂线的作法，培养学生的作图能力。 28．见详解 【分析】在直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短；观察图意可知，要求一条最快游上岸的路线，则从A点向泳池上方的长边作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】根据分析可得； 29．见详解 【分析】两点之间所有连线中线段最短，从直线外一点到直线所画的线段中垂线段最短；根据所有小鸡到害虫的距离，以同样的速度，哪只小鸡与害虫的距离越短，哪只小鸡就能吃到害虫，找出小鸡到害虫的线段与四只小鸡的出发线成直角的垂线段即可。 【详解】根据分析，观察图片可知，从右数第二只小鸡到害虫的距离线段与小鸡的出发线成直角，所以这只小鸡能吃到害虫。 垂线段最短。 30．（1）见详解 （2）沿着过A点到中山路的垂线段修最短；画图见详解 【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可； （2）直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，画A点到中山路的垂线段，沿垂线段修路最短。 【详解】（1）画图如下： （2）由分析知，画A点到中山路的垂线段，沿垂线段修路最短。画图如下： 31．（1）两点之间的所有连线中，线段最短；图见详解 （2）从爱国主义教育基地作幸福大道的垂线，垂足位置设公交车站最合适；图见详解 【分析】（1）两点之间，线段最短，用线段将爱国主义教育基地和文化室连接起来即可； （2）直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短；过直线外一点做已知直线垂线的方法：过直线外一点做已知直线垂线的方法：①让三角尺的一条直角边和已知直线重合；②移动三角尺让直线外一点落在另一条直角边上，然后从这点向已知直线引一条垂线，据此解答。 【详解】（1）根据解析可知，两点之间的所有连线中，线段最短；如下图： （2）根据解析可知，从爱国主义教育基地作幸福大道的垂线，垂足位置设公交车站最合适；如下图： 32．（1）b，c，e；（2）平行；（3）相等 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离。平行线之间的距离处处相等。 【详解】（1）根据平行线的特征可知，线段b、c、e的长度相等。 （2）根据平行线的定义可知，直线A与直线B是平行的。 （3）两条平行线之间的距离是相等的。 【点睛】此题主要考查了垂直与平行的特征及性质。 33．（1）小狗 （2）因为从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短，即B点到小房子的距离比A点到房子的距离短，所以小狗先到达。 【分析】（1）观察发现A点和B点在同一条直线上，从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离； （2）根据点到直线的垂直线段最短这个概念说明理由，合理即可；据此解答。 【详解】根据分析： （1）如果它们的速度相同，你觉得小狗先到达。 （2）答：因为从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短，即B点到小房子的距离比A点到房子的距离短，所以小狗先到达。 34．（1）图见详解；（2）2 【分析】（1）过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线； 过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。 （2）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫这点到这条直线的距离。这个点与垂足之间的线段叫做垂线段。点A到直线L的垂线段的长度即为点A到直线L的距离，测量出这条垂线段的长度即可解答。 【详解】 （1） （2）经测量，点A到直线L的距离是2厘米。 35．见详解 【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短。据此过木材加工厂这点作公路这条直线的垂线段即可。 【详解】根据分析，过木材加工厂这点作公路这条直线的垂线段，如下： 理由：因为从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；所以这样修最省钱。 【点睛】根据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；由此解答即可。 36．她走两条路一样近；要走100米 【分析】长方形的两组对边分别相等，观察上图，路线①和路线②的长度相等，用70加上30，即可求出要走多少米。 【详解】70＋30＝100（米） 答：她走两条路一样近；要走100米。 37．26米 【分析】根据题意，要使准备的篱笆最短，则将长方形菜地的长边靠墙，此时需要的篱笆长度为菜地的两条宽加上一条长，据此代入数字即可计算出至少要准备多少米长的篱笆。 【详解】10＋8×2 ＝10＋16 ＝26（米） 答：至少要准备26米长的篱笆。 38．（1）见详解 （2）见详解 （3）600米 【分析】（1）经过A点作下水道的平行线； （2）经过A点作下水道的垂线； （3）每厘米代表的长度200米×数量＝实际总长度。 【详解】（1）如图： （2）如图： （3）经过测量A点到下水道的距离是3厘米，如果图上距离1厘米代表实际距离200米，那么这条排水沟的实际长度是： 3×200＝600（米） 答：这条排水沟的实际长度是600米。 【点睛】本题考查过直线外一点作已知直线的平行线的方法，点到直线的距离是一道综合题，需要认真解答。 39．（1）见详解；两点之间线段最短。   （2）见详解；从一个点到一条直线的最短路径是这点到直线的垂线。 【分析】（1）妈妈从A点到B点的最短路线就是直接画线段AB。理由：因为在平面上两点之间，线段最短。   （2）妈妈到达B点后，带着兰兰离开泳池的最短路线是从B点向泳池边界作垂线，直接到达池边。理由：因为从一个点到一条直线的最短路径是这点到直线的垂线。 【详解】（1）妈妈从A点出发帮助兰兰的最短路线如下： 理由：因为在平面上两点之间，线段最短。   （2）妈妈到达B点后，带着兰兰离开泳池的最短路线如下： 理由：因为从一个点到一条直线的最短路径是这点到直线的垂线。 40．使乐乐、明明、丽丽三家到这条自来水管道的距离都相等，则根据平行线间的垂线段处处相等可知这条自来水管道应经过公园且修在和他们三家在同一条直线的平行线上。 【分析】根据平行线间的垂线段处处相等，这些垂线段的长度叫做这两条平行线之间的距离解答。 【详解】由分析知，应修在和他们三家在同一条直线的平行线上。 答：这条自来水管道应经过公园且在他们三家在同一条直线的平行线上。 41．图见详解； 直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 【分析】直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 【详解】 说一说这样画的理由：直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $