第四章三角形单元测试卷 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第四章三角形单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(每题3分,共30分) 1．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（    ） A．1，1，2 B．1，1，3 C．2，2，6 D．1，2，2 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系．结合等腰三角形的定义与三角形三边关系，逐一判断各选项是否能构成等腰三角形． 【详解】解：A、，不满足三边关系，∴无法构成三角形，该选项不符合题意； B、，不满足三边关系，∴无法构成三角形，该选项不符合题意； C、，不满足三边关系，∴无法构成三角形，该选项不符合题意； D、有两边长为2，符合等腰三角形定义，且，满足三边关系，∴可构成等腰三角形，该选项符合题意； 故选：D． 2．图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 【详解】解：如图， 图中三角形为、、、、、共个． 故选：B． 3．已知等腰三角形的两边长为和，这个三角形周长是（   ）cm A．16 B．20 C．16或20 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 等腰三角形有两边相等，需分情况讨论并验证三角形三边关系. 【详解】解：当腰为时， ∵， ∴该三边无法构成三角形，该种情况舍去； 当腰为时， ， 满足三边关系， 周长为， 故选：B． 4．在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如图），使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的（   ）的交点处 A．三条角平分线 B．三条中线 C．三条高 D．三条边的垂直平分线 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的定义．根据重心的定义，找到三角形三条中线的交点，即可求解． 【详解】解：依题意，这个塔尖应该放在三角形薄板的三条中线的交点处 故选：B． 5．如图，已知且，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，关键是先由平行线性质得到一组角相等，再结合各选项条件判断是否符合全等判定定理．已知且，根据“两直线平行，同位角相等”可得，接下来分析各选项即可． 【详解】解：， ， 又， 对于选项A：添加，此时满足，，，属于，无法判定； 对于选项B：添加， 在和中，， ； 对于选项C：添加， ， ， 在和中，， ； 对于选项D：添加， 在和中，， ； 故选：A． 6．根据下列已知条件，能唯一画出的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和确定三角形的条件是解题的关键，根据三角形的三边关系对各项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，此项错误，不符合题意； B、已知两角夹边，三角形即可确定，此项正确，符合题意； C、边边角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； D、两角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； 故选：B． 7．如图，点E，F在上，，，增加下列一个条件：①；②；③；④，其中能判定的条件个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等． 由题意易得，然后可根据全等三角形的判定定理进行排除选项． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当添加时，则可根据“”判定； 当添加时，则有，即，所以根据“”判定； 当添加时，不能判定； 当添加时，则可根据“”判定； 综上符合条件的有①②④，共3个． 故选C． 8．如图，下列条件中，不能证明的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，，再加上公共边可利用定理判定，故此选项不合题意； B、，再加上公共边可利用定理判定，故此选项不合题意； C、，再加上公共边，没有定理判定，故此选项符合题意； D、，再加上公共边，可利用定理判定，故此选项不合题意； 故选：C． 9．如图，在中，，，，，是的角平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．4.8 B．7 C． D．2.4 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积．过点C作于点E，在上取一点，使，连接，，证明，得到，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点E，在上取一点，使，连接，，如图， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小，根据垂线段最短可得最小，即最小值为的长， ∵在中，，，，， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 10．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，线段与x轴正半轴的夹角为，是坐标轴上的动点，且满足为等腰三角形，点的可能位置共有（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的定义和性质，分类讨论，是解题关键． 为等腰三角形，但没有说明哪条边为腰，故分三类讨论，确定点P的位置，问题得解． 【详解】解：当时，如图，共有4个点符合条件； 当时，如图，共有2个点符合条件； 当时，如图，共有2个点符合条件； ∴符合条件的点有个． 故选：D． 二、填空题(每题3分,共18分) 1．已知三角形三边分别是1，2，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解，即可解题． 【详解】解：由三角形三边关系定理，得：， 整理得； 故答案为：． 2．如图，，交于点，点是的中点，请添加一个条件： 使． 【答案】（或或或） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴当添加时，由可判定； 当添加时，由可判定； 当添加时，由可判定； 当添加时，可得，，由或可判定； 故答案为：（或或或）． 3．如图，是的边上一点，交于，，，若，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证三角形全等是解题的关键．先证，得出，然后根据求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：10. 4．如图，已知：G是的重心，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，三角形的中线的性质，根据G是的重心，得出是的中线，可得，根据重心的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵G是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，，延长至点D使得，在下方作于点D，连接交于点F．若，，，则四边形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】证明，根据面积转化即可求解． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，掌握全等三角形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴, 在和中， ∴， , , ． 故答案为：． 6．如图，在中，平分于点P．已知阴影部分的面积为，求点A到所在直线的最短距离 ． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质，遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键． 延长交于，过作，证明，利用三角形的中线的性质可得，再利用面积公式求得即可求解． 【详解】解：延长交于，过作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积， 解得， 又，解得， 点A到所在直线的最短距离． 故答案为：． 三、解答题(每题9分,共72分) 1．如图，与相交于点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，关键是找到、所在的全等三角形．通过角的和运算得到，结合公共边和，利用判定，从而推出． 【详解】证明：∵，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． 2．如图，已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先根据“边边边”证明，再根据全等三角形的对应角相等得出答案． 【详解】解：连接， 在和中， ， ∴， （全等三角形的对应角相等）． 3．如图，，，，求证∶ ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据证明即可得到． 【详解】证明：∵， ∴, ∴， ∵， ∴ ∴． 4．已知a、b、c是的三边，a、b使等式成立，且c是偶数，求的周长． 【答案】10 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，三角形三边关系． 根据完全平方公式将原式转化为，根据非负数的性质求出，，根据三角形三边关系得到，进而可知，即可求出的周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵a、b、c是的三边， ∴， ∴， ∵c是偶数， ∴， 故的周长为：． 5．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，关键是全等三角形的判定； （1）通过三角形外角的性质论证，进而论证两三角形全等； （2）根据全等三角形的性质得到，，进而得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ， ， 在与中，， ； （2）解：， ，， ，， ． 6．如图，在中，，于点，于点，与交于点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确寻找证明三角形全等的条件是解答本题的关键． （1）根据等角对等边可得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据等面积法可求出，然后结合（1）的结论求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ． ，，， ，． 在和中， ， ； （2）解：，， ． 由（1）可知． ， 在中，， ． 由（1），可知， ． 7．【学习概念】 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角．如图①，是的外角，那么与，之间有什么关系呢？ 分析：因为，， 所以． 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (1)【问题探究】 （1）如图②，已知，且，则_______； （2）如图③，已知，且，则当的度数为多少时，？请说明理由； (2)【应用结论】 （3）如图④，，，，，请说明：； (3)【拓展应用】 （4）如图⑤，四边形中，，平分，，，．求的长． 【答案】（1）；（2）当时，，见解析；（3）见解析；（4） 【分析】（1）由邻补角互补可知，由三角形外角的性质可知，等量代换得，进而可证； （2）当时，，证法同（1）； （3）证明，可得，进而可证； （4）在上取一点使，由角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，然后可证，进而可得． 【详解】（1）（1）解：， ， ， ， 在和中， ， 故答案为：. （2）解：当时，．理由如下： 因为， 所以，． 因为， 所以． 在和中， 所以． 故当时，． （2）（3）解：因为，， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 在和中， 所以， 所以，， 所以． （3）（4）解：如图，在上取一点，使得， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 因为，， 所以． 因为，， 所以． 在与中， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，解题的关键是熟知全等三角形的性质与判定定理． 8．（1）【问题初探】在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题： 如图1，在中，高，交于点F，且，试说明与有怎样的数量关系． 小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证，从而得出．小明判定的依据可能是_______（填序号）． ①SSS    ②AAS    ③HL    ④SAS （2）【引导发现】李老师看同学们的兴致很高，又出了一道题： 如图2，在中，，，平分，交的延长线于点E． ①填空：的度数为_______； ②判断线段与的数量关系，并写出证明过程． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，，点D在线段上，交的延长线于点E，交于点F，且，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）② （2）①；②，证明见解析 （3） 【分析】（1）根据题意易得、根据余角的性质得到，进而证得，据此解答即可； （2）①根据角平分线的性质得到，根据余角的性质得到； ②如图，延长交的延长线于点M，得到，进而得到，证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到； （3）过点D作，交的延长线于点G，与交于点H，根据题意得到及 ，进而证得，进而得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到． 【详解】（1）解：高，交于点F， 、 在和中 故答案为：②； （2）①解：，，平分， 、 故答案为：； ②，证明过程如下： 证明：如图，延长交的延长线于点M， 在和中 平分 在和中 ； （3）解：，理由如下： 如图，过点D作，交的延长线于点G，与交于点H， 、 、 ， 在和中 在和中 ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第四章三角形单元测试卷 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（每题3分，共30分） 1.以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是() A.1,1,2 B.1,1,3 C.2,2,6 D.1,2,2 2.图中共有()个三角形. A.5 B.6 C.7 D.8 3.已知等腰三角形的两边长为4cm和8cm,这个三角形周长是()cm A.16 B.20 C.16或20 D.不确定 4.在一次飞行器的展览中需要将一块三角形匀质的机翼薄板顶在一个圆锥形的塔尖上（如 图)，使其能够在塔尖上保持平衡，这个塔尖应该放在三角形薄板的()的交点处 A.三条角平分线 B.三条中线 C.三条高 D.三条边的垂直平分线 5.如图，已知AB=DE且AB∥DE,那么添加下列一个条件后，仍无法判定 △ABC≌△DEF的是() A.AC=DF B.∠A=∠D C.BF=EC D.BC=EF 6.根据下列己知条件，能唯一画出ABC的是() A.AB=3,BC=4,CA=8 B.∠A=60°，∠B=45°，AB=4 试卷第1页，共3页 C.AB=4,BC=3,∠A=30° D.∠C=90°，∠B=45 7.如图，点E,F在AD上，AB∥CD,AB=CD,增加下列一个条件：①∠B=∠C;② AE=DF;③BF=CE;④LAFB=∠DEC,其中能判定△ABF≌△DCE的条件个数有() B E SD A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是() A.BD=DC,AB=AC B.∠ADB=∠ADC,∠BAD=∠CAD C.ZB=ZC,AB=AC D.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,AB=10,BD是∠ABC的角平 分线，若点P、Q分别是BD和BC上的动点，则PC+PQ的最小值是() D A.4.8 B.7 c.20 D.2.4 10.如图，在平面直角坐标系中，O是原点，线段OA与x轴正半轴的夹角为80°，P是坐 标轴上的动点，且满足aOAP为等腰三角形，点P的可能位置共有()个， A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题（每题3分，共18分） 1.己知三角形三边分别是1,2，x,则x的取值范围是 2.如图，AB,EF交于点D,点D是AB的中点，请添加一个条件： 使 试卷第1页，共3页 △BDF≌△ADE, A D E 3.如图，D是ABC的边AB上一点，DF交AC于E,DE=EF,FC∥AB,若 BD=3,CF=7,则AB=一 D 4.如图，已知：G是ABC的重心，S△c=12,那么SAGm=一 5.如图，在ABC中，∠ABC=90°，延长BA至点D使得BD=BC,在BD下方作 DE1BD于点D,连接E交4C于点R、若DE=AB,BF=2,CF-4,则四边形 ADEF的面积为 6.如图，在ABC中，CP平分∠ACB,AP⊥CP于点P.己知阴影部分的面积为4，BC=6, 求点A到BC所在直线的最短距离」 试卷第1页，共3页 A B 三、解答题（每题9分，共72分） 1.如图，AC与BD相交于点E,∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD D 2.如图，已知AB=CD,AD=BC,求证：∠A=∠C. D B 3.如图，AC=AB,AE=AD,∠CAB=∠EAD,求证：CE=BD. 4.已知a、b、c是ABC的三边，a、b使等式a2+b2-4a-8b+20=0成立，且c是偶数， 求ABC的周长 5.如图，在ABC中，∠ADE=∠B=∠C,点D在边BC上，点E在边AC上，连接AD, DE,AD=DE. (I)求证：△ABD≌△DCE: 试卷第1页，共3页 (2)若CE=3,AB=5,求BC的长. 6.如图，在ABC中，∠BAC=45°，BD⊥AC于点D,AE⊥BC于点E,AE与BD交于 点M. B (I)求证：AM=BC. (2)若BC=5,CD=3,AD=4,求ME的长， 7【学习概念】 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角叫做三角形的外角.如图①，∠ACD 是△AOC的外角，那么∠ACD与∠A,∠0之间有什么关系呢？ 分析：因为LACD=180°-∠AC0,∠A+∠0=180°-∠AC0, 所以∠ACD=∠A+∠0. 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. ()【问题探究】 (1)如图②，已知∠A0B=∠ACP=∠BDP=60°，且A0=B0,则△A0C≌△ (2)如图③，已知∠ACP=∠BDP=45°，且A0=B0,则当∠AOB的度数为多少时， △AOC≌AOBD?请说明理由； (2)【应用结论】 (3)如图④，∠A0B=90°，OA=0B，,AC⊥OP,BD⊥OP,请说明：AC=CD+BD; (3)【拓展应用】 (4)如图⑤，四边形ABCD中，AB=BC,DB平分∠ADC,AE∥CD, LABC+∠AEB=I80°，EB=5.求CD的长. 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 试卷第1页，共3页 8.(1)【问题初探】在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题： 图1 图2 图3 如图I,在ABC中，高BD,CE交于点F,且BD=CD,试说明FC与AB有怎样的数量 关系 小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证△ABD≌△FCD,从而得出 FC=AB.小明判定△ABD≌△FCD的依据可能是 (填序号). ①SSS ②AAS③HL④SAS (2)【引导发现】李老师看同学们的兴致很高，又出了一道题： 如图2，在ABC中，AB=AC,∠A=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD交CD的延长线于 点E. ①填空：∠ABE的度数为 ； ②判断线段BE与CD的数量关系，并写出证明过程， (3)【拓展延伸】如图3，在ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D在线段BC上， BE⊥DF交DF的延长线于点E,交AB于点F,且∠ABE=∠EDB,请直接写出BE和DF的 数量关系。 试卷第1页，共3页