12.第三单元 第12讲 二次函数的综合应用-【学本课堂】2026年重庆中考数学精讲本配套课件

第三单元　函数　 第12讲　二次函数的综合应用 2026重庆数学 《学本课堂》 目 录 1 回归教材∙依标扣本 2 基础自查∙巩固素养 3 综合思考∙提升素养 4 创新实践∙展示素养 课标 要求 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 2.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 知识 导图 首页 目录 01 回归教材∙依标扣本 二次函数的综合应用 二次 函数 的 综 合 应 用 模型 (1)自变量的取值范围是全体实数，函数在顶点处取最值； (2)x1≤x≤x2：当－ 在x1，x2之间时，函数最值在 ① ⁠处取得； 当－ 不在x1，x2之间时，函数最值为② 或 ③ ⁠对应的函数值 顶点　 x1　 x2　 此升彼降(单价升，销量降；单价降，销量升) 总利润＝单件利润×总销售量 类型 (1)最大利润 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 二 次 函 数 的 综 合 应 用 类型 (2)最大 面积 方法：相似三角形对应高之比 等于相似比 　 方法：相似三角形 关键：用一个量 表示另一个量 (3)拱桥问题 　(隧道问题) 汽车能否通过(设车宽为x，求出y的值， 再与车高做比较) (4)线段最值问题：线段和最小、差最大， 　周长最小(三角形、四边形)　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 二 次 函 数 的 综 合 应 用 类型 (5)动点 问题 AB为边(如图1) AB为对角线(如图2) 构成“△≌△，△∽△，Rt△，等腰△” 构成 四边形 已知A， B两点 已知A，B，C三点(如图3) 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 02 基础自查∙巩固素养 回顾性质 1. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于两点(－1， 0)，(x1，0)，且2＜x1＜3.下列结论：①abc＞0；②2a＋c＜0；③4a －b＋2c＜0；④若m和n是关于x的一元二次方程a(x＋1)(x－x1)＋c ＝0(a≠0)的两根，且m＜n，则m＜－1，n＞2；⑤关于x的不等式 ax2＋bx＋c＞－ x＋c(a≠0)的解集为0＜x＜x1. 其中正确结论的个数是(　B　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第1题图 B 首页 目录 素养一 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 2. 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象 与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函 数的结论正确的是(　D　) A. 图象的开口向下 B. 当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C. 函数的最小值小于－3 D. 当x＝2时，y＜0 D 首页 目录 素养一 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 3. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和 光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x＜1 000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1 000) 内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列 结论正确的是(　B　) B A. 当x≥1 000时，y随x的增大而减小 B. 当x＝2 000时，y有最大值 C. 当y≥0.6时，x≥1 000 D. 当y＝0.4时，x＝600 第3题图 首页 目录 素养一 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 03 综合思考∙提升素养 建模应用：二次函数的实际应用 1. (2024∙西附)如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数 表达式为y＝－ x2＋10，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水 面AB高为8米的点E，F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水 平距离EF为 米. 10　 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 素养二 2. (2023∙綦江区)冬天来临，气候寒冷，市场上保暖产品热销.綦江区某 商场提前谋划，从10月中旬开始销售一种每件进价为50元的保暖内衣， 物价部门规定每件保暖内衣售价不得高于80元，商场销售部负责人通过 对销售数据的分析，发现这种保暖内衣每月的销售量y(件)与每件的售 价x(元)满足函数关系：y＝－2x＋240. (1)商场每月想从这种保暖内衣销售中获利2 250元，该如何给这种保暖 内衣定价？ 解：(1)由题意，得 (x－50)(－2x＋240)＝2 250. 解得x1＝75，x2＝95(不合题意，舍去). 答：此时这种保暖内衣每件的定价为75元. 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 素养二 (2)请问这种保暖内衣每件的售价定为多少元时可获得最大月利润？最 大月利润是多少？ 解：(2)设这种保暖内衣售价定为x元时，月利润为w元.由题意，得w＝ (x－50)(－2x＋240)＝－2(x－85)2＋2 450. ∴当x＜85时，w随x的增大而增大. ∵物价部门规定每件售价不得高于80元， ∴x≤80.∴当x＝80时，w取得最大值，此时w＝2 400. 答：这种保暖内衣每件的售价定为80元时可获得最大月利润，最大月利 润是2 400元. 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 素养二 3. (2024∙实验外语校)草莓是深受人们喜爱的明星水果，世界范围内共 有2 080多个不同品种的草莓，某水果超市近期有“春旭”和“星都2 号”两种品种的草莓正在销售.已知这两种草莓每千克的进价之和为150 元，“春旭”草莓每千克的利润率为50％，“星都2号”草莓每千克的 售价比进价的2倍少50元.某顾客购买了2千克“春旭”草莓和3千克“星 都2号”草莓，共支付了570元. 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 素养二 解：(1)设“春旭”和“星都2号”草莓的进价分别为每千克x元和每千 克y元，则“春旭”草莓每千克的售价为(1＋50％)x元，“星都2号” 草莓每千克的售价为(2y－50)元.由题意，得 解得 答：“春旭”和“星都2号”草莓的进价分别为每千克60元和每千 克90元. (1)求该水果超市“春旭”和“星都2号”草莓的进价分别为每千克 多少元； 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 素养二 (2)若按照原售价销售，该水果超市平均每天可售出“春旭”草莓50千 克和“星都2号”草莓30千克.经调查发现，每千克“春旭”草莓售价每 降低1元，每天可多销售10千克，每千克“星都2号”草莓售价每降低2 元，每天可多销售10千克；该水果超市某天计划将两种草莓都降低相同 价格出售，为尽最大可能让消费者获得实惠，且当天销售这两种草莓的 利润之和为5 580元，则这两种草莓每千克都降低了多少元？ 解：(2)由(1)，得(1＋50％)×60＝90，2×90－50＝130. 设两种草莓每千克都降低了m元. 由题意，得(90－60－m)(50＋10m)＋(130－90－m)(30＋5m)＝5 580. 整理，得m2－28m＋192＝0. 解得m1＝12，m2＝16. 为尽最大可能让消费者获得实惠，则取m＝16. 答：两种草莓每千克都降低了16元. 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 素养二 04 创新实践∙展示素养 几何推理 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B 的右侧)，与y轴交于点C，OB＝ OC，OA＝OC. (1)求抛物线的表达式； 解：(1)令x＝0，则y＝3，∴C(0，3). ∵OB＝ OC，OA＝OC，∴OB＝1，OA＝OC＝3，∴B(－1，0)， A(3，0)，代入抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 素养三 (2)如图1，D是抛物线的顶点，连接AD，点F是AD上方抛物线上一动 点，过点F作FE⊥AD于点E，过点F作FH⊥y轴于点H，N是x轴 上一动点，连接FN，当EF＋ FH取得最大值时，求出点F的坐标及 FN＋ BN的最小值； 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 素养三 解：(2)如答图，过点F作FG∥y轴，交AD于点G，交x轴于点L，设 抛物线对称轴交x轴于点T，过点B在x轴下方作∠ABM＝30°，过点 N作NM⊥BM于点M. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的 顶点坐标为D(1，4). 答图 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 素养三 设直线AD的表达式为y＝kx＋t，将A(3，0)，D(1，4)代入y＝kx＋ t，得 解得 ∴直线AD的表达式为y＝－2x＋6. ∵AT＝OA－OT＝2，DT＝4， ∴AD＝ ＝2 . ∵FG∥y轴，FE⊥AD，∴∠FGE＝∠ADT， ∠FEG＝∠ATD＝90°，∴△FGE∽△ADT， 答图 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 素养三 ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴EF＝ FG. 设F(m，－m2＋2m＋3)，则G(m，－2m＋6)， 则FG＝－m2＋2m＋3＋2m－6＝－m2＋4m－3， FH＝m，则EF＋ FH＝ (－m2＋4m－3) ＋ m＝－ m2＋ m－ . ∵－ ＜0，∴当m＝－ ＝ 时，EF＋ FH最大， 此时－m2＋2m＋3＝ ，即F(， ). 答图 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 素养三 ∵∠ABM＝30°，NM⊥BM，∴ BN＝MN， ∴FN＋ BN＝FN＋MN. 由点到直线的最短距离可得当F，N，M三点依次共线，且FM⊥BM时，FN＋MN最短，即FN＋ BN最小，此时FM为答图中的FM′， 答图 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 素养三 设FM′交x轴于点S. 由F(， )，得FL＝ ， OL＝ ，∴BL＝BO＋OL＝ . ∵∠ABM＝30°，FM′⊥BM， ∴∠BSM′＝60°＝∠FSL， ∴∠SFL＝30°，∴SL＝ ＝ ，FS ＝2SL＝ .∵BS＝BL－SL＝ － ， ∴SM′＝ BS＝ － . ∴FM′＝FS＋SM′＝ ＋ － ＝ ＋ ， 即FN＋ BN的最小值为 ＋ . 答图 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 素养三 (3)如图2，连接CA，将抛物线沿射线CA方向平移得到新抛物线y′，新 抛物线y′的顶点P为(4，1)，CA延长线交抛物线y′于点Q，点K为抛物 线y′上一动点，当直线PK与直线CA所夹锐角为∠AQP的两倍时，请 直接写出所有符合条件的点K的横坐标. (3)点K的横坐标为11或 . 首页 目录 回归教材∙依标扣本 基础自查∙巩固素养 综合思考∙提升素养 创新实践∙展示素养 素养三 请完成《基础练习本》P26~28素养练测12 本讲内容结束 $