专题03 函数的性质及应用（6大易错点+典例分析+避错攻略+举一反三+易错通关）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题03 函数的性质及应用 目录 第一部分 易错点剖析 易错典题 避错攻略 举一反三 易错点1 复合函数定义域的理解不当致错 易错点2 研究性质时忽略函数的定义域致错 易错点3 使用换元法忽略新元的范围 易错点4 忽略分段函数自变量的范围致错 易错点5 混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错 易错点6 忽略对参数取值范围讨论而致错 第二部分 易错题闯关 易错点1 复合函数定义域的理解不当致错 易错典题 【例1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】的定义域为. 当时，（易错点） 定义域是x的取值范围 的定义域为，即. 令，解得（易错点） 中的与中的x的取值范围一致 的定义域为，即. “”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【错因分析】本题要注意定义域是指自变量x的取值范围，此外与中的范围一致. 知识混淆：误以为x范围一致. 概念模糊：对复合函数定义域的概念不清，导致思维存在漏洞. 望文生义：求复合函数的定义域就认为是求的范围，而实质是求自变量x的范围. 避错攻略 【方法总结】已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 【知识链接】1复合函数的概念： 若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当时，称函数y=f[g(x)]为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中x称为自变量,t为中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 2抽象函数或复合函数的定义域： （1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. （2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同. （3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围. （4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域. 举一反三 【变式1-1】（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由. 所以函数的定义域为. 故选：C 【变式1-2】（25-26高三上·全国·期末）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，即，则， 的定义域为， 需满足，解得且， 的定义域为，故C正确． 故选：C． 【变式1-3】（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】函数的图像向右平移1个单位长度得到函数的图像，故定义域为，值域不变； 故选：D 易错点2 研究性质时忽略函数定义域致错 易错典题 【例2】(2026四川广安期中)奇函数是定义域为上的增函数.且，则的取值范围是（   ） A． B． C．， D． 【答案】B 【解析】 ，， 是奇函数，， 是定义域为上的增函数， （易错点）， 注意定义域优先 ，解得， 的取值范围是. 【错因分析】求解本题时要保证2a+1和-a+2均在定义域(-3,3)内,不要忘记这个条件. 知识混淆：研究函数性质时，忽略了“定义域优先”这一原则. 概念模糊：解不等式时逻辑推导不清晰，未考虑2a+1,-a+2在定义域，导致思维存在漏洞. 望文生义：看到解不等式直接利用函数单调性脱去“f”，而忽视了考虑在函数定义域范围内解不等式. 避错攻略 【方法总结】建立“定义域优先”的解题原则. 【知识链接】1.函数单调性与定义域 函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。 （1）单调区间区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性． （2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接． （3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质． （4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 2.函数奇偶性与定义域 偶函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x) 成立，则称F(x)为偶函数． 奇函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数． (1)奇偶函数定义的等价形式． 奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0． (2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称． 一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．例如y＝ ，定义域为[0，＋∞)，不具有奇偶性． 举一反三 【变式1-1】2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，函数是定义在上的偶函数，所以， 解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得，所以原不等式解集为. 故选：A 【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为上的偶函数，且在上为单调递增， ∴等价于即， 由（1）得,即,解得或, 由（2）得，解得, ∴或, 即不等式的解集为：, 故选：C. 【变式1-3】（25-26高三上·河北邢台·期中）已知是定义在上的偶函数，对任意的，当时，恒成立，若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，解得， ，且，则， 又因为，所以， 所以，则， 令，则，故在上单调递增， 因为为上的偶函数，所以为上的偶函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以，即为， 即，则或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 易错点3 使用换元法忽略新元的范围 易错典题 【例3】（24-25高三上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令（易错点）， 注意新元t的取值范围 由， 则，即. 故选：C. 【错因分析】本题求解时设，换元后要注意这一范围，如果忽略新元的范围，容易错选A. 知识混淆：将新元与旧元的取值范围混淆，从而导致错解. 概念模糊：利用换元法求得解析式后，考虑问题不周全，不求新元的取值范围，从而导致未考虑定义域的错误. 望文生义：换元法求函数解析式时，想当然认为新元范围与旧元范围一致. 避错攻略 【方法总结】换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范围被扩大了,则在求解之后要加以检验. 【知识链接】1.换元法 换元就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法. 换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等,换元的关键是选择适当的式子进行代换. 2. 常见的换元方法 （1）根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式； （2）整体代换：将所求表达式整体换元； （3）三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化的过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一元二次方程的问题。 举一反三 【变式3-1】（25-26高三上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，因为，可得， 所以函数． 故选：C． 【变式3-2】（25-26高三上·全国·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，因为，所以. 由，可得， ∴． 故选：B． 【变式3-3】（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知函数，则的解析式为 . 【答案】. 【解析】因为函数，且， 所以. 故答案为：. 易错点4 忽略分段函数自变量的范围致错 易错典题 【例4】(2025湖南长沙期中)已知函数f(x)=则f(f(10))的值为　　　　;f(x)的最大值为　　　　.  【答案】31;40 【解析】∵f(10)=-102+20×10-64=36,∴f(f(10))=f(36)=-36-+76=31. 当x∈[3,12)时,f(x)=-x2+20x-64=-(x-10)2+36, 故当x=10时,f(x)取得最大值,为f(10)=36(易错点). 注意求的是x∈[3,12)时f(x)的最大值 当x∈[12,40]时,f(x)=-x-+76=-+76≤-2+76=40,当且仅当x=,即x=18时,等号成立,则f(x)的最大值为f(18)=40. 而36<40,所以f(x)的最大值为40. 【错因分析】本题是分段函数的求值问题,多重函数求值时要注意由内算到外,同时要注意找准自变量取值所对应的解析式;第二个空是求分段函数的最值,要考虑其在每一段定义域内的最值,最后进行比较. 知识混淆：将分段函数的最值与某一段的最值混为一谈. 概念模糊：对分段函数的概念理解不够透彻，从而导致思维存在漏洞. 望文生义：受思维定势的影响，对于分段函数的求值问题只考虑第一段解析式，而忽略了其他段解析式. 避错攻略 【方法总结】分段函数分段处理！ 【知识链接】1．分段函数的定义 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数． 【理解】(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数． (2)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．要注意写解析式时各区间端点的开闭，做到不重复、不遗漏． (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集． 2．分段函数的题型 （1）分段函数图象的画法 ①作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏. ②对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. （2）分段函数的求值 ①确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②代入该段的解析式求值，直到求出值为止． （3）求某条件下自变量的值(或范围) 先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内．若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． （4）根据分段函数的解析式解不等式 ①对变量分类讨论代入相应的解析式求解． ②画出分段函数的图像判断单调性，利用单调性求解． （5）求分段函数的最值 分别求出每一段的最值或值域进行比较求出最值 （6）根据单调性求参数 从两方面入手，一是分析各段的单调性，二是比较分段点的大小关系. 举一反三 【变式4-1】（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【答案】B 【解析】当时，，则，解得：（舍去）； 当时，，则，解得：. 故选：B. 【变式4-2】（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，的取值范围是， 注意到，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的最大值为， 且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷， 若函数的值域为， 则当且仅当，解得. 故选：A. 【变式4-3】（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，的取值范围是， 注意到，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的最大值为， 且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷， 若函数的值域为， 则当且仅当，解得. 故选：A. 易错点5 混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错 易错典题 【例5】（25-26高三上·河北·期中）已知函数f(x)=|2x+a|. (1)若f(x)的单调递增区间为[3,+∞),求实数a的值; (2)若f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围. 【解析】(1)由题意知f(x)= ∴函数f(x)的单调递增区间为, ∴3=-,(易错点) 为增区间和减区间的分界点 解得a=-6. (2)由(1)可知, f(x)的单调递增区间为, ∵f(x)在[3,+∞)上单调递增, ∴-≤3, (易错点) [3,+∞)为单调增区间的子区间 即a≥-6. ∴实数a的取值范围为[-6,+∞). 【错因分析】将单调区间为I与在区间I上单调视为同一个概念，从而造成错解. 知识混淆：混淆“单调区间”与“在区间上单调”，导致思维混乱. 概念模糊：未正确理解函数单调性的概念，从而导致思维受阻. 望文生义：遇到在区间I上单调就想当然认为I是单调区间，从而造成逻辑错误. 避错攻略 【方法总结】单调区间是指一个函数的定义域中所有具有递增或递减性质的区间;在区间上单调是指函数在某一个区间上单调,二者有本质区别,若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上具有相同的单调性. 【知识链接】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间. [微提醒]　(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数. 2.函数单调性的相关结论 (1)函数单调性的两个等价结论 ①∀x1，x2∈I且x1≠x2，有＞0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在区间I上单调递增. ②∀x1，x2∈I且x1≠x2，有＜0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在区间I上单调递减. (2)在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. (3)函数y＝f(x)(f(x)＞0或f(x)＜0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. (4)复合函数y＝f(g(x))的单调性的判断方法：同增异减. 举一反三 【变式5-1】（25-26,重庆文理学院附属中学校高三上期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【变式5-2】（多选）（25-26高三上·重庆璧山·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因是幂函数，则，解得或， 当时，，其定义域为，且为奇函数，故舍去； 当时，是上的偶函数，符合题意. 则，其图象对称轴为直线， 由该函数在区间上单调递减，可得，解得. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高三上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列选项正确的是（ ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为，则 C．若的值域为，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AB 【解析】对于A，由的定义域为，得成立， 当时，成立，则； 当时，，解得，因此，A正确； 对于B，由的定义域为，得是不等式的解集， 则，且为方程的两根，，解得，B正确； 对于C，由的值域为，得函数的值域包含， 则，解得，C错误； 对于D，由在上单调递增，得，解得，D错误. 故选：AB 易错点6 忽略对参数取值范围讨论而致错 易错典题 【例6】（2026安徽天一大联考）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 当时，为增函数，不合题意； 当时，为常数函数，不合题意； 所以，即； 于是得（易错点）， 注意考虑每一段函数的单调性 解得. 【错因分析】本题考查由分段函数单调性求参数的取值范围，其中第一段需对x的系数分类讨论，第二段需考虑对称轴与区间的关系，此外本题还需注意端点1处函数值的大小关系，即由第一段解析式计算出的1处函数值必须不小于由第二段解析式计算出的1处的函数值. 知识混淆：混淆在定义域内单调与在某一段单调. 概念模糊：未正确理解函数单调性的概念，从而在研究分段函数的单调性时考虑不全面. 望文生义：对参数讨论想当然只讨论各段解析式的单调性，未从整体角度考虑各段之间端点处函数值的限制条件，从而导致错解. 避错攻略 【方法总结】对于含参的函数问题，要注意恰当讨论，对于含参的分段函数问题，除了要注意研究各段解析式的性质，还要从整体上把握分段函数的性质. 【知识链接】 1.求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验． 2.已知分段函数的单调性求参数，切记不要漏掉分段点处函数值大小的比较，常见的类型及应满足的条件如下： 类型1：函数，在上单调増递，则满足两个条件： (1)在上单调増递增； (2)在上单调増递增； (3). 类型2：函数，在上单调増递减，则满足两性个条件： (1)在上单调増递减； (2)在上单调増递减； (3). 举一反三 【变式6-1】（2026·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数在上单调， 当在上单调递减时，，解得； 当在上单调递增时，，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式6-2】（24-25高三上·山东聊城·期中）设，若为的最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，对称轴为， 当时，即，， 当时，即，，不符合题意，所以， 当时，，则， 令，则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 则是函数的极小值点， 又为的最小值，则满足， 即，解得，又， 所以实数的取值范围是. 【变式6-3】（2026江西智慧上进期中）已知函数． (1)用定义证明在区间上单调递增； (2)若在区间上的值域为，求、的值． 【解析】（1）任取、且，即， 所以 ， 因为，则，，所以，即， 故函数在区间上单调递增. （2）由二次函数的单调性可知，函数的增区间为，减区间为， 当时(易错点)，函数在区间上单调递增， 此时，， 又因为，解得，； 当(易错点)时，函数在区间上单调递减， 此时①，②， ①②得， 因为，则，整理可得，则③， 将③代入①可得，即，，无解； 当(易错点)时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，矛盾. 综上所述，，. [易错警示]求含参数的函数的最大(小)值问题,需对参数进行分类讨论,解题时分析函数图象的对称轴与区间的位置关系即可求出最大(小)值. 1、 单选题 1．（2025高三上·四川眉山·专题练习）函数的定义域为[1,2]，则函数的定义域为（    ） A．[0,1] B．[1,2] C．[2,4] D．[4,16] 【答案】D 【解析】由于的定义域为[1,2]，故，则， 令，则，故，故， 故的定义域为, 故选：D 2．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）已知的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的定义域为， 所以，解得， 故选：A. 3．（25-26高三上·全国·期末）函数的值域为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一：由得定义域为； 因为单调递增，单调递减， 所以单调递增； 所以函数值域为． 方法二：令，则，， 所以， 函数在上单调递减，且时，函数取到最大值2， 所以函数值域为， 故选：A． 4．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若时，在上单调递增；所以CD错误； 若，由选项中实数是非负实数，当时，函数为开口向下的二次函数的部分， 要使其单调递增，则对称轴，所以. 当时，易得函数单调递增， 考虑断点处的情况，则有成立，所以. 综上所述， 故选：B. 5．（25-26高三上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】偶函数在单调递增，故等价于 且，， 解得. 故选：B 6．（25-26高三·浙江杭州·期末）已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对任意的，且时，满足， 所以函数在上单调递增， 令，其图象的开口向上，对称轴为， 则在上单调递增， 当时，为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知函数在单调递减，不满足题意； 当时，为单调递增函数， 由复合函数的单调性可知函数在单调递增， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 7．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，当时，函数单调递减， ，无最值， 当时，， 当时，在单调递减，， 此时无最大值， 当时，， 当时，在单调递增，， 而时，， 故若函数存在最大值，则最大值必为， 因此需满足， 综上，. 故选：D 8．（25-26高一上·江西赣州·期末）已知函数定义域为且，其图象是一条连续不断的曲线，且满足，若，当时，总有成立，且满足的实数的取值范围是，则（    ） A．1 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【解析】由知为奇函数； ，当时，总有，即， 令，则在单调递增， 又为奇函数，所以，即为偶函数， 所以.因为， 即，即，即， 解得， 又，所以的解集为， 则有. 故选：C 2、 多选题 9．（25-26高三上·江西吉安·期中）下列说法正确的是（   ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．若定义在上的函数的值域为，则的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．已知，则 【答案】AC 【解析】对于A，若函数的定义域为，对于函数，则有， 解得，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，的函数图象可由向左平移一个单位得到，因此值域不变，故B错误； 对于C，因为定义在上的函数满足①， 所以②，由①+②，得，所以，故C正确； 对于D，因为，因为，所以，故D错误. 故选：AC. 10．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，则， 所以，故A正确； 对于B，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为， 故B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，故C错误； 对于D，当时，； 当时，； 的值域为， 故D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高三上·江苏连云港·月考）已知函数，则（     ） A．是奇函数 B．当时， C．若，则，使 D．若，则在上单调递增 【答案】ABD 【解析】函数的定义域为 ，且，所以为奇函数，故A正确； 当时，，故B正确； 当时，，又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 若，则，由，得，即，这与矛盾，所以不存在，使，故C错误； 因为函数为上的奇函数，且在上单调递增， 所以，且在上单调递增. 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 3、 填空题 12．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知，则 【答案】 【解析】令，则， 因为，所以， 所以． 13．（2026·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数在上单调， 当在上单调递减时，，解得； 当在上单调递增时，，解得， 所以实数的取值范围是. 14．（2025高三上·福建厦门·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】， 由反比例函数性质知当，即时，在单调递增， 又在单调递增，所以，所以. 综上，即实数的取值范围是 故答案为：. 15．（2025高三上·上海·专题练习）函数解析式为，值域为，图象过点，则函数的值域为 . 【答案】 【解析】由题设，则， 又函数的值域为，则，可得， 可得函数的定义域为 函数， 所以且，可得 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，则，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的性质及应用 目录 第一部分 易错点剖析 易错典题 避错攻略 举一反三 易错点1 复合函数定义域的理解不当致错 易错点2 研究性质时忽略函数的定义域致错 易错点3 使用换元法忽略新元的范围 易错点4 忽略分段函数自变量的范围致错 易错点5 混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错 易错点6 忽略对参数取值范围讨论而致错 第二部分 易错题闯关 易错点1 复合函数定义域的理解不当致错 易错典题 【例1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】的定义域为. 当时，（易错点） 定义域是x的取值范围 的定义域为，即. 令，解得（易错点） 中的与中的x的取值范围一致 的定义域为，即. “”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【错因分析】本题要注意定义域是指自变量x的取值范围，此外与中的范围一致. 知识混淆：误以为x范围一致. 概念模糊：对复合函数定义域的概念不清，导致思维存在漏洞. 望文生义：求复合函数的定义域就认为是求的范围，而实质是求自变量x的范围. 避错攻略 【方法总结】已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 【知识链接】1复合函数的概念： 若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当时，称函数y=f[g(x)]为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中x称为自变量,t为中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 2抽象函数或复合函数的定义域： （1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. （2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同. （3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围. （4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域. 举一反三 【变式1-1】（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高三上·全国·期末）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 易错点2 研究性质时忽略函数定义域致错 易错典题 【例2】(2026四川广安期中)奇函数是定义域为上的增函数.且，则的取值范围是（   ） A． B． C．， D． 【答案】B 【解析】 ，， 是奇函数，， 是定义域为上的增函数， （易错点）， 注意定义域优先 ，解得， 的取值范围是. 【错因分析】求解本题时要保证2a+1和-a+2均在定义域(-3,3)内,不要忘记这个条件. 知识混淆：研究函数性质时，忽略了“定义域优先”这一原则. 概念模糊：解不等式时逻辑推导不清晰，未考虑2a+1,-a+2在定义域，导致思维存在漏洞. 望文生义：看到解不等式直接利用函数单调性脱去“f”，而忽视了考虑在函数定义域范围内解不等式. 避错攻略 【方法总结】建立“定义域优先”的解题原则. 【知识链接】1.函数单调性与定义域 函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。 （1）单调区间区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性． （2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接． （3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质． （4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 2.函数奇偶性与定义域 偶函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x) 成立，则称F(x)为偶函数． 奇函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数． (1)奇偶函数定义的等价形式． 奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0． (2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称． 一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．例如y＝ ，定义域为[0，＋∞)，不具有奇偶性． 举一反三 【变式1-1】2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高三上·河北邢台·期中）已知是定义在上的偶函数，对任意的，当时，恒成立，若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 易错点3 使用换元法忽略新元的范围 易错典题 【例3】（24-25高三上·吉林·阶段练习）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令（易错点）， 注意新元t的取值范围 由， 则，即. 故选：C. 【错因分析】本题求解时设，换元后要注意这一范围，如果忽略新元的范围，容易错选A. 知识混淆：将新元与旧元的取值范围混淆，从而导致错解. 概念模糊：利用换元法求得解析式后，考虑问题不周全，不求新元的取值范围，从而导致未考虑定义域的错误. 望文生义：换元法求函数解析式时，想当然认为新元范围与旧元范围一致. 避错攻略 【方法总结】换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的取值范围被扩大了,则在求解之后要加以检验. 【知识链接】1.换元法 换元就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法. 换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等,换元的关键是选择适当的式子进行代换. 2. 常见的换元方法 （1）根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式； （2）整体代换：将所求表达式整体换元； （3）三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化的过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一元二次方程的问题。 举一反三 【变式3-1】（25-26高三上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高三上·全国·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知函数，则的解析式为 . 易错点4 忽略分段函数自变量的范围致错 易错典题 【例4】(2025湖南长沙期中)已知函数f(x)=则f(f(10))的值为　　　　;f(x)的最大值为　　　　.  【答案】31;40 【解析】∵f(10)=-102+20×10-64=36,∴f(f(10))=f(36)=-36-+76=31. 当x∈[3,12)时,f(x)=-x2+20x-64=-(x-10)2+36, 故当x=10时,f(x)取得最大值,为f(10)=36(易错点). 注意求的是x∈[3,12)时f(x)的最大值 当x∈[12,40]时,f(x)=-x-+76=-+76≤-2+76=40,当且仅当x=,即x=18时,等号成立,则f(x)的最大值为f(18)=40. 而36<40,所以f(x)的最大值为40. 【错因分析】本题是分段函数的求值问题,多重函数求值时要注意由内算到外,同时要注意找准自变量取值所对应的解析式;第二个空是求分段函数的最值,要考虑其在每一段定义域内的最值,最后进行比较. 知识混淆：将分段函数的最值与某一段的最值混为一谈. 概念模糊：对分段函数的概念理解不够透彻，从而导致思维存在漏洞. 望文生义：受思维定势的影响，对于分段函数的求值问题只考虑第一段解析式，而忽略了其他段解析式. 避错攻略 【方法总结】分段函数分段处理！ 【知识链接】1．分段函数的定义 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数． 【理解】(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数． (2)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．要注意写解析式时各区间端点的开闭，做到不重复、不遗漏． (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集． 2．分段函数的题型 （1）分段函数图象的画法 ①作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏. ②对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. （2）分段函数的求值 ①确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②代入该段的解析式求值，直到求出值为止． （3）求某条件下自变量的值(或范围) 先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内．若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． （4）根据分段函数的解析式解不等式 ①对变量分类讨论代入相应的解析式求解． ②画出分段函数的图像判断单调性，利用单调性求解． （5）求分段函数的最值 分别求出每一段的最值或值域进行比较求出最值 （6）根据单调性求参数 从两方面入手，一是分析各段的单调性，二是比较分段点的大小关系. 举一反三 【变式4-1】（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【变式4-2】（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 易错点5 混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错 易错典题 【例5】（25-26高三上·河北·期中）已知函数f(x)=|2x+a|. (1)若f(x)的单调递增区间为[3,+∞),求实数a的值; (2)若f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围. 【解析】(1)由题意知f(x)= ∴函数f(x)的单调递增区间为, ∴3=-,(易错点) 为增区间和减区间的分界点 解得a=-6. (2)由(1)可知, f(x)的单调递增区间为, ∵f(x)在[3,+∞)上单调递增, ∴-≤3, (易错点) [3,+∞)为单调增区间的子区间 即a≥-6. ∴实数a的取值范围为[-6,+∞). 【错因分析】将单调区间为I与在区间I上单调视为同一个概念，从而造成错解. 知识混淆：混淆“单调区间”与“在区间上单调”，导致思维混乱. 概念模糊：未正确理解函数单调性的概念，从而导致思维受阻. 望文生义：遇到在区间I上单调就想当然认为I是单调区间，从而造成逻辑错误. 避错攻略 【方法总结】单调区间是指一个函数的定义域中所有具有递增或递减性质的区间;在区间上单调是指函数在某一个区间上单调,二者有本质区别,若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上具有相同的单调性. 【知识链接】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数；当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间. [微提醒]　(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数. 2.函数单调性的相关结论 (1)函数单调性的两个等价结论 ①∀x1，x2∈I且x1≠x2，有＞0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在区间I上单调递增. ②∀x1，x2∈I且x1≠x2，有＜0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在区间I上单调递减. (2)在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. (3)函数y＝f(x)(f(x)＞0或f(x)＜0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. (4)复合函数y＝f(g(x))的单调性的判断方法：同增异减. 举一反三 【变式5-1】（25-26,重庆文理学院附属中学校高三上期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）（25-26高三上·重庆璧山·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高三上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列选项正确的是（ ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为，则 C．若的值域为，则 D．若在上单调递增，则 易错点6 忽略对参数取值范围讨论而致错 易错典题 【例6】（2026安徽天一大联考）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 当时，为增函数，不合题意； 当时，为常数函数，不合题意； 所以，即； 于是得（易错点）， 注意考虑每一段函数的单调性 解得. 【错因分析】本题考查由分段函数单调性求参数的取值范围，其中第一段需对x的系数分类讨论，第二段需考虑对称轴与区间的关系，此外本题还需注意端点1处函数值的大小关系，即由第一段解析式计算出的1处函数值必须不小于由第二段解析式计算出的1处的函数值. 知识混淆：混淆在定义域内单调与在某一段单调. 概念模糊：未正确理解函数单调性的概念，从而在研究分段函数的单调性时考虑不全面. 望文生义：对参数讨论想当然只讨论各段解析式的单调性，未从整体角度考虑各段之间端点处函数值的限制条件，从而导致错解. 避错攻略 【方法总结】对于含参的函数问题，要注意恰当讨论，对于含参的分段函数问题，除了要注意研究各段解析式的性质，还要从整体上把握分段函数的性质. 【知识链接】 1.求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验． 2.已知分段函数的单调性求参数，切记不要漏掉分段点处函数值大小的比较，常见的类型及应满足的条件如下： 类型1：函数，在上单调増递，则满足两个条件： (1)在上单调増递增； (2)在上单调増递增； (3). 类型2：函数，在上单调増递减，则满足两性个条件： (1)在上单调増递减； (2)在上单调増递减； (3). 举一反三 【变式6-1】（2026·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 【变式6-2】（24-25高三上·山东聊城·期中）设，若为的最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026江西智慧上进期中）已知函数． (1)用定义证明在区间上单调递增； (2)若在区间上的值域为，求、的值． 1、 单选题 1．（2025高三上·四川眉山·专题练习）函数的定义域为[1,2]，则函数的定义域为（    ） A．[0,1] B．[1,2] C．[2,4] D．[4,16] 2．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）已知的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·全国·期末）函数的值域为（ ）． A． B． C． D． 4．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·浙江杭州·期末）已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江西赣州·期末）已知函数定义域为且，其图象是一条连续不断的曲线，且满足，若，当时，总有成立，且满足的实数的取值范围是，则（    ） A．1 B．4 C．5 D．8 2、 多选题 9．（25-26高三上·江西吉安·期中）下列说法正确的是（   ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．若定义在上的函数的值域为，则的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．已知，则 10．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 11．（25-26高三上·江苏连云港·月考）已知函数，则（     ） A．是奇函数 B．当时， C．若，则，使 D．若，则在上单调递增 3、 填空题 12．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）已知，则 13．（2026·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 14．（2025高三上·福建厦门·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 15．（2025高三上·上海·专题练习）函数解析式为，值域为，图象过点，则函数的值域为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $