专题7.3 直线平面平行的判定与性质 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“判定-性质”双主线构建平行关系认知体系，通过7大题型模块实现从几何直观到逻辑推理的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行的性质|7题|线面平行判定三要素/面面平行性质转化|从线线平行到线面平行的判定链| |中位线法|5题|直尺平移找中点/A型模型构造|三角形中位线性质→线面平行判定| |平行四边形法|4题|对边平行且相等判定/中点连线模型|平行四边形性质→线面平行判定| |线面性质|4题|交线平行性质应用|线面平行→线线平行的性质转化| |面面证明|4题|双交线平行判定法|线面平行→面面平行的判定链| |面面性质|4题|平行平面交线平行性质|面面平行→线线平行的性质应用| |综合应用|4题|动态轨迹问题/体积最值模型|平行关系与空间几何量的综合应用|

专题7-3 直线、平面平行的判定与性质 1．（2026·北京·高考真题）已知直三棱柱，，，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)点在平面内，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求平面与平面的夹角的余弦值． ①； ②； ③平面． 注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)解法一：取的中点，连接，， 因为分别为，的中点，则，且， 又因为为矩形，且为的中点，则，且， 可得，且，可知为平行四边形，则， 且平面，平面，所以平面； 解法二：设，的中点分别为，，连接，，，， 因为分别为，的中点，则，， 且平面，平面，所以平面， 又因为分别为，的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又因为分别为，的中点，则， 可得，可知四点共面， 因为，平面，则平面平面， 且平面，所以平面； 解法三：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 且，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 因为，即， 因为平面，所以平面. (2) 【难度】0.51 【知识点】面面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）解法一：作辅助线，可证，根据线面平行的判定定理分析证明；解法二：作辅助线，可证平面平面，根据面面平行证明线面平行；解法三：建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）若选①：解法一：作辅助线，根据线段长相等可知为的中点，且平面与平面的夹角为，即可得结果；解法二：设，根据题意可得，利用空间向量求面面夹角；若选②：解法一：作辅助线，根据垂直关系分析可知为的中点，且平面与平面的夹角为，即可得结果；解法二：设，根据题意可得，利用空间向量求面面夹角；若选③：根据平面平面分析可知点不唯一，不合题意. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，则， 若选①：解法一：设，，的中点分别为， 可知为线段的中垂线，则， 因为，由题意可知：平面，即平面， 则，，可得，符合题意， 取的中点，连接，设， 因为，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面，即平面， 且平面平面，可得平面， 且平面，可得， 过点作， 且，平面， 则平面，可得， 可知平面与平面的夹角为， 由题意可知：，， 则，， 则，， 所以平面与平面的夹角余弦值为； 解法二：设， 因为，则，解得，即， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 因为平面平面，可知平面的法向量为， 则， 所以平面与平面的夹角余弦值为； 若选②：解法一： 取的中点，连接，设， 因为，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面，即平面， 且平面平面，可得平面， 取的中点，连接，，可知， 设，可知点为的中点， 因为，，可得平面，则， 因为平面且平面，可得， 过点作， 且，平面， 则平面，可得， 可知平面与平面的夹角为， 由题意可知：，， 则，， 则，， 所以平面与平面的夹角余弦值为； 解法二：设，则， 因为，则，解得，即， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 因为平面平面，可知平面的法向量为， 则， 所以平面与平面的夹角余弦值为； 若选③：由（1）可知：平面平面， 因为，平面即为平面，即平面平面， 可得平面，此时点不唯一，不合题意. 2．（2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】(1)由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. (2)距离为1. 【难度】0.64 【知识点】求直线与平面的距离、线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【详解】（1）略 （2）法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 3．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1) 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； (2) 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 4．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1) 设，所以，因为为中点，所以， 因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． (2) 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、求二面角、证明线面平行 【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出平面及平面， 再应用面面平行判定定理得出平面平面，进而得出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面及平面的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【详解】（1）略 （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 5．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. (2) 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、证明线面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 6．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 【答案】(1) 由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； (2) 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、证明线面平行 【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； （2）先证明平面，结合等体积法即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形， 可得， 又，所以，故. 又平面，所以平面， 易知. 在中，， 所以. 设点到平面的距离为，由， 得，得， 故点到平面的距离为. 7．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1) 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、证明线面平行、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明：因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． (2) 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、证明线面平行、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 【点睛】 9．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． (1)求证：//平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1) 连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即， 则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. (2) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、空间向量数量积的应用、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）作出并证明为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积. 【详解】（1）略 （2）过作垂直的延长线交于点， 因为是中点，所以， 在中，， 所以， 因为， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面， 即三棱锥的高为， 因为，所以， 所以， 又， 所以. 10．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1) 连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点，    于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. (2) 法一：由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，， 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， ， 所以平面平面BEF；    (3). 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、求二面角、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出点坐标，再求出平面与平面BEF的法向量，由即可证明； （3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）法一：过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得， 于是，即有，则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为.      法二：平面的法向量为， 平面的法向量为， 所以， 因为，所以， 故二面角的正弦值为. 重难点题型1 平行的性质 1．（2026·上海虹口·三模）设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（     ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】判断线面平行、线面平行的性质、线面关系有关命题的判断 【分析】结合线面平行的判定定理验证充分性，结合线面平行的性质验证必要性. 【详解】已知，：如果本身也在平面内（是不同直线）， 此时，不满足，因此充分性不成立； 若，则和平面无公共点，与内的直线可以平行，也可以异面， 不一定满足，因此必要性不成立， 综上，“”是“”的既非充分又非必要条件. 2．（2026·北京昌平·二模）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、求点面距离、证明线面平行 【分析】取中点，中点，连接，， ，，，证明平面平面，由点在正方体的表面上运动可得点在线，， ，上运动，再由求线段的最小值，即求点到平面各边距离的最小值即可求解. 【详解】如图，取中点，中点，连接，， ，，， 因为点分别是棱的中点，所以，因为为中点， 所以，，，所以平面平面， 点在平面上运动，又因为点在正方体的表面上运动，所以点在直线，， ，上运动，且为等腰三角形， 求线段的最小值，即求点到平面各边距离的最小值，点到边距离最小， 设点到边的垂足为，则为的中点，所以，所以线段的最小值为. 3．（2026·广东东莞·二模）设为两个不同平面，为一条直线，则的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】面面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直、判断面面平行、线面关系有关命题的判断 【详解】对于A，如图： 当时，满足，但不能得出，故A错误； 对于B，由垂直于同一直线的两平面互相平行，可得当时，则有，故B满足题意； 对于C，如图： 当，且，则有.所以由，不能得出，故C错误； 对于D，因为，根据线面垂直的判定定理可得，故D错误. 4．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断线面是否垂直、空间垂直的转化、判断面面平行 【详解】对于A：若，，则或和相交，故A错误； 对于B：若，，根据线面垂直的性质定理可得，故B正确； 对于C：若，，则或和异面，故C错误； 对于D：若，，则和可能平行也可能相交，故D错误； 5．（2026·天津红桥·一模）已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（    ） A．若平行于同一直线，则 B．若垂直于同一直线，则 C．若不平行，则在内不存在与平行的直线 D．若不平行，则与不可能垂直于同一平面 【答案】D 【难度】0.66 【知识点】线面垂直证明线线平行、判断线面平行、判断面面平行 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若平行于同一直线，则或与相交，所以A不正确； 对于B，若与垂直于同一直线，则与平行或相交或异面，所以B不正确； 对于C，若不平行，设，在平面内作直线， 因为，所以，即在内存在与平行的直线，所以C不正确； 对于D，若，可得，所以不平行，则与不可能垂直于同一平面，所以D正确. 6．（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面平行证明线线平行、空间位置关系的向量证明 【分析】对于A、B和C，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和，利用直线与平面位置关系的向量法，即可求解；对D，利用面面平行的性质，即可求解. 【详解】如图1所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 又易知，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故A错误， 对于B，如图2，由选项A知平面的一个法向量为， ，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故B错误， 对于C，如图3，由选项A知平面的一个法向量为， ，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故C错误， 对于D，如图4，记为正方体所在棱的中点，连接，易得， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面，则直线平面，所以D正确， 7．（2026·甘肃兰州·一模）已知直线，平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】面面关系有关命题的判断、判断面面平行、线面垂直证明线线垂直、线面关系有关命题的判断 【分析】根据空间线线、线面、面面的位置关系结合面面平行判定定理和线面平行性质定理逐项判断. 【详解】选项A：若，，则或，故A错误； 选项B：面面平行的判定定理：内两条相交直线，，则， 由于直线不一定相交，故命题不一定成立，故B错误； 选项C：若，，则，或，故C错误； 选项D：若，则垂直于平面内所有直线； 又，由线面平行性质定理可知：存在直线，使得， 又，所以，D正确. 重难点题型2 线面平行的证明（三角形的中位线法） （1）初学者可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一； （2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； （3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三； （4）此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四． 图一 图二 图三 图四 1．（2026·四川成都·模拟预测）如图，在正四棱柱中，是的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)如图，连接交于，连接， 在正四棱柱中，底面为正方形且侧棱平面， 所以侧面为长方形，所以为的中点， 又因为为的中点，所以在中，， 因为平面，且平面，所以平面. (2) 【难度】0.66 【知识点】线面角的向量求法、证明线面平行、求线面角 【详解】（1）略 （2）正四棱柱为长方体， 如图所示，以为原点，所在直线分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2．（2026·上海·三模）在三棱锥中，平面平面，，，是棱的中点，在棱上，且 平面． (1)证明：是棱的中点； (2)证明：平面，并求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析， 【难度】0.7 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）根据三棱锥的性质，利用线面平行证明线线平行，进而根据中线的性质证明结论； （2）根据三棱锥的性质及三角形的性质，利用线面垂直定理证明线面垂直，结合已知条件利用几何法求出相关线段长度，进而求出，再利用三棱锥的体积公式计算求解． 【详解】（1）平面，平面，平面平面， ， 又是棱的中点， 是棱的中点． （2）连接，，是棱的中点， ， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， ， ，，， ， 又，由勾股定理得， 又平面， 三棱锥的体积． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，，，，是上靠近点的三等分点.    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.55 【知识点】已知面面角求其他量、证明线面平行 【分析】(1)根据线面平行的判定定理即可得； (2)代入面面夹角公式，逆推即可. 【详解】（1）证明：如图，连接与，交于点，连接.    因为，所以，又，所以. 因为是上靠近点的三等分点，所以，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）解：由题知，，两两垂直，故以点为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，，， ， . 设平面的一个法向量为，则 令，得，，故. 设平面的一个法向量为，则 令，得 ，，故. 所以，解得， 故的长为. 4．（2026·江西·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，，，是的中点．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.72 【知识点】面面角的向量求法、求点面距离、证明线面平行 【分析】（1）根据中位线及线面平行的判定定理即可得证； （2）利用线面垂直的判定与性质可证明平面，即可得解； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接， 由题意可知，分别为，的中点，故， 又平面，平面， 所以平面． （2）因为平面，平面，所以，． 又，为的中点，所以，且． 又，，，平面， 所以平面．又平面，所以． 又，且，平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于线段的长，即点到平面的距离为． （3）以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，， ，，，， 设是平面的一个法向量， 则，． 设是平面的一个法向量， 则，． 设平面与平面的夹角为， 则，， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 5．（2026·湖南岳阳·三模）如图，在三棱锥中，底面，点，分别为棱PC，PB的中点． (1)证明：平面BCD； (2)求直线CD与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）先证明，进而求证即可； （2）结合正弦定理分析可得，进而得到，，法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可；法二：连接DF，分析可得为直线CD与平面PBC所成角，进而求解即可. 【详解】（1）∵点E，F分别为棱PC，PB的中点， 为的中位线，且， 平面平面BCD，平面BCD． （2）在中，， 由正弦定理，得， 即，故， ． 又底面，底面，， 在中，，故， 法一：∴以为原点，DB为轴，DP为轴，建立空间直角坐标系， 则，，取方向向量． 又，则． 设平面PBC的法向量为， 由，得解得，取． 设直线CD与平面PBC所成角为， 则． 所以直线CD与平面PBC所成角的正弦值为． 法二：连接DF，因为底面BCD，所以， 又因为平面PBD， 所以平面PBD，又平面PBD，所以． 因为，所以． 因为平面，所以平面PBC， 所以为直线CD与平面PBC所成角， 在中，，所以． 重难点题型3 线面平行的证明（平行四边形法） （1）初学者可以拿一把直尺放在位置，如图一； （2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； （3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接， 如图三； （4）此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），，如图四． 图一 图二 图三 图四 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 连接，交于，连接， 在斜三棱柱中，是平行四边形，所以为的中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； (2) 连接，菱形中，，， 所以是等边三角形， 又为中点，所以， 因为，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面，， 所以平面； (3)不存在，利用平面夹角的向量坐标公式列式计算即可判断 【难度】0.65 【知识点】已知面面角求其他量、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）中位线定理证明，最后利用线面平行的判定定理求解即可； （2）结合题意与线面垂直的判定定理得到平面； （3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合二面角的向量求法建立方程，求解参数，最后判断点的存在性即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）不存在，理由如下：取的中点， 因为分别是的中点，所以， 又平面，所以平面， 所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ，，， 所以，， 设，， 因为，所以， 解得，，，即， 所以, 设平面的法向量， ，令，得， 显然是平面的一个法向量， 所以， 因为二面角为， 所以，化简得，解得， 因为，所以线段上不存在点，使二面角为． 2．（2026·上海·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． (1)证明：// 平面； (2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)取的中点，连接，， 因为分别是和的中点，所以，且. 因为和都垂直于平面，且，所以，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以// 平面． (2) 【难度】0.56 【知识点】锥体体积的有关计算、面面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）取的中点，连接，，由中位线定理及线面垂直的性质定理可得四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理证得// 平面； （2）由四棱锥的体积为3，可求得点到平面的距离为.建立空间直角坐标系，设平面与平面所成的锐二面角大小为，根据面面角的向量求法将表示为的函数，结合二次函数的最值求法，可得的最大值. 【详解】（1）略 （2）设点到平面的距离为， 则，为． 由于平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，平面内过且垂直于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 因为， 所以， 设，则， 设平面的法向量为，由，得， 令，得，因此平面的一个法向量． 由于平面，因此是平面的一个法向量． 设平面与平面所成的锐二面角大小为， 则. 因为，当且仅当时，等号成立； 所以. 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值为． 3．（2026·广西桂林·模拟预测）如图，已知直三棱柱中，，分别为，的中点，，． (1)求证：直线平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1) 取的中点为，连接、， 为的中点， 为的中位线， ，且， 又在直棱柱中，侧棱，，为的中点， ， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 直线平面． (2) 【难度】0.7 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行 【分析】（1）根据直三棱柱的性质，结合已知条件，利用线面平行判定定理证明结论； （2）利用线面垂直判定定理得出线面垂直，进而求出三棱锥的高，再利用三棱锥的体积公式求解． 【详解】（1）略 （2），， ， 在直三棱柱中，侧棱底面，底面， ， 又、为侧面内的两条相交直线， 侧面， 由（1）得侧面， 为三棱锥的高， 三棱锥的体积． 4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，点满足. (1)求证：平面； (2)若平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【难度】0.64 【知识点】面面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）过点作，交于点，连接，由得到，证明出四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到结论. （2）利用空间向量法求解，求出平面的法向量和平面的法向量，设平面与平面的夹角为，利用数量积求出平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）过点作，交于点，连接， 因为. 所以， 因为，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，，平面， 所以，， 又， 所以，，两两垂直. 以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则.即， 令，得，，则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，，则. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 重难点题型4 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 1．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； (2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 【答案】(1)取线段的中点，连接，，由于， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面，故. (2) 【难度】0.52 【知识点】锥体体积的有关计算、线面平行的性质、证明线面平行、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明面，再由线面平行的性质定理证得. （2）建立空间直角坐标系，设，，由点到平面距离的向量求法，表示出点到平面的距离，即可得的关系，根据棱锥的体积公式，利用基本不等式可求得四棱锥体积的最小值. 【详解】（1）略 （2）连接，交于点，因为底面为菱形，所以. 又平面，所以如图建立空间直角坐标系， 设，，则，，，，， 得，，. 设平面的法向量， 则， 所以点到平面的距离为，化简得， 因为，所以，即，当且仅当时，等号成立. 故，即四棱锥体积的最小值为． 2．（2026·上海·模拟预测）如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． (1)求证：； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)因为，平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以； (2) 【难度】0.62 【知识点】面面角的向量求法、线面平行的性质 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证； （2）分别取的中点，连接，根据面面垂直的性质可得平面，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图，分别取，的中点，，连接，，则，， 因为是正三角形，所以，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，，，， 故，， 设平面的法向量为， 则有，令，得， 则可取， 因为平面， 所以即为平面的一个法向量， 则， 所以二面角的大小为． 3．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥的底面为梯形，BC∥AD，底面，，.设平面与平面的交线为l. (1)证明：BC∥l； (2)若二面角A－PD－C的正弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)因为， 平面 ， 平面 ， 所以平面 . 又因为 平面 ，平面 平面 ， 所以 . (2) 【难度】0.62 【知识点】锥体体积的有关计算、面面角的向量求法、线面平行的性质 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面 ，再利用线面平行的性质定理证明 ； （2）建立空间直角坐标系，利用二面角的正弦值求出底面相关边长，进而求出底面积和体积. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，. 又因为，，平面， 所以平面. 如图，过点作， 因为， 所以. 又平面，所以，. 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 设，(). 因为，在中，，即. 则，，，. ，，，. 设平面的法向量为， 则，取，则，，所以. 设平面的法向量为， 则 ， 因为，所以.取，则，所以. 设二面角 的大小为，则. 因为，所以. 所以 . 因为，且，所以. 即. 整理得. 又，代入上式得：，，，解得. 所以，即，. 在梯形中，. 因为，且，所以. 所以底面的面积. 四棱锥的体积. 4．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F． (1)求证：； (2)若，求直线AP与平面BCF所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.66 【知识点】线面平行的性质、线面角的向量求法 【分析】（1）先证得平面，然后根据线面平行的性质定理证得. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AP与平面BCF所成角的正弦值． 【详解】（1）在矩形ABCD中，， 又平面，平面DCP，所以平面， 又因为平面，且平面平面，所以； （2）由（1）可知，又，所以， 又因为E是PC的中点，所以F是PD的中点， 因为平面ABCD，AD，平面ABCD， 所以，， 因为，，即，故. 又在矩形ABCD中，，所以DA，DC，DP两两垂直. 如图以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面BCF的一个法向量为. 由，得， 令，得， 设直线AP与平面BCF所成角为， 则， 故直线AP与平面BCF所成角的正弦值为. 5．（2026·山东青岛·二模）如图，在三棱柱中，过的截面交于，交于，过点的截面交于，交于，且． (1)求证：； (2)若，，直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1) 三棱柱中，平面平面， 截面平面，截面平面， 由面面平行的性质定理得， 又，截面与平面分别交于， ， 由平行公理，平行于同一条直线的两条直线互相平行，故． (2) 【难度】0.52 【知识点】线面平行的性质、线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）根据三棱柱的几何性质，利用面面平行的性质定理，结合平行公理证明结论； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合已知条件求出相关点和向量坐标，设，求出相关点和向量坐标，进而求出平面的法向量，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程求出，进而求解． 【详解】（1）略 （2）已知，， 以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则，设，则， ， 由三棱柱的性质得， ， 设，，，则， ， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则， ，设直线与平面所成角为， ， 化简整理得，解得， ，故． 重难点题型5 面面平行的证明 常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行． 1．（2026·山西晋中·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面ABCD，、分别是PD、AD的中点. (1)求证：平面平面PAB； (2)若二面角的大小为： （ⅰ）求PA的长； （ⅱ）求直线CD与平面BCE所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.62 【知识点】线面角的向量求法、证明面面平行 【分析】(1)通过证明线面平行，从而证明面面平行； (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解空间角的正弦值. 【详解】（1）在PAD中，、分别是PD、AD的中点， 所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB， 因为四边形ABCD是直角梯形，且，所以， 又，是AD的中点，所以，， 所以四边形ABCF是矩形，所以， 因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB， 因为，平面CEF，平面CEF， 所以平面平面PAB； （2）（ⅰ）连接AC，BF， 由（1）同理可证四边形BCDF是平行四边形，所以， 因为四边形ABCF是矩形，，所以四边形ABCF是正方形， 所以，所以， 又平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为，平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC，又平面PAC，又平面PAC，所以PC，PA， 所以是二面角的平面角，即， 所以，因为四边形ABCF是正方形，且， 所以，所以； （ⅱ）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面BCE的一个法向量为，则, 所以，取，则，， 所以，设直线CD与平面BCE所成的角为， 所以 所以直线CD与平面BCE所成角的正弦值为. 2．（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，是斜边的等腰直角三角形，正三角形所在平面与三角形所在平面垂直，梯形中，，且梯形所在平面与三角形所在平面垂直． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.52 【知识点】面面角的向量求法、证明面面平行、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明平面，根据三角形的性质及面面垂直的性质判断平面，平面，进而．方法一，连接BE，构造平行四边形PEBN得到，根据面面平行的判定定理证明平面平面；方法二取BC的中点，连接MF，构造平行四边形MPEF得到，根据面面平行的判定定理证明平面平面； （2）取AB的中点，连接ED，分别以EA，ED，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面PMC与平面PAN的法向量，再利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）因为平面平面，所以平面. 因为是斜边的等腰直角三角形，所以． 如图1，取AC的中点，连接PE． 因为是正三角形，且，所以，且， 又平面平面ABC，平面平面， 所以平面. 因为，平面平面BCMN，平面平面，平面BCMN， 所以平面， 所以． 如图2，连接BE，因为， 所以四边形PEBN为平行四边形，因此． 因为平面平面， 所以平面， 又平面平面PMN， 所以平面平面. 方法二： 如图3，取BC的中点，连接MF． 因为，所以，又，所以， 又，所以四边形BFMN是平行四边形， 所以， 因为，所以， 连接EF，因为平面平面，平面平面，平面BCMN， 所以平面， 又平面，所以， 因此四边形MPEF是平行四边形，． 因为平面平面ABC，所以平面， 又平面平面平面， 所以平面平面. （2）如图4，取AB的中点，连接ED，因为是AC的中点，所以， 又是斜边的等腰直角三角形， 所以，所以． 又平面平面，所以，所以EP，EA，ED两两垂直． 分别以EA，ED，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，） 设平面PMC的法向量为， 则即取，得， 则是平面PMC的一个法向量． 设平面PAN的法向量为， 则即取，得， 则是平面PAN的一个法向量． 设平面PMC与平面PAN的夹角为， 则， 因此平面PMC与平面PAN夹角的余弦值为． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱柱中， ，平面分别是的中点，分别是的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1) 因为分别是的中点，棱柱的侧面是平行四边形，侧棱互相平行且相等， 所以，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面． 连接，由分别是的中点，分别是的中点 ，得，所以，因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2) 【难度】0.62 【知识点】面面角的向量求法、证明面面平行 【分析】（1）由题意可证平面，连接，进而证明平面，利用面面平行的判定定理可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为和面的一个法向量，利用向量法可求得二面角的正弦值． 【详解】（1）略 （2）连接，在棱柱底面中，，所以平分，且． 分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系 则， ， 所以. 设平面的一个法向量， 则，即，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量， 则，即，取，则， 所以平面的一个法向量， 设二面角的大小为， 则，所以， 故二面角的正弦值为． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形 为矩形，平面 ，， ，分别是，， 的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，作交于点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为 ，分别为， 的中点，所以， 而平面，平面， 则平面． 连接 ，因为四边形 为矩形，所以为 中点， 因为是的中点，则， 而平面平面， 所以平面， 又，平面，且， 所以平面平面． (2)（i）证明：以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示． ，，，， 则，， 因为，所以． 由已知得，因为，平面，且， 所以平面， 因为平面，故． （ii） 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直、证明面面平行 【分析】（1）连接 ，证明线面平行，从而得出平面平面． （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，求出，即平面，故． （ⅱ）求出夹角的余弦值，即得到直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）略 （ⅱ）因为，所以， 由（ⅰ）得是平面的法向量． 设直线与平面所成角的大小为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 重难点题型6 面面平行的性质 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 1．（2026·广西崇左·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且. (1)若，证明：平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【难度】0.6 【知识点】已知线面角求其他量、证明线面平行 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据数量积为零可得，从而证得平面.方法二：取的中点，连接，，根据面面平行的判定定理证明平面// 平面，从而得到// 平面；方法三：取的中点，连接，，先证明，再根据线面平行的判定定理证得// 平面. （2）根据线面角的向量求法，列得关于的方程，求解可得的值. 【详解】（1）取的中点，连接. 易证四边形为矩形，所以. 以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，. ，，，， . 设平面的法向量为， 则取，得. 若，则. 因为，所以. 因为平面，所以// 平面. 方法二： 如图，取的中点，连接，. 在中，分别为的中点，所以. 因为平面，平面，所以// 平面. ，，所以四边形是平行四边形，. 因为平面，平面，所以// 平面. 因为，平面，平面，所以平面// 平面. 因为平面，所以// 平面. 方法三： 如图，取的中点，连接，. 在中，，分别为，的中点，所以，. 因为，所以，所以四边形为平行四边形，. 因为平面，平面，所以// 平面. （2）记直线与平面所成的角为， ， 化简得，解得或，所以的值为或. 2．（2026·甘肃·二模）如图，在多面体中，为矩形，分别与平面垂直，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)若共面，求平面和平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明如下： 如图，连接， 是矩形，是的中点， 是的中点， 平面，平面， ， 因为是的中点，， 平面，平面， 平面. (2). 【难度】0.6 【知识点】面面角的向量求法、证明线面平行、面面平行证明线线平行 【分析】（1）由中位线的性质得到，进而证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用四点共面的条件求出点坐标，进而求出两个平面的法向量，最后利用向量夹角公式求出二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 则由已知，，，， 连接，，平面，平面， 平面， 又，平面，平面， 平面， 又平面，平面，且， ∴平面平面， 共面， 平面平面，平面平面， ，同理， 所以四边形为平行四边形， ，且为中点， 可得，则， 设平面的一个法向量为， 则，取， 则平面的一个法向量为， 取平面的一个法向量为， ， 所以平面和平面所成角的余弦值为. 3．（2026·天津·一模）如图，在三棱锥中，平面，，，，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点M到平面的距离． 【答案】(1)证明如下： 取中点，连接，如下图所示：   因为为中点，为中点，所以， 又因为，所以，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为中点，为中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面； (2) (3) 【难度】0.66 【知识点】面面角的向量求法、面面平行证明线面平行、点到平面距离的向量求法、证明面面平行 【分析】（1）取中点，连接，先根据面面平行判定定理证明平面平面，再证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求两平面的夹角的余弦值，根据同角关系求结论； （3）求的坐标，利用向量方法求结论即可. 【详解】（1）（1）略 （2）因，则以为原点，所在直线为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，   则， 设平面的法向量为， 则，故， 所以，取，可得， 所以为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，故， 所以，取，可得， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则，又， 所以； （3）因为，为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 所以点到平面的距离为. 4．（2026·山东临沂·一模）如图，多面体中，四边形为正方形，四边形为矩形，，为的中点. (1)求证：平面； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 证明：如图所示，连接交于点， 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. (2) 【难度】0.51 【知识点】面面平行证明线面平行、线面角的向量求法、证明面面平行、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据题意，分别证得平面，平面，利用面面平行的判定定理，证得平面平面，进而证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，分别求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：因为四边形为矩形，所以， 又因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面， 因为平面，所以，， 又因为四边形为正方形，所以， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 可得， 所以向量， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面的夹角为， 可得， 所以直线与平面的夹角的正弦值为. 重难点题型7 综合应用 证明平行关系的常用方法 熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法． 1．（2026·山东枣庄·三模）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】立体几何中的轨迹问题、证明线面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面平行，可知直线的方向向量与平面的法向量垂直，确定动点坐标之间的联系，从而找到过点且与平面平行的平面，与平面的交线即为动点的轨迹，最后计算轨迹线段长度即可. 【详解】解：由正方体，可建立以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系， 则，，，，所以，， 设平面的法向量，则，所以， 则，取，则，，所以. 由是正方形内的动点（包含边界），可设，其中，，则， 因为平面，所以，则，即，整理得， 当时，，此时，为中点； 当时，，此时，为中点， 连接，不难发现，，且，， 易证，平面平面，所以点的轨迹为线段， 因此，轨迹长. 2．（2026·天津·一模）在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F在底面ABCD内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（   ） A．点F的轨迹是一条线段，且其长度为 B．过，，F三点的截面面积为18 C．沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D．在棱上不存在点P，使得平面 【答案】C 【难度】0.35 【知识点】线面垂直证明线线平行、台体体积的有关计算、判断正方体的截面形状、证明面面平行 【分析】根据题意，取分别为的中点，连接，可得平面平面，所以，可判断A；由于，所以过三点的截面为等腰梯形，求其面积判断B；先求棱台的体积，用间接法判断C；假设存在点，使得平面，则，利用平面向量数量积运算确定点，即可判断D. 【详解】对于A，取分别为的中点，连接， 则，又平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，平面，所以平面平面， 又易得且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面 所以平面平面， 因为直线平面，所以平面， 所以，又，点的轨迹是一条线段，且其长度为，故A正确； 对于B，由A可得， 所以过三点的截面为等腰梯形， 又， 所以等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B正确； 对于C，易知交于一点，故平面切割正方体得到较小的多面体为棱台 其体积为， 所以平面切割正方体得到较大的多面体体积为，所以C错误； 对于D，假设存在点，使得平面， 因为平面，则， 在正方形中，如图建立平面直角坐标系， 则， 设，则， 所以，得，显然不成立，D正确. 3．（2026·山东菏泽·一模）在长方体中，，，.若平面平面，且与四面体的棱、、、分别交于点P、Q、R、S四点，则四棱锥的体积的最大值为________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、由导数求函数的最值（不含参）、面面平行证明线线平行 【分析】设，利用平行线分线段成比例，得出平行四边形的面积，求出体积，再由导数求最大值即可. 【详解】设， 因为平面平面，， 则到平面的距离， 因为平面平面，平面与平面，平面的交线分别为, 所以， 因为平面与平面，平面的交线分别为， 所以，所以， 又，所以, 同理，， 在矩形中，，，所以, 故的夹角为，故的夹角为， 所以， 所以， 由，解得或（舍去）， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 故当时，. 4．（2026·湖南永州·二模）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，分别是棱的中点，是底面内一动点．若直线平面，则三棱锥外接球表面积的最小值为___________． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】判断线面平行、多面体与球体内切外接问题 【分析】先通过面面平行确定点 的轨迹为线段 ，再将三棱锥外接球表面积的最小值，转化为 外接圆半径的最小值，最后利用正弦定理，当 时 最小，从而求出外接球表面积最小值. 【详解】 连接 ，易知平面 平面 ，则点 的轨迹为线段 ， 在三棱锥 中，易知 平面 ，要使三棱锥 外接球表面积最小， 则只需 外接圆的半径 最小， 在 中，由正弦定理得， 又因为 为定值，只需 最小，显然当 时， 有最小值， 的最小值为 ， 所以三棱锥 外接球半径的最小值为， 三棱锥 外接球表面积的最小值为 . 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7-3 直线、平面平行的判定与性质 1．（2026·北京·高考真题）已知直三棱柱，，，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)点在平面内，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求平面与平面的夹角的余弦值． ①； ②； ③平面． 注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分． 2．（2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 3．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 4．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 5．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 7．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 9．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． (1)求证：//平面； (2)若，求三棱锥的体积． 10．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 重难点题型1 平行的性质 1．（2026·上海虹口·三模）设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（     ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2．（2026·北京昌平·二模）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东东莞·二模）设为两个不同平面，为一条直线，则的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知，，是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．（2026·天津红桥·一模）已知是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（    ） A．若平行于同一直线，则 B．若垂直于同一直线，则 C．若不平行，则在内不存在与平行的直线 D．若不平行，则与不可能垂直于同一平面 6．（2026·河北邯郸·一模）在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·甘肃兰州·一模）已知直线，平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 重难点题型2 线面平行的证明（三角形的中位线法） （1）初学者可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一； （2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； （3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三； （4）此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四． 图一 图二 图三 图四 1．（2026·四川成都·模拟预测）如图，在正四棱柱中，是的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 2．（2026·上海·三模）在三棱锥中，平面平面，，，是棱的中点，在棱上，且 平面． (1)证明：是棱的中点； (2)证明：平面，并求三棱锥的体积． 、 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，，，，是上靠近点的三等分点.    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角为，求. 4．（2026·江西·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，，，是的中点．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 5．（2026·湖南岳阳·三模）如图，在三棱锥中，底面，点，分别为棱PC，PB的中点． (1)证明：平面BCD； (2)求直线CD与平面PBC所成角的正弦值． 重难点题型3 线面平行的证明（平行四边形法） （1）初学者可以拿一把直尺放在位置，如图一； （2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二； （3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接， 如图三； （4）此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），，如图四． 图一 图二 图三 图四 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 2．（2026·上海·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． (1)证明：// 平面； (2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值． 3．（2026·广西桂林·模拟预测）如图，已知直三棱柱中，，分别为，的中点，，． (1)求证：直线平面； (2)求三棱锥的体积． 4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，点满足. (1)求证：平面； (2)若平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 重难点题型4 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 1．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. (1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：； (2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 2．（2026·上海·模拟预测）如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． (1)求证：； (2)求二面角的大小． 3．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥的底面为梯形，BC∥AD，底面，，.设平面与平面的交线为l. (1)证明：BC∥l； (2)若二面角A－PD－C的正弦值为，求四棱锥的体积. 4．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F． (1)求证：； (2)若，求直线AP与平面BCF所成角的正弦值． 5．（2026·山东青岛·二模）如图，在三棱柱中，过的截面交于，交于，过点的截面交于，交于，且． (1)求证：； (2)若，，直线与平面所成角的正弦值为，求． 重难点题型5 面面平行的证明 常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行． 1．（2026·山西晋中·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面ABCD，、分别是PD、AD的中点. (1)求证：平面平面PAB； (2)若二面角的大小为： （ⅰ）求PA的长； （ⅱ）求直线CD与平面BCE所成角的正弦值. 2．（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，是斜边的等腰直角三角形，正三角形所在平面与三角形所在平面垂直，梯形中，，且梯形所在平面与三角形所在平面垂直． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱柱中， ，平面分别是的中点，分别是的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正弦值． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形 为矩形，平面 ，， ，分别是，， 的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，作交于点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 重难点题型6 面面平行的性质 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 1．（2026·广西崇左·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且. (1)若，证明：平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 2．（2026·甘肃·二模）如图，在多面体中，为矩形，分别与平面垂直，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)若共面，求平面和平面所成角的余弦值. 3．（2026·天津·一模）如图，在三棱锥中，平面，，，，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点M到平面的距离． 4．（2026·山东临沂·一模）如图，多面体中，四边形为正方形，四边形为矩形，，为的中点. (1)求证：平面； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 重难点题型7 综合应用 证明平行关系的常用方法 熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法． 1．（2026·山东枣庄·三模）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津·一模）在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F在底面ABCD内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（   ） A．点F的轨迹是一条线段，且其长度为 B．过，，F三点的截面面积为18 C．沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D．在棱上不存在点P，使得平面 3．（2026·山东菏泽·一模）在长方体中，，，.若平面平面，且与四面体的棱、、、分别交于点P、Q、R、S四点，则四棱锥的体积的最大值为________. 4．（2026·湖南永州·二模）在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，分别是棱的中点，是底面内一动点．若直线平面，则三棱锥外接球表面积的最小值为___________． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $