第2章 圆锥曲线（知识清单）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

第2章 圆锥曲线 知识点01．圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程： . (2)圆的一般方程： 知识点02．直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离． (2)弦长的求解方法 根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长l＝2. (3)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含． (4)当两圆相交时，两圆方程相减即得公共弦所在直线方程． 知识点03．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF1|＋|PF2|＝ (2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝ (0<2a<|F1F2|) |PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M 标准方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0) 图形 几何性质 范围 |x|≤ ，|y|≤ |x|≥ x≥0 顶点 对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称 焦点 轴 长轴长 ，短轴长 实轴长 ，虚轴长 离心率 e＝＝(0<e<1) e＝＝(e>1) 准线 x＝－ 渐近线 y＝±x 知识点04.直线与圆锥曲线的位置关系 判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断． 弦长公式：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)． 易错提醒 1．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，0<2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支． 2．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误． 3．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解． 4．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行． 易错点01：直线与圆相切漏斜率不存在 1．过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 2．过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（25-26高二上·上海·月考）已知直线和圆． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)判断直线l与圆C的位置关系． 4．（25-26高二上·上海·期中）已知圆． (1)求圆关于直线的对称圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 易错点02：焦点位置判断错误 5．（25-26高二上·上海·期中）椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·上海·期中）双曲线的焦点坐标是 ． 7．（25-26高二上·上海·月考）若椭圆的焦距是2，则实数 ． 8．（25-26高二上·全国·课后作业）椭圆的焦距为2，则的值为 ． 9．（2025·上海·模拟预测）双曲线的焦点坐标为 ． 易错点03：离心率范围混淆 10．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知双曲线，，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·上海·期中）已知焦点在x轴上的椭圆以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线有公共点，则C的离心率的取值范围是 ． 13．已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是 . 14．（25-26高三上·上海·月考）已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 15．已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 16．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 易错点04：双曲线渐近线与直线相交混淆 17．已知双曲线的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，此时为等腰直角三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标． 18．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线：的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，，此时为等腰直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标； (3)当直线与双曲线的左支交于，两点时，直线，分别交直线于，两点，在轴上是否存在定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点坐标，否则，请说明理由． 易错点05：焦点三角形条件误用 19．（2025·上海浦东新·三模）短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 20．（25-26高二上·上海普陀·期末）设焦点为，的椭圆上的一点P也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 ． 21．（24-25高二下·上海静安·期末）若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ． 22．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知椭圆为椭圆的两个焦点，若椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则实数的取值范围是 ． 23．（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别为为该双曲线上第一象限内的点，且，则的内切圆圆心坐标为 . 24．（25-26高二上·上海·期末）设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，若在的右支上存在点，使得和均为等腰三角形，则 ． 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期末）如图，斜线段与平面所成的角为为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（    ）    A．双曲线的一支 B．椭圆 C．抛物线 D．以上都不对 2．（25-26高二上·上海·期末）已知圆的方程为，点为圆内一定点，若过点的弦满足为弦的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·期末）如图，平面中两条直线和相交于点，所成角的大小为．对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”．给出下列命题： 命题甲：“距离坐标”为的点有且仅有4个； 命题乙：所有满足的点在一个以O为圆心的圆上．下列结论正确的是（    ）    A．甲、乙均为真命题 B．甲、乙均为假命题 C．甲为真命题，乙为假命题 D．甲为假命题，乙为真命题 4．（2025·上海普陀·一模）设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（　　） A．的最大值是5 B．的最小值是5 C．的最大值是7 D．的最小值是7 5．（2025·上海长宁·一模）已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·上海宝山·期中）平面上，取定一个非零向量，对于该平面上的圆锥曲线以及不在上的一点P，集合{存在上的点Q，满足，}的元素个数（这里约定元素个数为0）称为点P依对的阶数，简称阶数.给出下面两个命题： ①设是以、为焦点，长轴长为2a的椭圆.若点P满足，则对任意非零向量，点P的阶数均为奇数； ②设是以、为焦点，实轴长为2a的双曲线.若存在非零向量，使得点P的阶数为奇数，则； 下列说法正确的是（   ） A．①是真命题②是假命题 B．①是假命题②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 二、填空题 7．（25-26高二上·上海·期末）已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是 ． 8．（25-26高二上·上海·期末）已知直线与圆，则圆截直线所得的弦长为 ． 9．（25-26高二上·上海·月考）已知双曲线的离心率为，则双曲线两条渐近线的夹角的余弦值为 ． 10．（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径作圆，若椭圆与圆有四个不同的交点，且该四个交点恰为一个面积为的矩形的四个顶点，则椭圆的离心率为 ． 11．（25-26高二上·上海·期末）已知点及抛物线上一动点，则的最小值为 .. 12．（25-26高三上·上海·期末）已知点，若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列曲线：①；②；③；④则其中是型曲线的是 ．（填序号） 13．（2025·上海杨浦·模拟预测）双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于两点，且，则的离心率为 . 三、解答题 14．（25-26高二上·上海·期末）已知点． (1)求外接圆的一般方程． (2)为坐标原点，求直线与直线夹角的余弦值． 15．（25-26高二上·上海·期末）如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点．    (1)设，求线段中点到轴的距离； (2)若直线的倾斜角为，求面积． 16．（25-26高三上·上海·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为，过右焦点作直线交双曲线的右支于两点， (1)求双曲线的方程； (2)过左焦点，作直线的平行线交双曲线的左支于两点，求四边形的面积的最小值； (3)若直线交于点，证明：在定直线上． 17．（25-26高二上·上海·期末）如图，设常数，已知椭圆方程为.    (1)求离心率的值； (2)设，椭圆上有一点，已知点为圆的圆心，过点作圆的两条切线分别交椭圆于两点，且都不与重合； ①设两条切线的斜率分别为、，求的取值范围； ②是否存在圆使得为直角三角形？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由. 18．（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，且是正三角形． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知点，若对于椭圆上任意一点，均有，求实数的取值范围． (3)是否存在椭圆上两个不同的点，使得两点关于直线对称？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 19．（25-26高二上·上海·期末）已知抛物线与椭圆有一个公共焦点. (1)当椭圆经过两点和时，求椭圆和抛物线的方程. (2)若抛物线与椭圆在第一象限和第四象限内的交点分别为和为坐标原点，记由曲线与构成的曲线为. （i）已知是曲线上的动点，求的最小值； （ii）已知为的重心，在曲线上还存在异于的点、，使得的重心也为.证明：、中有且只有两点在抛物线上，且这两点在同一象限内. 20．（25-26高三上·上海松江·期末）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是，的最小值是，满足． (1)求该椭圆的离心率； (2)若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，求直线的斜率； (3)设线段的中点为的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点．记的面积为，的面积为，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 圆锥曲线 知识点01．圆的方程的两种形式 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 知识点02．直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离． (2)弦长的求解方法 根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长l＝2. (3)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含． (4)当两圆相交时，两圆方程相减即得公共弦所在直线方程． 知识点03．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF1|＋|PF2|＝2a (2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a (0<2a<|F1F2|) |PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l交l于点M 标准方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0) 图形 几何性质 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 顶点 (±a,0)，(0，±b) (±a,0) (0,0) 对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称 焦点 (±c,0) 轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e＝＝(0<e<1) e＝＝(e>1) e＝1 准线 x＝－ 渐近线 y＝±x 知识点04.直线与圆锥曲线的位置关系 判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断． 弦长公式：|AB|＝|x1－x2|，或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)． 易错提醒 1．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，0<2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支． 2．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误． 3．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解． 4．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进行． 易错点01：直线与圆相切漏斜率不存在 1．过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离， 解得，则； 综上所述：的方程为或. 故选：A. 2．过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】圆心为，半径为2， 斜率不存在时，直线满足题意， 斜率存在时，设直线方程为，即， 由，得，直线方程为，即． 故选：D． 3．（25-26高二上·上海·月考）已知直线和圆． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)判断直线l与圆C的位置关系． 【详解】（1）圆的方程变成标准方程为. 当过点且与圆C相切的直线斜率不存在时，直线方程为. 此时圆心到直线的距离为，等于半径，所以该直线与圆相切，符合题意； 当过点且与圆C相切的直线斜率存在时，直线方程为，即. 则有圆心到直线的距离为，即. 解得，所以此时直线方程为. 综上，符合题意的直线方程为或. （2）直线，变形得，该直线过定点. 圆心到该直线的距离为，所以直线与圆相交或相切. 4．（25-26高二上·上海·期中）已知圆． (1)求圆关于直线的对称圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【详解】（1）圆的圆心为，半径为4， 关于直线对称点为， 圆关于直线的对称圆的方程为； （2）当过点的直线斜率不存在时，方程为， 此时圆心到的距离为4，等于半径，故满足要求； 当过点的直线斜率存在时，设为， 由题意得，解得， 故直线方程为，即， 综上，切线方程为或. 易错点02：焦点位置判断错误 5．（25-26高二上·上海·期中）椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆的焦点在轴上，， 故焦点坐标为. 故选：B 6．（23-24高二下·上海·期中）双曲线的焦点坐标是 ． 【答案】 【详解】根据双曲线方程可得：，则，因为焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标是， 故答案为： 7．（25-26高二上·上海·月考）若椭圆的焦距是2，则实数 ． 【答案】4或2 【详解】由题意知且， 因为椭圆的焦距是2，即，解得. 所以，或，解得或； 故答案为：4或2. 8．（25-26高二上·全国·课后作业）椭圆的焦距为2，则的值为 ． 【答案】8或10 【详解】因为椭圆的焦距为2， 所以且，， 当焦点在轴上时，，， 则，则． 当焦点在轴上时，，， 则，则． 综上，的值为8或10． 故答案为：8或10． 9．（2025·上海·模拟预测）双曲线的焦点坐标为 ． 【答案】，. 【详解】由双曲线的渐近线为轴与轴，对称轴为，且其焦点在上， 联立方程，解得或， 即其两顶点坐标分别为，，可知其实半轴长为， 且双曲线的渐近线相互垂直，可知双曲线为等轴双曲线， 故其虚半轴长为，可知其半焦距为， 故其焦点坐标分别为，. 故答案为：，. 易错点03：离心率范围混淆 10．设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，则 所以的取值范围是. 故选：D 11．已知双曲线，，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据双曲线方程可得，渐近线方程为，即， 设，设PA中点为Q，由，得， 因为Q在渐近线上，所以，即， 所以点P为圆M与直线的公共点， 由题意圆M的圆心为，半径为2， 则圆心M到直线的距离，， 所以，解得. 所以离心率的取值范围为. 故选：B 12．（25-26高二上·上海·期中）已知焦点在x轴上的椭圆以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线有公共点，则C的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 椭圆焦点在轴上，椭圆短半轴长为，长半轴长为3， 圆的方程为，即该圆的圆心为，半径为， 直线的一般方程为， 设原点到直线距离为，则， 又直线与圆有公共点，， ， ， ，当且仅当时取最大值， ． 13．已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为， 于是得，. 由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在轴上，在轴右侧，如图， 由椭圆及双曲线定义得：，解得，. 因，即，而是线段的中点，因此有， 则有，即，整理得：， 从而有，即有. 又，则有，即，解得， 所以的取值范围是. 故答案为:. 14．（25-26高三上·上海·月考）已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是锐角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】   关于原点对称，双曲线焦点关于原点对称， 四边形是平行四边形，则， ，， 设点在左支，根据双曲线定义得：， 联立可得， 的三条边：，， 是锐角三角形， 的三个内角均为锐角，即 ：，则； ： ，不等式恒成立； ：，则， 双曲线的离心率的取值范围为：． 故答案为： 15．已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设该内切圆在，上的切点分别为， 由切线长定理可得，，， 又，， 所以，所以， 所以，故， 所以， 因为，所以， 故，又， 所以. 故答案为：.    16．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，， 由，得，即，解得， 即，于是，而， 所以双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为： 易错点04：双曲线渐近线与直线相交混淆 17．已知双曲线的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，此时为等腰直角三角形． (1)求双曲线的标准方程； (2)当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标． 【详解】（1）由题意得，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）      渐近线方程为， 当直线与平行时，直线的方程为：， 联立解得. 当直线与平行时，直线的方程为：， 联立解得， 所以直线与双曲线的交点坐标为或. 18．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线：的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，，此时为等腰直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标； (3)当直线与双曲线的左支交于，两点时，直线，分别交直线于，两点，在轴上是否存在定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点坐标，否则，请说明理由． 【详解】（1）由题意得，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）渐近线方程为， 当直线与平行时，直线的方程为：， 联立解得. 当直线与平行时，直线的方程为：， 联立解得， 所以直线与双曲线的交点坐标为或. （3）因为双曲线的渐近线方程为：， 显然当直线与轴重合时，不合题意，故设的方程为，，， 直线的方程为：， 当时，，即P点坐标为， 直线的方程为：， 当时，，即点坐标为， 所以以为直径的圆方程为：， 当时， 联立，消去得，其中， ，且， 所以，. ， 所以， 所以或. 所以轴上存在定点或始终在以为直径的圆上. 易错点05：焦点三角形条件误用 19．（2025·上海浦东新·三模）短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为 . 【答案】 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则， 又离心率为，则，解得， 所以周长为. 故答案为：. 20．（25-26高二上·上海普陀·期末）设焦点为，的椭圆上的一点P也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是 ． 【答案】 【详解】对于椭圆，可得其焦点一定在轴上， 如图，作出符合题意的图形，设，    结合对称性，不妨设点在轴的上方， 由焦半径公式得，解得， 则，将代入抛物线方程，可得，解得，则， 将代入椭圆方程，得到，解得， 则，即， 得到，故. 故答案为： 21．（24-25高二下·上海静安·期末）若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 ． 【答案】1 【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为， 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 由它们有相同的焦点，得到，即． 不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆的定义，② 得， 即有， 又， 可得， ，即， 则的形状是直角三角形 即有的面积为. 故答案为：1. 22．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知椭圆为椭圆的两个焦点，若椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若，由椭圆的对称性知，此时上有两个点符合条件， 若，由椭圆的对称性知，此时上有两个点符合条件， 又椭圆上只存在个点使得为直角三角形，则椭圆上不存在点，使， 则以原点为圆心，半径为的圆与椭圆没有交点，所以， 解得，又，所以， 故答案为：. 23．（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别为为该双曲线上第一象限内的点，且，则的内切圆圆心坐标为 . 【答案】 【详解】如图所示，设，则， 设的内切圆与三边的切点分别为，内切圆半径为，圆心为， 则，，， 由勾股定理有，即， ， 其中， 解得 ， 故，， 故所求坐标为, 故答案为：.    24．（25-26高二上·上海·期末）设为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为、，若在的右支上存在点，使得和均为等腰三角形，则 ． 【答案】或或 【详解】设双曲线方程为，焦点为、， ，，且因为P在右支上，所以，设点（）， 因为为等腰三角形，即或， 因为为等腰三角形，即或或， 如图所示，    先对如下情况一一讨论， 若，，，解得； 若，，所以， 所以，即，解得， 所以，解得； 若，，根据可得， 又因为，所以，也即，矛盾，故该情况舍去； 若，，可得，矛盾，该情况舍去； 若，，则在中，，， 故可得，代入双曲线方程可得，解得或，由于，所以； 若，，则在中，，矛盾，故该情况舍去； 综上所述，或或． 故答案为：或或． 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期末）如图，斜线段与平面所成的角为为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（    ）    A．双曲线的一支 B．椭圆 C．抛物线 D．以上都不对 【答案】B 【详解】因为为定值， 所以点的轨迹为以为旋转轴的圆锥侧面与平面的交线， 由题意知，平面与圆锥旋转轴的夹角为，圆锥母线与旋转轴的夹角为， 因为平面与圆锥旋转轴的夹角大于圆锥母线与旋转轴的夹角， 所以点的轨迹是椭圆. 故选：B. 2．（25-26高二上·上海·期末）已知圆的方程为，点为圆内一定点，若过点的弦满足为弦的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，， 则，， 则直线的方程为， 即， 故选：A. 3．（25-26高二上·上海·期末）如图，平面中两条直线和相交于点，所成角的大小为．对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”．给出下列命题： 命题甲：“距离坐标”为的点有且仅有4个； 命题乙：所有满足的点在一个以O为圆心的圆上．下列结论正确的是（    ）    A．甲、乙均为真命题 B．甲、乙均为假命题 C．甲为真命题，乙为假命题 D．甲为假命题，乙为真命题 【答案】C 【详解】对命题甲：如下图，虚线部分分别为到两条直线的距离为1和2的平行直线，四条虚线总共有4个交点，故坐标为的点有且仅有4个.故命题甲为真命题.    对命题乙：如下图，和分别在直线和上，    易得，则点都在以为圆心，以为半径的圆上. 设点，即点到两条直线的距离均为，且满足. 但此时， 因为，所以，即点在圆外，故命题乙为假命题. 故选：C 4．（2025·上海普陀·一模）设点是抛物线的焦点，点是双曲线的左焦点，点是上在第一象限内的一动点，则下列结论中正确的是（　　） A．的最大值是5 B．的最小值是5 C．的最大值是7 D．的最小值是7 【答案】D 【详解】如图， 由点是抛物线的焦点，故， 由双曲线知，， 故，右焦点， 所以，又双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线右支无交点，故，故AC错误； 由双曲线的定义，， 所以， 即点运动到点，三点共线时，有最小值7，故B错误D正确. 故选：D 5．（2025·上海长宁·一模）已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，知，. 因为点满足：，即 ，且， 所以点在以为焦点的双曲线的左支上，设其方程为， 则其焦距，实轴长，所以，，所以， 所以点在双曲线的左支上，其渐近线方程为. 由曲线方程得. 因为曲线上存在点满足：， 所以直线与双曲线的左支有交点，所以. 故选：A. 6．（25-26高三上·上海宝山·期中）平面上，取定一个非零向量，对于该平面上的圆锥曲线以及不在上的一点P，集合{存在上的点Q，满足，}的元素个数（这里约定元素个数为0）称为点P依对的阶数，简称阶数.给出下面两个命题： ①设是以、为焦点，长轴长为2a的椭圆.若点P满足，则对任意非零向量，点P的阶数均为奇数； ②设是以、为焦点，实轴长为2a的双曲线.若存在非零向量，使得点P的阶数为奇数，则； 下列说法正确的是（   ） A．①是真命题②是假命题 B．①是假命题②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【详解】对于①，因为点P满足，可得P在椭圆内部， 故过P作与椭圆必有两个交点，满足的点只有一个，故点P的阶数均为奇数，①正确； 对于②，不妨取P位于，显然此时，取， 显然只有一个点位于正上方，即点的阶数为奇数，符合题意，但不成立，故②错误. 故选：A 二、填空题 7．（25-26高二上·上海·期末）已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设， 由题意及对称性可得， 则， 即，即， 由曲线的方程可得， 关于的方程需在上有解， 易知，即时，有解， 因为，所以，解得，即或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：.    8．（25-26高二上·上海·期末）已知直线与圆，则圆截直线所得的弦长为 ． 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为： 9．（25-26高二上·上海·月考）已知双曲线的离心率为，则双曲线两条渐近线的夹角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】双曲线的离心率为， 则，双曲线两条渐近线为，则双曲线两条渐近线的倾斜角为， 则双曲线两条渐近线的夹角为，所以双曲线两条渐近线的夹角的余弦值为. 故答案为：. 10．（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径作圆，若椭圆与圆有四个不同的交点，且该四个交点恰为一个面积为的矩形的四个顶点，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【详解】由椭圆，得，则， 以为直径的圆为：， 联立，则， 而矩形其中一个顶点为， 因为矩形的面积为，所以，即， 则，解得，则， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 11．（25-26高二上·上海·期末）已知点及抛物线上一动点，则的最小值为 .. 【答案】2 【详解】设抛物线的焦点为，由易得，准线方程为， 如图：    设为点到准线的距离，则, 则， 当，，共线时取等号，的最小值是. ，则 的最小值是. 故答案为：2 12．（25-26高三上·上海·期末）已知点，若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列曲线：①；②；③；④则其中是型曲线的是 ．（填序号） 【答案】③④ 【详解】对于①，到直线的距离为， 若直线上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则， 以A为圆心，以为半径的圆的方程为，联立， 解得或，后者小于0，所以对应的点不在曲线上，所以①不是． 对于②，化为，图形是第二象限内的四分之一圆弧， 此时连接A点与圆弧和两坐标轴交点构成的三角形顶角最小为135°，所以②不是． 对于③，曲线为双曲线在第四象限的部分，以为圆心作圆， 由图可知，存在圆半径逐渐变大时，圆与曲线由相切变为相交， 当该圆与曲线相交于两点时，且逐渐接近， 所以存在两点满足 ，所以曲线③是型曲线． 对于④：，化为（）这是椭圆在第二象限的部分. 以为圆心作圆，由图可知，存在圆半径逐渐变大时，圆与曲线由相切变为相交， 当该圆与曲线相交于两点时，存在两点满足 ，因此④是Γ型曲线. 故答案为：③④      13．（2025·上海杨浦·模拟预测）双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于两点，且，则的离心率为 . 【答案】 或. 【详解】设双曲线的方程为， 则圆的方程为，直线与圆的切点为连接， ①如图所示，当在双曲线的两支上时， 由题可知， ， ，则 因为，所以； 在三角形中由正弦定理得到， 即，得到； 由双曲线的定义得到，所以， 在三角形中由余弦定理得 ， 即，化简得到 . 此时，离心率为 . ②如图所示，当在双曲线的左支上时， ，由正弦定理得； 由双曲线的定义得到，所以， 在三角形中由余弦定理得 ， 即，化简得到 . 此时，离心率为 . 故答案为： 或. 三、解答题 14．（25-26高二上·上海·期末）已知点． (1)求外接圆的一般方程． (2)为坐标原点，求直线与直线夹角的余弦值． 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将点代入上式， 可得，即， 解得， 所以圆的方程为. （2）由，可得， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 15．（25-26高二上·上海·期末）如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点．    (1)设，求线段中点到轴的距离； (2)若直线的倾斜角为，求面积． 【详解】（1）因为过焦点的直线交抛物线于A，B两点，且， 设，则由抛物线的性质可得， 又由题，所以， 所以线段中点的横坐标即为线段中点到轴的距离为. （2）由直线的倾斜角为，则直线斜率为1，焦点为，所以直线的方程：， 将直线与抛物线联立，整理可得，        设，所以，， 所以，                        原点到直线的距离，      所以.    16．（25-26高三上·上海·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为，过右焦点作直线交双曲线的右支于两点， (1)求双曲线的方程； (2)过左焦点，作直线的平行线交双曲线的左支于两点，求四边形的面积的最小值； (3)若直线交于点，证明：在定直线上． 【详解】（1）因为双曲线的离心率，故， 而双曲线的渐近线为，故右焦点到渐近线的距离为， 而，故， 故双曲线的方程为：. （2）显然直线与轴不垂直，设， 由双曲线的对称性知，结合，即四边形为平行四边形， 且为平行四边形的对角线中点，故， 联立，故， 由于均在双曲线右支，故，故， 而 ， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上，四边形的面积的最小值为 （3）证明：左顶点，右顶点， 设过的直线方程 直线的方程为，直线的方程为， 两式相除得，代入 计算：． 由（2）知， 注意到，代入得：， 因此，解得. 故交点的横坐标恒为，即在定直线上. 17．（25-26高二上·上海·期末）如图，设常数，已知椭圆方程为.    (1)求离心率的值； (2)设，椭圆上有一点，已知点为圆的圆心，过点作圆的两条切线分别交椭圆于两点，且都不与重合； ①设两条切线的斜率分别为、，求的取值范围； ②是否存在圆使得为直角三角形？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由椭圆，可得， 得到 ，故， 即离心率为. （2）当时，椭圆方程为， 由题意得圆的圆心为，半径为， ①设切线方程为，则 ，即， 因为两切线的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得，. 解得且，则或， 故或，即或， ②联立方程 ，得， 设，则， 同理可得 ， 则，由于，故,    若，则，解得， 此时，解得， 结合或，故， 若，则，解得， 此时，解得， 结合或，故， 综上可得，存在圆使得为直角三角形，且. 18．（25-26高二上·上海·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，且是正三角形． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知点，若对于椭圆上任意一点，均有，求实数的取值范围． (3)是否存在椭圆上两个不同的点，使得两点关于直线对称？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由椭圆的左右焦点分别为，，可得， 又由为正三角形，且，可得，即， 所以，所以椭圆的方程为. （2）解：设椭圆上的任意一点，则满足，即， 因为，可得， 将代入得， 由恒成立，即恒成立， 整理得恒成立， 令，可得的开口向上，对称轴为， 当时，即时，在上单调递增， 可得最小值为，解得，矛盾，舍去； 当时，即时，在上递减，在上递增， 可得最小值为，解得，矛盾，舍去； 当时，即时，在上单调递减， 可得最小值为，恒成立， 综上可得，实数的取值范围为. （3）解：假设存在椭圆上两点关于直线对称， 可得，所以的斜率为，可设直线的方程为， 又由的中点在直线上，可得， 联立方程组，整理得， 则，解得， 由，可得，则， 因为，可得，解得， 此时不满足， 所以不存在满足条件的点，使得两点关于直线对称. 19．（25-26高二上·上海·期末）已知抛物线与椭圆有一个公共焦点. (1)当椭圆经过两点和时，求椭圆和抛物线的方程. (2)若抛物线与椭圆在第一象限和第四象限内的交点分别为和为坐标原点，记由曲线与构成的曲线为. （i）已知是曲线上的动点，求的最小值； （ii）已知为的重心，在曲线上还存在异于的点、，使得的重心也为.证明：、中有且只有两点在抛物线上，且这两点在同一象限内. 【详解】（1）设椭圆的方程, 代入和可得， 解得， 则椭圆的方程为， 其焦点，则，， 则抛物线的方程为. （2）（i）联立，解得，， 设抛物线的准线为， 过作于，则， 故当时， 有最小值. （ii）由题意， 设，则有， 且均不为3，故至多有一个大于， 故至少有两个点在抛物线上. 假设三个点均在抛物线上，则 则，则， 即， 同理 则方程的两根为， 则， 同理可得，则两两异号，矛盾， 则只有两个点在抛物线上. 若两点在抛物线、一点在椭圆： 设在抛物线上，在椭圆上， 由， 则， 又， 代入椭圆，得， 化简得， 设，， 由于开口向下，且， 则， 则，同号，且与异号， 故有且只有两点在抛物线上，且这两点在同一象限内. 20．（25-26高三上·上海松江·期末）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点．的最大值是，的最小值是，满足． (1)求该椭圆的离心率； (2)若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，求直线的斜率； (3)设线段的中点为的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点．记的面积为，的面积为，求的取值范围． 【详解】（1）设，则根据椭圆性质得， 而，所以有，即， 因此椭圆的离心率为. （2）若，因为，所以，且， 以原点为圆心，为半径的圆的方程为， 设点，线段的中点， 则，消化简可得，解得或， 因为，所以，计算得，点， 所以直线的斜率为； （3）由（1）可知，，椭圆的方程为. 根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为， 并设则由消去并整理得 从而有， 所以. 因为，所以，. 由与相似， 所以 令，则，从而， 即的取值范围是. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $