专题07 曲线与方程的七种题型（高效培优专项训练）数学沪教版2020选择性必修第一册

专题07 曲线与方程的七种题型 题型一：根据方程判断表示的曲线及曲线性质 题型二：曲线的交点问题 题型三：求点的轨迹 题型四：直线与圆的参数方程 题型五：圆锥曲线的参数方程 题型六：直线与圆的极坐标方程 题型七：极坐标与直角坐标的互化 题型一：根据方程判断表示的曲线及曲线性质 1．已知曲线，点在曲线上，则下列结论中，正确的个数为（   ） ①曲线围成的图形的面积为； ②的最小值为； ③点到直线的距离的最大值为； ④曲线有且仅有4条对称轴 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．定义: 在平面直角坐标系中， 把到定点，的距离之积等于 的点的轨迹称为双纽线C.其形状是无穷大符号“∞”（如图）.已知是双纽线C上的一点，下列说法错误的是（      ） A．双纽线C关于原点O成中心对称 B． C．双纽线C上满足 的点P有两个 D．的最大值为 3．四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功，幸福，平安，健康，表达了人们对美好生活的向往，梵客雅宝公司在设计四叶草吊坠时，利用了曲线，进行绘制，点在曲线上，点，则下列结论错误的是（   ） A．曲线围成的图形面积为 B．的最小值是 C．直线PQ的斜率的最大值为1 D．的取值范围为 4．已知曲线，下列叙述中错误的是（    ） A．垂直于轴的直线与曲线只有一个交点 B．直线与曲线最多有三个交点 C．曲线关于直线对称 D．若、为曲线上任意两点，则有 5．一种形如四叶草的曲线的方程为．给出下列四个结论： ①曲线C有4条对称轴； ②曲线C上的点到原点的最大距离为； ③任取曲线C位于第一象限内的一点，过该点作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积的最大值为； ④四叶草面积小于． 其中所有正确结论的序号是 ． 6．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为 . 7．已知曲线，点为曲线上任意一点，则下列说法正确的有 . ①曲线关于点对称； ②曲线所围成的图形面积小于3； ③点的纵坐标的取值范围为； ④线段长度的最小值为1. 8．设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分.已知曲线过坐标原点，且曲线上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为.给出下列四个结论正确的是    ① ②点在上 ③曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为 ④当点在上时， 9．关于曲线：有下列结论：①曲线表示的图形是圆；②曲线是以原点为中心的对称图形；③曲线位于直线，围成的矩形区域内；④曲线围成的图形的面积等于.则正确命题的序号是 . 10．已知曲线. (1)求曲线围成的平面图形的面积； (2)若是曲线上的两个动点，求的最大值； (3)是否存在直线与曲线至少有三个不同的公共点？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 11．设曲线，则在哪一点处的切线斜率最小？设此点为，求证：曲线关于点中心对称． 12．设曲线． (1)求证：关于直线对称； (2)求证：是某个函数的图象； (3)试求所有实数与，使得直线在的上方． 13．已知曲线E： (1)当，时，曲线E的四个顶点围成平行四边形的面积为4，求曲线E的方程； (2)当，时，正方形ABCD的四个顶点在曲线E上，求正方形ABCD的面积. 14．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．小明同学研究后得到3个结论： 结论①：曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 小明的研究思路：把方程整理成关于的方程，由于有解，故判别式大于等于0，求出的范围从而算出6个整数点． 结论②：曲线所围成的“心形”区域的面积小于3． 小明的研究思路：计算以上定点围成的面积进行观察． 结论③：曲线上任意一点到原点的距离都不超过． 请你沿着小明的思路讨论结论①②是否正确，然后自己尝试研究结论③的正确性． 题型二：曲线的交点问题 1．已知曲线，直线，若与有三个交点，且一个交点平分另两个交点连成的线段，则（    ） A． B． C． D． 2．已知圆与抛物线交于两点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，双曲线与圆交于，，，四个不同的点，与圆交于，，，四个不同的点，四边形与四边形相似，则实数（    ）    A． B．2 C． D． 4．已知平面直角坐标系中的直线、.设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，到、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中.则、公共点的个数不可能为（    ） A．0个 B．4个 C．8个 D．12个 5．函数的对称中心为，且时，函数的最小值为m，则直线与曲线的交点的个数为 个. 6．已知椭圆，若存在以点为圆心，为半径的，该圆与椭圆E恰有两个公共点，且圆上其余各点均在椭圆内部，则t的取值范围是 ． 7．已知，与x轴交点为A，若对于图像上任意一点P，在其图像上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足，且，则 ． 8．给定曲线族，为参数，则这些曲线在直线上所截得的弦长的最大值是 9．已知曲线及点，若曲线上存在相异两点，其到直线的距离分别为和，则 ． 10．已知抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上一动点，点Q为线段PF的中点． (1)求点Q的轨迹方程； (2)求点Q的轨迹与双曲线的交点坐标． 11．已知两个椭圆的方程分别是． (1)求这两个椭圆的中心、焦点的坐标； (2)求经过这两个椭圆的交点且与直线相切的圆的方程． 12．平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上. (1)求圆的方程； (2)圆与直线交于，两点，在圆上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，说明理由. 13．已知圆与抛物线相交于点，，，，且在四边形中，． (1)若，求实数的值； (2)设与相交于点，与组成蝶形的面积为，求点的坐标及的最大值． 题型三：求点的轨迹 1．设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（    ） A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 2．在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 4．已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D． 5．已知双曲线，抛物线.若与在第一象限内有唯一交点，则点的轨迹是（   ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 6．已知，则的圆心的轨迹方程为 . 7．已知，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，为中点，则动点的轨迹方程为 ，的取值范围为 ． 8．过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，设，则点的轨迹方程为 ． 9．已知两定点，动点满足，则动点的轨迹方程为 . 10．已知在平面直角坐标系xOy中，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 ． 11．已知圆，点是直线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的垂心的轨迹方程为 . 12．已知直线l：与圆C：相交于两点. (1)求证：直线l过定点P； (2)过圆C的圆心作直线l的垂线，垂足为H，若，求此时直线l的方程； (3)设圆C在点处的切线交于点Q，求Q的轨迹方程. 13．已知圆，直线过点． (1)当直线与圆相切时，求直线的斜率； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是C上的一点，且的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)斜率为的直线l与C交于A，B两点，直线GA，GB的倾斜角分别为，． ①证明：； ②若动点H满足，求H的轨迹方程． 题型四：直线与圆的参数方程 1．已知圆C：（为参数，），则过点的圆C的最短弦的弦长为（    ） A．2 B． C． D． 2．已知圆的参数方程为，则圆心到直线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．2 3．已知，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则 . 5．已知过定点的直线（其中t为参数）与圆交于M，N两点，则的中点坐标为 ． 6．曲线（为参数）的普通方程为 . 7．已知，设点P(x,y)是单位圆是上一个动点，且满足，则当t由0连续变到时，线段AP扫过的面积是 . 8．已知直线参数方程为，圆的参数方程为，则圆心到直线的距离为 9．在直角坐标系中，已知圆的参数方程是是参数， ，则圆的半径是 ． 10．已知曲线的参数方程为：：（为参数），：，（t为参数）， (1)将参数方程化为普通方程； (2)若曲线与有公共点，求的取值范围． 11．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数，）. (1)在平面直角坐标系中，画出曲线的图象； (2)过定点，斜率的直线与曲线只有一个公共点，求的取值范围. 12．已知直线（t是参数，），曲线（t是参数）. (1)若l与E有公共点，求直线l的斜率的取值范围； (2)若l与E有两个公共点，求直线l的斜率的取值范围. 13．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（t为参数）． (1)求C的直角坐标方程； (2)点是曲线C上在第一象限内的一动点，求的最小值． 14．已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），与相交于，两点． (1)求曲线的普通方程； (2)设，证明：为定值． 题型五：圆锥曲线的参数方程 1．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（其中为参数），则曲线C的普通方程为（   ） A． B． C． D． 2．方程（为参数）对应的曲线轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．下列参数方程能与方程表示同一曲线的是 A．为参数 B．为参数 C．为参数 D．为参数 4．在平面直角坐标系中，已知直线与曲线（为参数）恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为 ． 5．曲线的焦点坐标为 ． 6．（1）将参数方程(为参数)化为普通方程为 ； （2）已知圆的普通方程为，则圆的参数方程为 ． 7．曲线为参数)的两个顶点之间的距离为 . 8．曲线的焦距为 ． 9．在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程为 ． 10．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）． (1)求C与l的交点坐标； (2)求C上的点到的距离的最大值． 11．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），直线的参数方程为为参数）． (1)求和的普通方程； (2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 12．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）. (1)求直线和曲线的普通方程； (2)已知点，若直线与曲线交于，两点，求的值. 13．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线上一点的坐标． (1)将曲线的参数方程化为普通方程； (2)过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A，B，以直线的斜率为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程． 14．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为.若直线交曲线于，两点，求线段的长. 题型六：直线与圆的极坐标方程 1．在极坐标系中，过极点且倾斜角是的直线的极坐标方程可以是（   ） A． B． C． D． 2．极坐标方程表示的图形为（    ） A．两个圆 B．一条直线和一条射线 C．两条直线 D．一个圆和一条射线 3．在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．在极坐标系下，圆心为，半径为3的圆的极坐标方程为(    ) A． B． C． D． 5．已知在极坐标系中，为极点，圆的极坐标方程为，点的极坐标为，则的面积为 6．极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距为 ． 7．极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为 . 8．在极坐标系中，曲线关于 对称. 9．在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为 . 10．已知直线的极坐标方程为，则点到直线的距离为 ． 11．经过点，且垂直与极轴的直线的极坐标方程是 ． 12．在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为（t为参数）．曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线，的极坐标方程； (2)若曲线，的交点为A，B，已知，求． 13．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，曲线的参数方程为（为参数）. (1)求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程； (2)设曲线，交于点，，已知点，求. 14．在极坐标系中，已知曲线：，P是曲线上的动点（异于极点O），延长到Q，使得. (1)若，求点的极坐标； (2)求点轨迹的极坐标方程. 15．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1)求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； (2)设直线与曲线交于两点，若点的直角坐标为，试求当时的值. 题型七：极坐标与直角坐标的互化 1．过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为（    ） A．， B．， C．， D．和， 2．在极坐标系中，已知，，则OA、OB的夹角为（    ） A． B．0 C． D． 3．在极坐标系下，点到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 4．在极坐标系中，定点，点在直线：上运动，当线段最短时，点的极坐标为（    ） A． B． C． D． 5．极坐标系中，圆的圆心的坐标是 . 6．在极坐标系中，过点且与极轴的倾斜角为的直线的极坐标方程是 ． 7．圆的圆心坐标是 ． 8．在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 . 9．在平面直角坐标系xOy中，曲线（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线，设点A，B分别在曲线､上，则的最大值是 . 10．把点的极坐标化成直角坐标为 ． 11．在直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为. (1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； (2)若点在圆C上，求的取值范围． 12．平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． (1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C交于P，Q两点，点，求的值． 13．已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为常数）以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． (1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； (2)若曲线与直线有公共点，求的取值范围． 14．在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． (1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程； (2)若直线l与圆C的交点为A，B，与x轴的交点为P，求的值． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 曲线与方程的七种题型 题型一：根据方程判断表示的曲线及曲线性质 题型二：曲线的交点问题 题型三：求点的轨迹 题型四：直线与圆的参数方程 题型五：圆锥曲线的参数方程 题型六：直线与圆的极坐标方程 题型七：极坐标与直角坐标的互化 题型一：根据方程判断表示的曲线及曲线性质 1．已知曲线，点在曲线上，则下列结论中，正确的个数为（   ） ①曲线围成的图形的面积为； ②的最小值为； ③点到直线的距离的最大值为； ④曲线有且仅有4条对称轴 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】先分的范围得出曲线的方程，再应用图象数形结合分别判断各个选项. 【详解】因为曲线， 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为. 曲线的图象如图所示：    由图可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， 从而曲线围成的图形的面积为，故①正确； 表示点与点的连线的斜率， 由图可知当（且）与直线相切时取得最小值， 设切线为 ，则，解得或（舍去）， 所以的最小值为，故②正确； 点到直线的距离， 结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故③错误； 由曲线的图像可知，曲线围成的图形有4条对称轴， 分别是轴、轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故④正确； 故选：B 2．定义: 在平面直角坐标系中， 把到定点，的距离之积等于 的点的轨迹称为双纽线C.其形状是无穷大符号“∞”（如图）.已知是双纽线C上的一点，下列说法错误的是（      ） A．双纽线C关于原点O成中心对称 B． C．双纽线C上满足 的点P有两个 D．的最大值为 【答案】C 【分析】对于A选项 ，设动点，把关于原点对称的点代入轨迹方程，显然成立； 对于B选项，根据的面积范围证明即可； 对于C选项，易得若则在轴上，再根据的轨迹方程求解即可； 对于D选项，根据题中所给的定点，距离之积等于，再画图利用余弦定理分析中的边长关系，进而利用三角形三边的关系证明即可. 【详解】 对于A选项，设动点，由题可得的轨迹方程，把关于原点对称的点代入轨迹方程显然成立，故A正确； 对于B选项，因为，故. 又，所以， 即，故，故B正确； 对于C选项，若则在的中垂线即轴上. 故此时，代入， 可得，即，仅有一个，故C错误； 对于D选项，因为，故， 即， 因为， 故. 即， 所以. 又，当且仅当共线时取等号. 故， 即，解得，故D正确. 故选：C., 3．四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功，幸福，平安，健康，表达了人们对美好生活的向往，梵客雅宝公司在设计四叶草吊坠时，利用了曲线，进行绘制，点在曲线上，点，则下列结论错误的是（   ） A．曲线围成的图形面积为 B．的最小值是 C．直线PQ的斜率的最大值为1 D．的取值范围为 【答案】B 【分析】对A：根据曲线与圆的关系，结合面积公式，直接求解即可；对B：将问题转化为求到直线的距离的最小值问题，数形结合解决问题；对C：根据直线和圆的位置关系，数形结合，求解问题；对D：根据圆外一点到圆上一点距离的最值求解方法，数形结合，求解即可. 【详解】对曲线方程：， 当时，可化为，即， 故曲线在第一象限是圆心为，半径为的圆上的一段圆弧； 根据对称性可知，该曲线关于轴，轴，以及坐标原点均对称，故其曲线绘制如下：    对A，记点，，显然在曲线上，如下图所示：    因为，故三点共线，则该曲线在第一象限内的面积为一个半圆的面积和面积之和；故曲线围成的图形面积，故A正确； 对B：设点到直线的距离为，则 ， 根据对称性可知，曲线在第三象限内的部分是在圆心为，半径为的圆弧， 数形结合可知，点到直线的距离最小值为， 故，故B错误； 对C：根据题意，作图如下：    数形结合可知，当且仅当为过且与曲线在第四象限内的圆弧相切时，其斜率取得最大值； 根据对称性，曲线在第四象限的部分是在圆心为，半径为的圆弧， 其方程为， 设过点，且斜率存在的直线为，故可得， 整理得：，，解得（舍去）或， 故斜率的最大值为1，故C正确； 对D：记曲线在第一和第二象限圆弧的圆心分别为，如下图所示：    根据圆上一点到圆外一点距离的最值求解，数形结合可知：当点在第一，第四象限时，可以取到最小值； 当点在第二，第三象限时，可取到最大值，为方便，只讨论第一，第二象限的情况. 当点在第一象限时，的最小值为； 当点在第二象限时，的最大值为； 故的取值范围为，故D正确. 故选：B 4．已知曲线，下列叙述中错误的是（    ） A．垂直于轴的直线与曲线只有一个交点 B．直线与曲线最多有三个交点 C．曲线关于直线对称 D．若、为曲线上任意两点，则有 【答案】C 【分析】分析曲线的方程，做出图象.对于A：根据图象即可判断；对于B：根据图象结合双曲线的渐近线分析判断；对于C：根据方程结合直线的对称点特征分析判断；对于D：结合函数单调性分析判断. 【详解】设P是曲线上的点， 当时，可得， 可知曲线的轨迹为双曲线的一部分，渐近线为； 当时，可得等式不成立，故曲线在第二象限无轨迹； 当时，可得， 可知曲线的轨迹为双曲线的一部分，渐近线为； 当时，可得， 可知曲线的轨迹为椭圆的一部分； 根据分析，可画出图像如图所示． 对于选项A：由图可知，垂直于x轴的直线与曲线只有一个交点，故A正确； 对于选项B：由于一、三象限内的轨迹都以为渐近线， 故直线在一、三象限内最多与曲线有两个交点， 在第四象限中最多与椭圆的一部分有两个交点，且不能同时出现， 当在一象限内与曲线有两个交点，则三象限内无交点，在第四象限中最多与椭圆有一个交点 故直线与曲线最多有三个交点，故B正确； 对于选项C：设曲线上的任意在第一象限的点M的坐标为， 则 ，且它关于的对称点为， 代入第三象限曲线方程中， 得，两个方程不一致， 则其不关于直线对称，故C错误； 对于选项D：由图可以看出，轨迹为递增函数，故斜率恒成立，故D正确． 故选：C. 5．一种形如四叶草的曲线的方程为．给出下列四个结论： ①曲线C有4条对称轴； ②曲线C上的点到原点的最大距离为； ③任取曲线C位于第一象限内的一点，过该点作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积的最大值为； ④四叶草面积小于． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】对①：利用、之间的代换判断出对称轴的条数即可得；对②：基本不等式求解出到原点的距离最大值即可得；对③：表示出围成的矩形面积后，结合基本不等式计算即可得；对④：借助三角换元及基本不等式可得、，则可得四叶草在第一象限内面积小于，即可得解. 【详解】对①：将替换为，则，化简得， 方程不变，故曲线C关于轴对称； 将替换为，则，化简得， 方程不变，故曲线C关于轴对称； 将替换为，替换为，则，化简得， 方程不变，故曲线C关于对称； 将替换为，替换为，则， 化简得，方程不变，故曲线C关于对称； 故曲线C有4条对称轴，故①正确； 对②：设，则由， 可得，故， 当且仅当时，等号成立，故曲线C上的点到原点的最大距离为，故②错误； 对③：设在曲线C上，则围成的矩形面积， 由，则，即， 当且仅当时，等号成立，即围成的矩形面积的最大值为，故③正确； 对④：设在曲线C上，令，，， 则由，可得， 即，则， 故，则，令， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故， 由对称性可得，则四叶草在第一象限内面积小于， 则四叶草面积小于，故④正确. 故答案为：①③④. 6．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，若是曲线C上任意一点，的最小值为 . 【答案】 【分析】根据曲线方程分析曲线的性质及形状，问题化为各圆弧上点到直线的距离，再应用圆上点到直线的距离求法确定最值. 【详解】曲线， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 作出曲线如图： 到直线的距离， 则即为，要求得的最小值，结合曲线的对称性， 只需考虑，时的情况； 当，时，曲线C的方程为， 曲线为圆心为，半径为的圆的一部分， 而到直线的距离为， 由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为. 故答案为：. 7．已知曲线，点为曲线上任意一点，则下列说法正确的有 . ①曲线关于点对称； ②曲线所围成的图形面积小于3； ③点的纵坐标的取值范围为； ④线段长度的最小值为1. 【答案】③④ 【分析】根据对称性、面积、图象等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，当时，， 当时，，，无解. 当时，， 解得或，所以曲线过点， 这两点不关于对称，所以①错误. ③，对于，由于，所以，，， 当时，，， 所以无解. 当时，， 解得，所以点的纵坐标的取值范围为，③正确. ②，由③可得，故曲线即为， 整理得， 当时，， 故关于的方程有一正一负两个解， 设， 则 ， ， 而，故， 故在轴的右侧有曲线在直线的上方，在的下方， 而曲线关于轴对称， 故在轴的左侧有曲线在直线的上方，在的下方， 而直线、直线、直线、直线围成的平面区域即为四边形围成的平面区域，其面积为， 故曲线所围成的图形面积大于3，故②错误. ④，设，其中， ， 由于，所以， 所以，所以， 所以线段长度的最小值为1，此时，所以④正确. 故答案为：③④ 8．设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分.已知曲线过坐标原点，且曲线上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为.给出下列四个结论正确的是    ① ②点在上 ③曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为 ④当点在上时， 【答案】①②④ 【分析】根据题意得曲线的方程，再由原点及在曲线上可判断①②，结合不等式的放缩可判断③④. 【详解】设曲线C上任意一点，由题意得. 对于①：因曲线过原点，所以，且，所以，故①正确； 对于②：将代入方程得，所以②正确； 对于③：设是曲线在第一象限的点, 则有, 所以, 令, 则, 因为,且,所以函数在附近单调递减, 即必定存在一小区间使得单调递减, 所以在区间上均有, 所以的纵坐标的最大值一定大于,，故③不正确； 对于④：由，所以，即， 当时，；当时，因，即，所以成立； 所以当在上时，成立，故④正确. 故答案为：①②④. 9．关于曲线：有下列结论：①曲线表示的图形是圆；②曲线是以原点为中心的对称图形；③曲线位于直线，围成的矩形区域内；④曲线围成的图形的面积等于.则正确命题的序号是 . 【答案】②④ 【分析】根据方程分析对称性，根据圆的方程结合对称性作出曲线，结合曲线逐项分析判断即可. 【详解】曲线中， 将用代替，可得，即， 则曲线关于轴对称， 将用代替，用代替，可得，即， 则曲线关于对称， 将用代替，用代替，可得，即， 则曲线关于原点对称， 当时，， 即为， 表示圆心为，半径为的圆的一部分，结合对称性，可知曲线的图形如图所示： 对于①：曲线表示的图形不是圆，故①错误； 对于②：曲线是以原点为中心的对称图形，故②正确； 对于③：曲线不位于直线，围成的矩形区域内，故③错误； 对于④：曲线围成的图形的面积等于，故④正确； 故答案为：②④. 10．已知曲线. (1)求曲线围成的平面图形的面积； (2)若是曲线上的两个动点，求的最大值； (3)是否存在直线与曲线至少有三个不同的公共点？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据对称性，由三角形面积及扇形面积公式计算即可求解； （2）分都在第一象限（或坐标轴正半轴），不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时，不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时，三种情况求解即可； （3）根据对称性，分，两种情况，讨论求解即可. 【详解】（1）曲线既关于两坐标轴成轴对称，又关于原点成中心对称. 当时，曲线方程为. 记圆心为，与轴分别交于两点， 则，过点作， 则， 所以， 所以. 所以， 所以，同理. 由对称性可知，曲线围成的平面图形的面积 . （2）记曲线在第一象限的圆心为，第二象限的圆心为， 第三象限的圆心为､第四象限的圆心为. 情况1：不妨都在第一象限（或坐标轴正半轴），. 情况2：不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时， （当且仅当四点共线时等号成立），此时最大值为6. 情况不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时， （当且仅当四点共线时 等号成立），此时最大值为. 综上，根据对称性可知最大值为. （3）当时，研究直线与曲线在第一象限的公共点. 联立，得（*）. 因为， 所以方程（*）只有一个正根，则直线与曲线在第一象限只有一个公共点. 同理，直线与曲线在第三象限也只有一个公共点. 因此，当时，直线与曲线只有两个公共点. 当时， 一方面，直线与曲线在第二象限的部分至多两个公共点. 另一方面，由，得（*）. 因为， 所以方程（*）无正根，即直线与曲线在第一象限无公共点. 同理，直线与曲线在第三象限无公共点. 所以当时，直线与曲线至多两个公共点. 所以时，直线与曲线至多两个公共点. 由对称性可知，时，直线与曲线也至多两个公共点. 综上，不存在直线与曲线至少有三个不同的公共点. 11．设曲线，则在哪一点处的切线斜率最小？设此点为，求证：曲线关于点中心对称． 【答案】证明见解析 【分析】由函数求函数的导数，求解当时切线斜率有最小值，解得切点，设为曲线上任意一点，关于的对称点为，得两点横纵坐标之间的关系，再求，看是否等于，即可得证. 【详解】证明：，当时切线斜率有最小值为.此点为. 设为曲线上任意一点，关于的对称点为， 则 因为为曲线上任意一点，所以， 又 ， 所以，所以也在曲线上，从而命题得证. 12．设曲线． (1)求证：关于直线对称； (2)求证：是某个函数的图象； (3)试求所有实数与，使得直线在的上方． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）只需证明曲线上任一点关于的对称点是也在曲线上即可； （2）判断对任意实数，只有一个与之对应，即关于的方程只有一解，设，只需判断有且仅有一根即可； （3）首先判断出的图象夹在与之间，故．再由与曲线没有交点，且的值即为所求. 【详解】（1）点关于的对称点是， 若点在曲线上，即， 所以， 即也在曲线上，故关于直线对称． （2）固定，设，则， 当时，恒成立，至多只有一个零点； 当时，令，设，则， 在上单调增，在上单调减，在上单调增， 又， 所以有且仅有一根，即对任意实数，关于的方程只有一解，即对任意实数，只有一个与之对应， 互换曲线方程不变，同理可知对任意实数，只有一个与之对应，所以是某个函数图象． （3）引理：对于上任意一点，恒有． 证明：设，则， 所以，所以的图象夹在与之间，故． 联立，可得， 当时，， 令，则或， 又， 又，，所以，此时方程无解， 当时，方程也无解， 综上：． 13．已知曲线E： (1)当，时，曲线E的四个顶点围成平行四边形的面积为4，求曲线E的方程； (2)当，时，正方形ABCD的四个顶点在曲线E上，求正方形ABCD的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当，时，可得曲线E是一个椭圆，可得椭圆的四个顶点，进而可得四个顶点围成平行四边形的面积，从而可得b，即可求解曲线E的方程； （2）化简曲线E的方程，可得曲线E是两条平行直线，利用两平行线间的距离公式可得正方形的边长，从而可得正方形面积． 【详解】（1）当，时，曲线E的方程为，即，这是一个椭圆， 椭圆的长半轴，短半轴， 椭圆的四个顶点围成的平行四边形面积为， 因此曲线E的方程为 （2）当，时，曲线E的方程为， 即，即， 所以或，因此曲线E是两条平行直线， 两平行线的距离为， 故正方形ABCD的面积为 14．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．小明同学研究后得到3个结论： 结论①：曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 小明的研究思路：把方程整理成关于的方程，由于有解，故判别式大于等于0，求出的范围从而算出6个整数点． 结论②：曲线所围成的“心形”区域的面积小于3． 小明的研究思路：计算以上定点围成的面积进行观察． 结论③：曲线上任意一点到原点的距离都不超过． 请你沿着小明的思路讨论结论①②是否正确，然后自己尝试研究结论③的正确性． 【答案】结论①③正确，②错误． 【分析】①根据，求出，从而可得可为的整数有0，，1，从而可得六个整点；②根据图象可得，从而可得“心形”区域的面积大于3，③利用基本不等式可得，由圆的半径即可求解. 【详解】得， 所以可为的整数有0，，1， 从而曲线恰好经过，，， ，，六个整点，结论①正确． ②如图所示，易知，，，， 四边形的面积， 很明显“心形”区域的面积大于， 即“心形”区域的面积大于3，说法②错误． 由得，解得， 所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过．结论③正确． 题型二：曲线的交点问题 1．已知曲线，直线，若与有三个交点，且一个交点平分另两个交点连成的线段，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线与曲线联立，得出方程，然后韦达定理得出，分类讨论即可得出答案. 【详解】显然与交于点，由，得，得或，设另外两个点为，则，不妨设，已知一个交点平分另两个交点连成的线段， 当时，，此时，则，不合题意； 当时，，得，解得. 又，所以不成立， 故选：A. 2．已知圆与抛物线交于两点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】联立两曲线方程求出交点坐标即可得到结果. 【详解】由得，，解得或， ∵抛物线中，∴， ∴，即， ∴. 故选：C. 3．如图，双曲线与圆交于，，，四个不同的点，与圆交于，，，四个不同的点，四边形与四边形相似，则实数（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，双曲线的方程与圆分别联立，求出，由四边形与四边形相似得或，分别求解即可得出答案. 【详解】设， 由，得， 由，得， 由四边形与四边形相似得或， 当时，即，无解； 当时，即， 故，解得． 故选：D． 4．已知平面直角坐标系中的直线、.设到、距离之和为的点的轨迹是曲线，到、距离平方和为的点的轨迹是曲线，其中.则、公共点的个数不可能为（    ） A．0个 B．4个 C．8个 D．12个 【答案】D 【分析】由题意结合点到直线距离公式，整理等式，可判断曲线为矩形，曲线为椭圆，则由图形的对称性即可得到结果. 【详解】由题意，直线与直线相互垂直，设曲线上的点为，满足，即， 则当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，， 所以曲线是以、、、为顶点的矩形， 设曲线上的点为，满足，即， 所以是椭圆， 所以二者公共点的个数只可能是0、4、8个， 故选：D 5．函数的对称中心为，且时，函数的最小值为m，则直线与曲线的交点的个数为 个. 【答案】2 【分析】由函数的对称性与最值求,,分为当时，当时,当时,当时,四种情况考虑曲线与直线是否有交点即可求解. 【详解】因为函数的对称中心为, 所以函数的对称中心为. 所以，所以曲线方程为. 因为,所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以函数的最小值为9，即， 所以直线方程为. ①当时，曲线，即为， 与直线联立，可得，解得或. 故交点为和； ②当时，曲线，即为， 与直线联立，可得，解得（舍）； ③当时，曲线，即为，不存在； ④当时，曲线，即为， 与直线联立，可得，解得（舍）. 综上，与曲线的交点的个数为2. 故答案为:2. 6．已知椭圆，若存在以点为圆心，为半径的，该圆与椭圆E恰有两个公共点，且圆上其余各点均在椭圆内部，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设圆方程为，与椭圆方程联立方程组，消去后，关于的方程有两个相等实根，，求得相等实根，由根在上得的范围． 【详解】设圆方程为，由得（*）， 因为圆与椭圆恰有两个公共点，所以，， 此时方程（*）的解是，由得． 故答案为：． 【点睛】结论点睛：本题考查圆与椭圆的公共点问题，解题方法利用方程组的解的情况确定公共点的个数，圆心在轴上的圆与椭圆只有两个公共点，则两方程联立消去得关于的方程，此方程有两个相等实根，且实根在区间上． 7．已知，与x轴交点为A，若对于图像上任意一点P，在其图像上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足，且，则 ． 【答案】 【分析】本题根据题意对函数分析之后可画出大致图象，然后结合图象可不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，联立直线与曲线的方程可得P点坐标，同理可得Q点坐标．再分别算出|AP|、|AQ|，再根据|AP|＝|AQ|及k的任意性可解得a的值． 【详解】解：由已知令，解得， 所以点A的坐标为， 则， 所以大致图像如下： 由题意，很明显P、Q两点分别在两个分段曲线上， 不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上． 设直线AP的斜率为k，则． 联立方程：， 整理，得：． ，， ． 再将代入第一个方程，可得：． ∴点P的坐标为：． ． ∵AP⊥AQ， ∴直线AQ的斜率为，则． 同理类似求点P的坐标的过程，可得： 点Q的坐标为：． ∵|AP|＝|AQ|，及k的任意性，可知：，解得：． 故答案为： 8．给定曲线族，为参数，则这些曲线在直线上所截得的弦长的最大值是 【答案】 【分析】联立直线与曲线方程可求交点的横坐标x1，x2，要使曲线族在直线y＝2x上所截得的弦长的最大，则只要|x2﹣x1|最大即可，即t最大即可，根据函数的性质即可求出． 【详解】将y＝2x代入曲线方程得x1＝0，． 令， 则3t﹣1＝（8﹣2t）sinθ+（t+1）cosθ， ∴， ∴弦长． 故弦长的最大值是8， 故答案为8． 【点睛】本题主要考查了直线与曲线相交求解交点、弦长，解题的关键是灵活利用三角函数的性质及弦长公式，属于中档题 9．已知曲线及点，若曲线上存在相异两点，其到直线的距离分别为和，则 ． 【答案】 【分析】根据抛物线定义可将问题转化为曲线与有两个不同的交点，利用抛物线焦半径公式可得；将两曲线方程联立，结合韦达定理可求得结果. 【详解】曲线方程可整理为：，即以为圆心，半径为的上半圆； 到点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，方程为：； 由题意可知：曲线与有两个不同的交点， 由得：， 设，，则， . 故答案为：. 【点睛】结论点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离； 2．若为抛物线上一点，则； 3.若过焦点的弦的端点坐标为，，，则弦长为；可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 10．已知抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上一动点，点Q为线段PF的中点． (1)求点Q的轨迹方程； (2)求点Q的轨迹与双曲线的交点坐标． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）利用中点坐标公式与直接代入法即可求得点Q的轨迹方程； （2）联立两曲线方程，解之即可得解. 【详解】（1）设点Q的坐标为， 因为抛物线C：，所以点F的坐标为， 又点Q为线段PF的中点，所以点P的坐标， 将点P的坐标代入抛物线C的方程，得，整理为， 故点Q的轨迹方程为； （2）联立方，解得， 故点Q的轨迹与双曲线的交点坐标为，． 11．已知两个椭圆的方程分别是． (1)求这两个椭圆的中心、焦点的坐标； (2)求经过这两个椭圆的交点且与直线相切的圆的方程． 【答案】(1)椭圆中心为，焦点为，；椭圆的中心坐标为，焦点坐标为，； (2)或. 【分析】（1）根据椭圆的方程及椭圆的性质即得； （2）由题可得两椭圆的交点坐标，利用待定系数法可得所求圆的方程，然后根据直线与圆的位置关系可得方程，进而即得. 【详解】（1）由可得标准方程， 所以椭圆的中心为，焦点为，； 由可得， 则， 所以椭圆的中心坐标为，焦点坐标为，； （2）由， 解得或， 所以两椭圆的交点为， 设所求圆的方程为， 则， ∴， 方程为，又与直线相切， 所以方程，即的判别式为0， 所以，即， 解得或， 所以所求圆的方程为或. 12．平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上. (1)求圆的方程； (2)圆与直线交于，两点，在圆上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，直线方程为或. 【分析】（1）利用待定系数法即求； （2）利用直线与圆的位置关系可得，然后利用菱形的性质可得圆心到直线的距离，即得. 【详解】（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为，， 设圆的方程为， 则， 解得. ∴圆的方程为； （2）∵圆与直线交于，两点， 圆化为，圆心坐标为，半径为. ∴圆心到直线的距离，解得. 假设存在点，使得四边形为菱形，则与互相平分， ∴圆心到直线的距离， 即，解得，经验证满足条件. ∴存在点，使得四边形为菱形，此时的直线方程为或. 13．已知圆与抛物线相交于点，，，，且在四边形中，． (1)若，求实数的值； (2)设与相交于点，与组成蝶形的面积为，求点的坐标及的最大值． 【答案】(1)1 (2)， 【分析】（1）由圆与抛物线的对称性，判断出四边形是等腰梯形，设，，，， 则，联立方程组，由求出m； （2）由对称性判断出点在x轴上，可设，由，解得.把与组成蝶形的面积表示为整理化简后利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）依据圆与抛物线的对称性，四边形是以x轴为对称轴的等腰梯形， 不妨设，，在第一象限，，，，， 则，         联立，得． 上述方程有互异两正根，则，解得 由，得， ，即； （2）由对称性，点在x轴上，可设， 由，得，∴ 则，即.    当且仅当，即，． 【点睛】（1）解析几何问题常见处理方法： ①正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；②坐标法，把几何关系转化为坐标运算． （2）解析几何中的最值的计算方法有两类： ①几何法：利用几何图形求最值；②代数法：利用函数求最值. 题型三：求点的轨迹 1．设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（    ） A．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B．长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D．长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 【答案】D 【分析】设，，结合向量坐标运算可用，表示，，结合点在圆上，代入计算即得. 【详解】设，，则（*），， 由，， 则，即有， 将其代入（*），，化简得， 即动点的轨迹为长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆. 故选：D. 2．在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，故，再根据向量关系整理代换即可得答案. 【详解】由题，设， 因为，所以， 因为，， 所以，即，代入得. 所以点的轨迹方程为. 故选：D 3．已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】根据两点间距离化简方程，再根据双曲线的定义即可判断. 【详解】设点，点， 而方程的几何意义是点到两定点M，N的距离之差为， 即， ∴动点的轨迹是双曲线的一支． 故选：D. 4．已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】利用两圆内切或外切，与直线相切建立等式，化简可得方程. 【详解】设，当动圆与圆内切时，有，化简得； 当动圆与圆外切时，有，化简得. 故选：C 5．已知双曲线，抛物线.若与在第一象限内有唯一交点，则点的轨迹是（   ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】A 【分析】联立双曲线与抛物线方程得0，利用求出点的横坐标即可得答案. 【详解】因为与在第一象限内存在交点，所以， 又，所以.联立得0， 由对称性可知与在第四象限的交点的横坐标与点的横坐标相等， 故仅有一解，所以，得， 所以.将代入得， 所以点的横坐标为，纵坐标为， 则，轨迹是圆的一部分. 故选：A. 6．已知，则的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】将圆的方程化成标准方程，求出圆心的坐标，利用同角三角函数关系式构建圆心横纵坐标间的关系，即可得到圆心的轨迹方程. 【详解】圆的方程可化为， 设圆心的坐标为，则满足， 由，得，且， 所以，圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 7．已知，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，为中点，则动点的轨迹方程为 ，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】空一：借助垂径定理与圆的定义计算即可得；空二：分析两直线所过定点及位置关系可得点轨迹，结合点轨迹、向量运算法则及圆与圆的位置关系计算即可得解. 【详解】由为中点，则，故， 故动点的轨迹为以为原点，半径为的圆，即为； 对，令，解得，故过定点， 对，令，解得，故过定点， 又，故，故， 故点在以为直径的圆上，又中点为， ，且直线斜率存在， 则点的轨迹方程为（除点）， 由为中点，则，则， 又，，， ，则， 由，点在直线上， 故， 即，则.    故答案为：；. 8．过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，设，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设动点的坐标，根据题目条件列出等式即可求出点坐标，再根据等量关系即可求解轨迹方程. 【详解】设 ，，则 ， ，， ， 代入圆的方程可得： ， 故点轨迹方程为. 故答案为： 9．已知两定点，动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，可得坐标，根据题意，列出等式，化简计算，即可得到答案. 【详解】设，则， 因为， 所以，即， 则，即，且， 整理得，即. 故答案为： 10．已知在平面直角坐标系xOy中，，动点满足，则动点的轨迹方程为 ；点为抛物线上的动点，点在上的射影为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设点的坐标为，进而结合距离公式化简整理得点的轨迹方程为，再结合抛物线的定义，转化求解即可. 【详解】设点的坐标为，则， 因为，所以，整理得， 所以点的轨迹方程为，即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 设抛物线的焦点为，则，故是抛物线的准线， 所以， 因为，所以， 所以， 此时，分别为线段与圆和抛物线的交点. 所以，的最小值为 故答案为：； 11．已知圆，点是直线上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的垂心的轨迹方程为 . 【答案】（去原点） 【分析】先根据圆的性质和相关几何关系确定一些点的轨迹，再利用点与点之间的对称关系来求出的垂心的轨迹方程. 【详解】设，则，， 根据圆的性质可知，设与交于， 由，，且为中点，同时在上，因为在直线上，即， 根据，设，，，则， 又因为，，且， 由可得，，代入，得到，整理得（去原点），所以点轨迹方程为（去原点）； 因为，，所以四边形是平行四边形， 又因为，所以四边形是菱形，故与关于点中心对称， 设，，则； 因为在（去原点）上，将，代入点轨迹方程得； 整理可得（去原点）. 故答案为：（去原点）. 12．已知直线l：与圆C：相交于两点. (1)求证：直线l过定点P； (2)过圆C的圆心作直线l的垂线，垂足为H，若，求此时直线l的方程； (3)设圆C在点处的切线交于点Q，求Q的轨迹方程. 【答案】(1)证明见解析; (2)或; (3). 【分析】（1）利用直线方程找定点，提取参数确定的取值即可； （2）利用几何法，把三等分点问题转化为圆心到直线的距离问题，从而得解； （3）利用公共弦方程原理，来研究动点Q的轨迹方程. 【详解】（1）证明：l：，即， 当，即，时，等式恒成立，故直线l过定点， （2） 由（1）知，圆C：，则圆心，半径， 因为，所以， 设，，则， 所以，， 所以，即，且， 解得，即圆C到直线l的距离为， 所以，解得，符合题意， 此时直线l的方程为或. （3）由题意得，，， 所以四点共圆，且以线段为直径， 设，则的中点， 则Q在圆D：上， 联立圆C：， 得直线MN的方程为：， 因为直线l过定点， 所以，解得， 所以点Q的轨迹方程为. 13．已知圆，直线过点． (1)当直线与圆相切时，求直线的斜率； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可； （2）设点，利用中点坐标公式建立点和点之间的关系式， 再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出. 【详解】（1）已知的圆心是，半径是2， 显然直线斜率存在，设直线斜率为， 则直线方程是，即， 则圆心到直线的距离为， 解得直线的斜率. （2）设点， 由点是的中点得 所以①， 因为在圆上运动，所以②， ①代入②得，， 化简得点的轨迹方程是. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是C上的一点，且的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)斜率为的直线l与C交于A，B两点，直线GA，GB的倾斜角分别为，． ①证明：； ②若动点H满足，求H的轨迹方程． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；② 【分析】（1）设，根据的面积，可求得c值，根据a，b，c的关系，可得，将G点坐标代入，可得，联立求解，即可得答案. （2）①设直线的方程为，，，与椭圆C方程联立，根据韦达定理，可得，的表达式，根据斜率公式，代入化简，可得，即可得证；②设直线的方程为，与椭圆C联立，根据韦达定理，可得，设直线的中点为，代入化简，可得P点坐标，进而可得直线的中垂线方程，同理可得中垂线方程，由题意，H为的中垂线与中垂线的交点，两方程联立，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）设，则的面积为， 解得，所以 由是上的一点，得， 联立，解得， 所以的方程为． （2）①证明：设直线的方程为，代入椭圆， 得， 因为直线与交于，两点，所以，解得， 设，，则，， 所以 ， 即直线与的斜率互为相反数，所以． ②设直线的方程为，即，代入， 得， 因为，为直线与椭圆的交点，所以， 设直线的中点为，则， 所以， 即， 所以直线的中垂线方程为， 即， 根据，设直线的方程为， 同理得中垂线方程为， 因为动点H满足，所以H为的中垂线与中垂线的交点， 联立，得，消去得， 所以的轨迹方程为． 题型四：直线与圆的参数方程 1．已知圆C：（为参数，），则过点的圆C的最短弦的弦长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先将参数方程消去参数化成普通方程，点在圆内，则过点圆的弦中最短的弦长是当弦与垂直时，得解. 【详解】   即，两式平方相加可得， 如图，点在圆内，则过点圆的弦中最短的弦长是当弦与垂直时， ，由勾股定理可得， 所以过点圆的弦中最短的弦长是. 故选：D. 2．已知圆的参数方程为，则圆心到直线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】B 【分析】先由圆的参数方程得到圆心坐标，再用点到直线距离公式进行求解. 【详解】由圆的参数方程可知：圆心坐标为，故圆心到直线的距离为 故选：B 3．已知，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析，得到为等边三角形，进而利用平面向量的数量积运算可求得，利用向量的线性运算可得，然后利用向量模的不等式即可求得其最大值. 【详解】由题可知，，为单位圆上的两个动点， 且满足，故为等边三角形， 则， 所以，，则. 由，， 得， 又，则，因此当与同向时，等号成立， 此时的最大值为. 故选：B. 4．直线（为参数，）和曲线（为参数，）交于、两点，则 . 【答案】/ 【分析】根据消参可得直线方程，和曲线方程，联立直线与曲线方程，根据弦长公式即可求解. 【详解】直线方程为，曲线， 联立消去整理可得， 设则， . 故答案为： 5．已知过定点的直线（其中t为参数）与圆交于M，N两点，则的中点坐标为 ． 【答案】 【分析】把直线的参数方程代入圆的方程，化简后得到一个关于t的一元二次方程，利用韦达定理即可得到的中点的参数，进而求出的中点坐标． 【详解】将直线（其中t为参数）代入圆的方程：， 得，化简得：， 显然，设点所对参数分别为，则有， 线段的中点的参数为，代入直线l的参数方程得线段的中点坐标为. 故答案为： 6．曲线（为参数）的普通方程为 . 【答案】（除点） 【分析】观察式子结构，消去参数即可. 【详解】由题意，，但，，于是普通方程不能表示. 故答案为：（除点） 7．已知，设点P(x,y)是单位圆是上一个动点，且满足，则当t由0连续变到时，线段AP扫过的面积是 . 【答案】 【分析】首先找出点的轨迹，然后利用图形找到线段扫过的图形，根据三角形以及扇形面积公式即可求解. 【详解】由 可知， 点在圆心在原点，半径为1的单位圆上． 如图，当时，， 当时，点运动到， 当时，点运动到，且运动一周的时间为， 故点是顺时针运动到点，线段扫过的面积， 又， 由可得， 故线段扫过的面积为． 故答案为：． 8．已知直线参数方程为，圆的参数方程为，则圆心到直线的距离为 【答案】 【分析】先将参数方程转化为普通方程，找出圆心坐标，再代入点到直线距离公式计算即可. 【详解】将参数方程转化为普通方程： ， 所以圆心为，到直线的距离为： 故答案为：. 9．在直角坐标系中，已知圆的参数方程是是参数， ，则圆的半径是 ． 【答案】2 【分析】根据题意，将参数方程变形为标准方程，分析可得答案． 【详解】解：根据题意，圆的参数方程是是参数， ，其标准方程为， 其半径为2； 故答案为：2． 10．已知曲线的参数方程为：：（为参数），：，（t为参数）， (1)将参数方程化为普通方程； (2)若曲线与有公共点，求的取值范围． 【答案】(1)圆直线. (2) 【分析】（1）曲线的参数方程消去参数，能求出的普通方程；曲线的参数方程消去参数，能求出的普通方程； （2）转化成圆心到直线的距离小于等于半径即可得到不等式，解出即可. 【详解】（1）已知曲线的参数方程为：（为参数）， 化为普通方程为： 曲线的参数方程（为参数），化为普通方程为：. 所以圆直线. （2）如果直线和圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径， 则有，解得. 11．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数，）. (1)在平面直角坐标系中，画出曲线的图象； (2)过定点，斜率的直线与曲线只有一个公共点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）直接消去参数后化为普通方程，从而可画出其图象； （2）结合图象求解即可. 【详解】（1）曲线的普通方程为， 图象为： （2）过定点，斜率的直线与曲线只有一个公共点， 当直线过点时恰有两个公共点，此时， 当直线与圆相切时， 恰有一个公共点，此时， 所以或. 12．已知直线（t是参数，），曲线（t是参数）. (1)若l与E有公共点，求直线l的斜率的取值范围； (2)若l与E有两个公共点，求直线l的斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由参数方程得出直线和曲线的普通方程，结合图象得出直线l的斜率的取值范围； （2）根据（1）中图象得出直线l的斜率的取值范围. 【详解】（1）直线（t为参数，θ∈R）经过点(1+,−1)， 因为曲线中，−1≥0，所以t≤−1或t≥1，故x=∈[−1,0)∪(0,1] 由曲线（t为参数） 得出，则曲线E表示圆的一部分（如图所示） 设直线的方程l:y+1=k(x−1−). 当l与圆相切时，圆心O(0,0)到l的距离d=1， 解得k=−1或k=0. 又， 如图所示，当l与E有公共点时，应有k∈； （2）由图可知，若l与E有两个公共点时，应有，即. 13．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（t为参数）． (1)求C的直角坐标方程； (2)点是曲线C上在第一象限内的一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）平方相加进行消参即可； （2）由在圆上，设，，表示出后借助三角恒等变换化简得，再结合单调性求出最小值. 【详解】（1）由题可知，， 所以． 因为，所以C的直角坐标方程为． （2）点 是曲线C上在第一象限内的一动点，令，，，则 ， 因为上式在上单调递减，故当时，取得最小值． 14．已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），与相交于，两点． (1)求曲线的普通方程； (2)设，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）把平方后相加即可； （2）把直线的参数方程代入曲线的普通方程，化简后，利用韦达定理得到，再利用参数的几何意义即可证明. 【详解】（1）由 得 则， 即曲线的普通方程为． （2）证明： 将的参数方程代入曲线的普通方程， 得， 整理得， 则． ， 则为定值，证毕． 题型五：圆锥曲线的参数方程 1．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（其中为参数），则曲线C的普通方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的平方关系即可得解. 【详解】因为曲线C的参数方程为（其中为参数）， 所以由可得曲线C的普通方程为 . 故选：C. 2．方程（为参数）对应的曲线轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】根据题意，化简得到，两式相减，得到，即可求解. 【详解】由方程（为参数），可得， 两式相减消去参数，可得，所以方程对应的曲线为双曲线. 故选：C. 3．下列参数方程能与方程表示同一曲线的是 A．为参数 B．为参数 C．为参数 D．为参数 【答案】D 【详解】A. ；B. ；C. ；D. ，即 ，故选D. 4．在平面直角坐标系中，已知直线与曲线（为参数）恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将代入中，由判别式大于0得出实数的取值范围. 【详解】将代入中，整理得 当时，，此时直线与曲线只有一个交点. 当时，，解得或 故答案为： 5．曲线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据消去参数，将参数方程化为普通方程，即可求出焦点坐标； 【详解】解：因为，又曲线， 所以，即，所以，即，所以， 即曲线表示焦点在轴上的抛物线，且焦点为； 故答案为： 6．（1）将参数方程(为参数)化为普通方程为 ； （2）已知圆的普通方程为，则圆的参数方程为 ． 【答案】 (θ为参数)． 【分析】（1）消去参数可求出结果； （2）将圆的普通方程化为标准方程，令，，可得圆的参数方程. 【详解】（1）由得 ， 所以， 所以所求普通方程为：. （2）由，可得． 令，， 所以圆的参数方程为(θ为参数)． 故答案为：；(θ为参数). 7．曲线为参数)的两个顶点之间的距离为 . 【答案】 【详解】因为，则，即曲线的两个顶点为，即两个顶点之间的距离为2；故答案为2. 8．曲线的焦距为 ． 【答案】 【分析】将曲线方程化为普通方程，求出的值，即可得出该曲线的焦距. 【详解】由可得， 所以，曲线的普通方程为， 该曲线为椭圆，且，，则， 因此，曲线的焦距为. 故答案为：. 9．在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程为 ． 【答案】 【分析】先把椭圆的参数方程化为普通方程，求出其右焦点坐标，再把直线的参数方程化为普通方程求出其斜率，然后利用点斜式求出方程即可. 【详解】解：由，得，所以，则 所以椭圆的右焦点为， 由，得，所以其斜率为， 所以所求直线为，即， 故答案为：， 【点睛】此题考查了椭圆的参数方程和直线的参数方程，考查了点斜式求直线方程，属于基础题. 10．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）． (1)求C与l的交点坐标； (2)求C上的点到的距离的最大值． 【答案】(1)和； (2) 【分析】（1）把曲线的参数方程化为普通方程，代入直线的参数方程求得参数值，再代入直线参数方程得交点坐标； （2）把直线参数方程化为普通方程，设曲线上点的坐标为，由点到直线距离公式求得距离，利用三角函数知识得最大值． 【详解】（1）由得， 把代入上式得，解得或， 时，时，， 所以C与l的交点坐标是和； （2）由得， 设上的点为，则 到直线的距离为，其中为锐角，，， 所以，当时取得． 11．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），直线的参数方程为为参数）． (1)求和的普通方程； (2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 【答案】(1)C：，当时，直线：， 当时，直线：； (2)2 【分析】(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与两种情况. (2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得 之间关系，求得，即得的斜率． 【详解】（1）由为参数），消去参数，得， 即曲线的直角坐标方程为，由为参数）， 当时，消去参数，可得直线的直角坐标方程为， 当时，可得直线的参数方程为. （2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程， 整理可得：．① 曲线截直线所得线段的中点在椭圆内，则方程①有两解，设为，， 则，故，解得．的斜率为2． 12．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）. (1)求直线和曲线的普通方程； (2)已知点，若直线与曲线交于，两点，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）消去参数后转化为普通方程 【详解】（1）由题意可得直线的普通方程为 对于曲线C，因为，所以， 所以曲线的普通方程为. （2）直线的参数方程的标准形式为， 将其代入曲线的方程得，所以，， 可知 . 13．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线上一点的坐标． (1)将曲线的参数方程化为普通方程； (2)过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A，B，以直线的斜率为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据曲线的参数方程为（为参数），消去参数求解； （2）设的斜率为，方程为，则的方程为：，分别与抛物线方程联立，求得A，B的坐标，再利用中点坐标求解. 【详解】（1）解：因为曲线的参数方程为（为参数）， 消去参数可得：，将点代入可得， 所以曲线的普通方程为：； （2）由已知得：，的斜率存在且不为0， 设的斜率为，方程为，则的方程为：， 联立方程可得：， 同理可得：， 设，所以 所以， 所以即为点轨迹的普通方程． 14．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为.若直线交曲线于，两点，求线段的长. 【答案】 【解析】由，化简得，由，所以直线的直角坐标方程为，因为曲线的参数方程为，整理得，直线的方程与曲线的方程联立，，整理得，设，则，根据弦长公式求解即可. 【详解】由，化简得， 又因为，所以直线的直角坐标方程为， 因为曲线的参数方程为，消去，整理得， 将直线的方程与曲线的方程联立，，消去，整理得， 设，则， 所以， 将，代入上式，整理得. 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程的应用，结合弦长公式的运用，属于中档题. 题型六：直线与圆的极坐标方程 1．在极坐标系中，过极点且倾斜角是的直线的极坐标方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的极坐标方程的表示方法，即可求解. 【详解】因为过极点且倾斜角是，可得直线的极坐标方程可以是. 故选：A. 2．极坐标方程表示的图形为（    ） A．两个圆 B．一条直线和一条射线 C．两条直线 D．一个圆和一条射线 【答案】D 【分析】将极坐标方程进行转化，结合转化后的方程即可求得最终结果. 【详解】由题意可得，极坐标方程为：或， 据此可得极坐标方程表示的图形为一个圆和一条射线. 故选：D. 3．在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据已知确定圆的直角坐标方程，公式法将其化为极坐标方程即可. 【详解】由题设，圆心直角坐标为，即为， 又圆过极点，即直角坐标系的原点，故圆的普通方程为， 所以，即. 故选：B 4．在极坐标系下，圆心为，半径为3的圆的极坐标方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆上除O(0，0)、A外任意一点为，根据几何关系求出ρ和θ的关系即可． 【详解】如图，∵圆的圆心极径为3，圆的半径为3，∴圆过极点O，OC为圆的半径，设OA为圆的直径， 设圆上除O(0，0)、A外任意一点为， 则，，， 在Rt中，，． 故选：BC﹒ 5．已知在极坐标系中，为极点，圆的极坐标方程为，点的极坐标为，则的面积为 【答案】2 【分析】解法1：将圆和点都转化到直角坐标系下表示，用点到直线的距离表示高，计算面积； 解法2：先将圆转化为直角坐标方程，求出圆心的坐标后，再将圆心转化回极坐标表示，在极坐标下计算面积. 【详解】解法1：将转变为直角坐标系方程： ，所以 再求出的直角坐标为，则， 因为，所以， 且，所以 解法2：本题求出后，发现其极坐标为，而， 所以可结合图像利用极坐标的几何含义求解， 可得，， 所以 故答案为：2. 6．极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距为 ． 【答案】 【分析】先将圆的极坐标方程转化为直角坐标方程，求得两个圆的圆心，进而求得两个圆的圆心距. 【详解】可化为， 即，所以圆心坐标为； 可化为， 即，所以圆心坐标为； 所以圆心距为. 故答案为：. 7．极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为 . 【答案】 【分析】化为直角坐标方程，判断为圆，化成标准形式，得到圆的半径，进而求得面积. 【详解】， ， ， ， 表示半径为5的圆，面积为, 故答案为： 8．在极坐标系中，曲线关于 对称. 【答案】（答案不唯一） 【分析】先化为直角坐标方程，再根据方程判断对称轴. 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以曲线是以为圆心的圆，圆心是圆的对称中心， ，在第二象限，， 所以点极坐标为. 故答案为：（答案不唯一） 9．在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为 . 【答案】2 【详解】直线为 ，圆为 ，因为 ，所以有两个交点 【考点】极坐标 【名师点睛】再利用公式  把极坐标方程化为直角坐标方程，再解联立方程组根据判别式判断出交点的个数，极坐标与参数方程为选修课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换. 10．已知直线的极坐标方程为，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【详解】直线的极坐标方程为，即，∴，∴直线的直角坐标方程为，即， 点的直角坐标为，∴点到直线的距离，故答案为3. 点睛：本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题；利用将极坐标转化为直角坐标，结合点到直线的距离公式即可得到最后结果. 11．经过点，且垂直与极轴的直线的极坐标方程是 ． 【答案】 【分析】可把点的极坐标化为直角坐标，得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程． 【详解】的直角坐标是，即， 在直角坐标系中,过点,且垂直于极轴的直线方程为， 其极坐标方程为， 故答案为：． 12．在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为（t为参数）．曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线，的极坐标方程； (2)若曲线，的交点为A，B，已知，求． 【答案】(1)答案见解析 (2)12 【分析】（1）通过消参将参数方程化为普通方程，再将其化为极坐标方程即可； （2）将曲线化为标准参数方程，将其代入的直角坐标方程中得到关于的一元二次方程，根据参数的几何意义即可求出. 【详解】（1）由曲线(为参数，消去参数得， 化成极坐标方程得， 化简极坐标方程为（或）． 曲线（θ为参数），消去参数得，化简极坐标方程为． （2）由已知得在曲线上，将曲线化为标准参数方程（为参数）代入的直角坐标方程，得， 即，即所对应的参数分别为， 所以． 13．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，曲线的参数方程为（为参数）. (1)求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程； (2)设曲线，交于点，，已知点，求. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式化曲线的方程为直角坐标方程，消去参数化曲线的方程为普通方程. （2）求出曲线参数方程的标准形式，并代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理，结合直线参数方程的几何意义求解即得. 【详解】（1）曲线的极坐标方程可以化为，而，， 因此曲线的直角坐标方程为， 消去曲线参数方程中的参数得曲线的普通方程为. （2）曲线的参数方程可化为（为参数）， 将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得， 整理得，， 不妨设，对应的参数分别为，，则，， 显然，又点，则，， 所以. 14．在极坐标系中，已知曲线：，P是曲线上的动点（异于极点O），延长到Q，使得. (1)若，求点的极坐标； (2)求点轨迹的极坐标方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则有，，当，求出得点的极坐标； （2）P是曲线上的动点，满足，将，代入，可得点轨迹的极坐标方程. 【详解】（1）设，，由题意可得，共线，故， 由，得，当，，则， 所以点的极坐标为； （2），，有，，则， P是曲线上的动点，满足，将，代入，可得， 所以点轨迹的极坐标方程为. 15．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1)求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； (2)设直线与曲线交于两点，若点的直角坐标为，试求当时的值. 【答案】(1)，表示以为圆心、为半径的圆 (2) 【分析】（1）利用极坐标方程和普通方程互化公式将曲线C的方程化为一般方程，进而得到圆心半径； （2）联立直线和圆的方程，得到关于的二次方程，由韦达定理得到结果. 【详解】（1）曲线可以化为，， ， 因此，曲线的直角坐标方程为，即， 它表示以为圆心、为半径的圆. （2）当时，直线的参数方程为，（为参数）， 代入中得，， 设两个实数根为，则两点所对应的参数为， 则， 所以， 即. 题型七：极坐标与直角坐标的互化 1．过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为（    ） A．， B．， C．， D．和， 【答案】D 【分析】根据过极点的直线的极坐标方程，可直接得出结果. 【详解】过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程为：和． 故选：D． 2．在极坐标系中，已知，，则OA、OB的夹角为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据极坐标转化为直角坐标以及数量积公式即可求解. 【详解】极坐标转化为直角坐标公式， 所以，， 所以，， 所以，，， 所以， 结合极坐标可知，OA、OB的夹角为， 故选：C. 3．在极坐标系下，点到直线的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据极坐标与直角坐标的互化公式，将极坐标系下的点与直线l化为直角坐标方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】将极坐标系下，点化为直角坐标是，即， 又由直线化简为， 可得直线的普通方程是， 则到直线的距离为 故选：B． 4．在极坐标系中，定点，点在直线：上运动，当线段最短时，点的极坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角坐标系和极坐标系的转化即可解决. 【详解】直线在直角坐标系中的方程为， 点在直线上运动，当线段最短时，即， 又因为点的直角坐标为，设点则， 所以，由，解得，即极坐标为. 故选：B. 5．极坐标系中，圆的圆心的坐标是 . 【答案】 【分析】将原方程化为直角坐标方程得,得圆心坐标为,再把圆心化为极坐标即可. 【详解】将原方程化为圆， 配方可得直角坐标方程得, 圆心坐标为,化为极坐标为. 故答案为：. 6．在极坐标系中，过点且与极轴的倾斜角为的直线的极坐标方程是 ． 【答案】 【分析】把点化为直角坐标，然后点斜式求出直线方程，再化为极坐标方程. 【详解】点的极坐标为，即为， 所以直线的方程为，即， 化为极坐标方程为，即. 故答案为：. 7．圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】先化简极坐标方程为再转化为直角坐标方程求出圆心即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以圆心． 故答案为:． 8．在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 . 【答案】 【分析】根据公式法将极坐标方程化为直角坐标方程，结合点线距计算即可求解. 【详解】圆化为直角坐标方程为，圆心坐标为， 直线化为直角坐标方程为， 所以圆心到直线的距离是. 故答案为： 9．在平面直角坐标系xOy中，曲线（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线，设点A，B分别在曲线､上，则的最大值是 . 【答案】 【分析】将曲线的参数方程转化为普通方程，求出圆心坐标和半径，将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程，求出圆心坐标和半径，判断两圆的位置关系，根据圆的性质可得 即可求解. 【详解】由可得，所以， 所以曲线的普通方程为：，圆心，半径， 由可得，所以， 曲线的直角坐标方程为：，圆心，半径， 因为，所以两圆外离， 因为点分别在曲线上，所以的最大值是， 故答案为：. 10．把点的极坐标化成直角坐标为 ． 【答案】 【分析】根据极坐标与直角坐标之间的互化公式即可求解． 【详解】解：设，故，，故， 故答案为：， 11．在直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为. (1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； (2)若点在圆C上，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）通过消参数可得直线l的普通方程，利用两角和差的余弦公式和化简可得圆C的直角坐标方程； （2）根据圆的参数方程化简，利用辅助角公式结合三角函数求取值范围. 【详解】（1）由得，，即； ， 则，即， 则直线l的普通方程为， 圆C的直角坐标方程为； （2）因点在圆C上，则设， 则 ， 故的取值范围为. 12．平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． (1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C交于P，Q两点，点，求的值． 【答案】(1)曲线C的普通方程为；直线l的直角坐标方程为 (2) 【分析】（1）利用余弦的二倍角公式及，消参即可得到曲线C的普通方程；利用两角差的余弦公式及即可得到直线l的直角坐标方程； （2）写出直线l参数方程的标准形式，再与曲线C的普通方程联立，进而借助参数的几何意义即可求解． 【详解】（1）由，则 ，可得， 所以曲线C的普通方程为． 由， 则，可得， 又，则， 所以直线l的直角坐标方程为． （2）由（1）可设直线l的参数方程为（为参数）， 将其代入曲线C的普通方程化简为， 设点，所对的参数分别为，， 则，，显然，异号， 所以． 13．已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为常数）以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． (1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； (2)若曲线与直线有公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）根据把极坐标方程转化为普通方程，参数方程只需消去参数即可转化为普通方程； （2）根据直线与圆的位置关系列出，解不等式即可. 【详解】（1）由曲线的极坐标方程得，， 即曲线的直角坐标方程为． 由（为参数，为常数）得，， 即直线的普通方程为． （2）由（1）知曲线是以点为圆心，2为半径的圆，圆与直线有公共点， 即圆心到直线的距离， 即，故， 则的取值范围是． 14．在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． (1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程； (2)若直线l与圆C的交点为A，B，与x轴的交点为P，求的值． 【答案】(1)，． (2)2 【分析】（1）①根据圆的参数方程结合三角函数知识消去参数即可得到圆的普通方程；②根据将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程； （2）将直线l的直角坐标方程转化为直线的参数方程，再根据参数的几何意义，即可求得的值. 【详解】（1）（1）①因为圆C的参数方程为（为参数）， 所以，即， 故圆C的普通方程为； ②因为直线l的极坐标方程为， 又，所以， 即直线l直角坐标方程为． （2）因为直线过定点，所以直线的参数方程为（t为参数）， 将其代入圆的方程，得， 由韦达定理得， 由t的几何意义可知，． 60 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $