第1章 坐标平面上的直线（知识清单）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

第1章 坐标平面上的直线 知识点01：直线的倾斜角 1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度． 知识点02：直线的斜率 1．把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 注意点： (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0. 知识点03：倾斜角和斜率的应用 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 知识点04：两条直线平行和垂直的判定 1.两条直线平行的判定 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 2.两条直线垂直的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝－. 知识点05：直线的方程 1.直线的点斜式方程 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 2.直线的斜截式方程 直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 3.直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 4.直线的截距式方程 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 5.直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 6.利用一般式解决直线的平行与垂直问题 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 知识点06：两条直线的交点坐标 1.相交直线的交点坐标 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组的解． 2.判断两直线位置关系的方法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点07：距离公式 1.两点间的距离公式 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝＝·|x2－x1|，或|P1P2|＝|y2－y1|. 2.点到直线的距离公式：d＝. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 3.两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 注意点： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 易错提醒 1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错． 2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等． 3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.当两条直线的斜率相等时，两直线平行或重合，易忽视重合． 4．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解． 避错口诀 倾斜角，范围记，零到 π 不含 π； 斜率算，分母看，为零不存在； 点斜式，有前提，斜率存在才可以； 截距式，三不能，过原垂直都不行； 平行判，斜率等，截距不等再验证； 垂直定，积负一，一零一无也可以； 距离求，绝对值，分母开方别忘记； 含参题，分类全，存在不存在都验 易错点01：倾斜角与斜率：概念混淆与特殊情况遗漏 1．（25-26高二上·上海·月考）已知直线的一个法向量为，则直线的倾斜角 ． 【答案】 【详解】因为直线的一个法向量为，所以取直线的一个方向向量为 所以直线的斜率为 所以 ，所以 所以. 故答案为：. 2．（25-26高二上·上海·期中）已知直线的斜率不存在，则这条直线的倾斜角为 ． 【答案】 【详解】因为直线的斜率不存在，则这条直线的倾斜角为. 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 【答案】 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 因为直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 若直线的倾斜角为，则不存在； 若直线的倾斜角为，则. 综上所述，. 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海·月考）若直线与直线的夹角为，则 . 【答案】 【详解】因轴，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，由图知，， 则. 故答案为：. 5．（2025·上海静安·一模）已知直线与，则直线与的夹角大小是 ． 【答案】 【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得； 直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得； 所以直线与的夹角. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海杨浦·月考）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【答案】 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 7．（24-25高二下·上海·期中）已知一条直线经过点 、 ，则直线 的倾斜角是 . 【答案】 【详解】，所以. 故答案为： 8．（25-26高二上·上海·月考）已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，，， 则，， 因为直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 故答案为： 9．（24-25高二上·上海·月考）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 易错点02: 直线方程：形式适用范围与截距概念混淆 10．（25-26高二上·上海·期中）四条不重合直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是为，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【详解】设直线与与两坐标轴交于，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时取面积最小值，所以. 故选：D. 11．（24-25高二下·上海宝山·期末）经过点且斜率为1的直线方程为 . 【答案】 【详解】因为直线经过点且斜率为1， 所以，即， 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·月考）过点且倾斜角为的直线方程是 ． 【答案】 【详解】由已知直线倾斜角为， 所以直线斜率不存在， 则直线方程为， 故答案为：. 13．（24-25高三上·上海·期中）经过点且法向量为的直线方程为 . 【答案】 【详解】因为直线的法向量为，则直线的斜率， 所以直线方程为，即. 故答案为： 14．（25-26高二上·上海·期末）直线的一个法向量为 ． 【答案】（答案不唯一，） 【详解】直线的斜率， 所以该直线的一个方向向量为，其法向量为可以为. 故答案为： 15．（24-25高二上·上海·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【详解】由直线的一个法向量为，可直线的斜率为， 又由直线过点，所以直线的方程为，即. 故答案为：. 16．（25-26高二上·上海松江·月考）直线所过定点为 【答案】 【详解】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 17．（24-25高二上·上海·月考）直线过，且的一个法向量，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】由的一个法向量，可设， 则有，解得，即直线的方程为. 故答案为：. 18．（25-26高二上·上海青浦·月考）直线过点，且直线的法向量，则的方程为 【答案】 【详解】因为直线的法向量，所以设， 又直线过点，则，得， 则的方程为. 故答案为： 易错点03：两直线位置关系：平行 / 垂直 / 相交的判定与漏解 19．（25-26高二上·上海·期末）设常数，已知直线，直线，则“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【详解】当 时，直线 ：，则， 直线 ：，则， 两直线斜率相同，截距不同，故平行，所以 是直线 的充分条件； 当 时，则 得 ，解得 或 ， 验证 ：：，：， 两直线重合，不满足平行，故舍去，因此， 是直线 的必要条件. 综上，“”是“直线 与直线 平行”的充要条件. 故选：C. 20．（25-26高二上·上海·月考）已知直线，直线，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【详解】若，则，即，解得或， 当时，直线：与：，符合题意； 当时，直线：与：，两直线重合，不合题意. 综上， . 故选：B. 21．（24-25高二下·上海·月考）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】设的坐标为，则的中点坐标为， 则，解得，则点的坐标为. 故答案为： 22．（24-25高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 【答案】 【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线经过， 由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即. 故答案为：. 23．（25-26高二上·上海·期末）若直线：与直线：互相垂直，则 ． 【答案】 【详解】由直线：与直线：互相垂直，得， 所以. 故答案为： 24．（25-26高二上·上海嘉定·月考）过点且与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【详解】由直线化成斜截式为， 故与直线垂直的直线方程的斜率为， 因所求直线经过点，由点斜式可得：， 即：. 故答案为： 25．（23-24高二下·上海·期中）已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 【详解】（1）当时，的斜率不存在，此时与相交，符合题意； 当时，的斜率为，需满足， 解得且； 所以当且时，与相交； （2）若与重合，需满足，且， 解得， 即时，与重合. 26．（23-24高二下·上海·月考）已知直线 (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)判断直线与直线的位置关系 (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【详解】（1）由直线不经过第四象限，又， 则，解得； （2）令，解得，此时直线，显然与平行； 当时，两直线相交， 综上，当时，两直线平行，当时，两直线相交； （3）直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面为， 由直线的方程可得与坐标轴的交点，， 则，解得：． ， 当且仅当，即时取等号． 的最小值为4，及此时直线的方程为：． 易错点04：距离与对称：公式误用与特殊情况忽略 27．（24-25高二下·上海·月考）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 28．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【答案】C 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 29．（25-26高二上·上海·期末）点到直线上的距离为 . 【答案】 【详解】直线，即， 所以点到直线的距离． 故答案为：． 30．（25-26高二上·上海松江·月考）直线与直线间的距离为 【答案】 【详解】直线与直线, 则，且， 所以两直线间的距离为. 故答案为： 31．（25-26高二上·上海·期中）设，点在轴上，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由题意得：点关于轴的对称点， （当且仅当三点共线时取等号）， 又， 则， 故答案为：. 32．（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【答案】 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 33．（25-26高二上·上海·月考）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以． 又点的坐标为，所以，直线的方程为， 由对称性可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为： 34．（24-25高二下·上海青浦·期中）在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是 . 【答案】 【详解】①位于直线的同侧，如左图所示，，正方形边长为， 直线是与正方形的边平行的直线， 到直线的距离之差的绝对值为， 即正方形外与正方形各边平行的直线均符合题意; ②位于直线的异侧，如右图所示，和是半径为的圆上的两段弧， 其中， 直线是或的切线，到直线的距离之差绝对值为， 即或的切线均符合题意. 不在任何一条直线上的点组成的图形如下图阴影所示， 其面积. 故答案为：. 35．（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上. (1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）； (2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围. 【详解】（1）①当时，此时点和点重合，折痕所在的直线方程； ②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为， 所以与关于折痕所在的直线对称，有，即，则． 故点坐标为， 从而折痕所在的直线与的交点坐标（即线段的中点）为． 所以折痕所在的直线方程，即． 综上：由①②可得折痕所在的直线方程为． （2）由（1）可知，对于， 令，可得，令可得， 依题意可得，解得， 如下图，折痕所在的直线与线段、的交点坐标为． 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以折痕的长的取值范围． 易错点05：忘记分类讨论 36．（25-26高二上·上海松江·期中）直线与直线平行，则实数 ． 【答案】或3 【详解】由直线与直线平行， 可得且，解得或． 故答案为：或3． 37．（25-26高二上·上海·月考）已知a为常数，若直线与直线平行，则 ． 【答案】0或2 【详解】根据直线一般式方程，两直线平行的条件可知， 化简得，分解因式可得， 解得或或， 当时，两直线分别为和，均为垂直于轴的直线，平行； 当时，两直线分别为和，斜率均为，且不重合，平行； 当时，两直线分别为和，两直线重合，并非平行，舍去， 综上，或． 故答案为：0或2． 38．（25-26高二上·上海·期末）设常数，若直线与直线的夹角为，则 . 【答案】或 【详解】依题意，设直线与直线的倾斜角分别为，则； 又，所以； 又直线与直线的夹角为， 所以当时， ，即，此时直线的斜率不存在，即； 所以当时， ，即，解得；所以，即，解得； 综上，或. 故答案为：或. 39．（25-26高二上·上海·期末）已知直线，若过点的直线与直线的夹角大小为，则直线的方程为 . 【答案】或 【详解】由题意可知直线的斜率为， 当直线的斜率不存在时，其倾斜角为，此时与直线的夹角大小为， 因为，符合题意，此时直线的方程为， 当直线的斜率存在时，设直线的倾斜角为， 则，解得，即直线的斜率为， 此时直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 故答案为：或. 40．（25-26高三上·上海徐汇·月考）直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为 ． 【答案】或. 【详解】由于直线l的倾斜角为，且，得，则， 因此直线l的斜率，又l过点，直线方程为或， 即或. 故答案为：或. 41．（25-26高二上·上海浦东新·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为 . 【答案】或 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 42．（25-26高二上·上海·月考）已知点，，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的一般式方程为 . 【答案】或 【详解】    如图所示，当、到直线的距离相等时有两种情况， 情况一，直线经过中点，由点，可知点, 则直线为，化简得； 情况二，直线和直线平行，由点，可知， 则直线为，化简得； 故答案为：或 43．（24-25高二下·上海·期中）已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为 ． 【答案】或， 【详解】因为直线与轴、轴分别交于点、点， 所以直线的斜率存在，可设直线的方程为， 所以，，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 此时直线的方程为或， 故答案为：或， 44．（23-24高二上·上海·期中）已知直线过点. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等求直线的方程． 【详解】（1）由题意， 直线过点，， ∴直线方程：，即. （2）由题意， 直线过点，且在轴和轴上的截距相等 当直线过原点时，截距为，方程为 当直线不过原点时，设直线， ∴，解得：，、 ∴直线方程为 综上，直线的方程为：或. 45．（25-26高二上·上海·月考）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程. 【详解】（1）由，可得， 故边上的高所在直线的斜率为，直线又经过点， 故方程为，即. （2）当直线斜率不存在时，此时直线为，，到直线的距离分别为4和2，不符合题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即 此时，到直线的距离相等，则， 化简得，解得或， 故直线方程为或， 即或. 46．（24-25高二上·上海·月考）分别求经过点，且满足下列条件的直线l方程： (1)点与点到直线l的距离相等； (2)直线l被两条平行直线和截得的线段长为． 【详解】（1）法1：直线过线段的中点：中点，直线的斜率， 则直线的方程为； 直线与直线平行：直线的斜率，则直线的方程为； 故直线的方程为或. 法2：当直线的斜率不存在时，，点到直线的距离分别是，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设， 点与点到直线l的距离相等，则，得或， 故直线的方程为或. （2）当直线的斜率不存在时，， 与两条平行直线的交点为，故截得的线段长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设， 得交点； 得交点； 则， 得，则， 综上，直线的方程为或. 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·月考）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，直线的法向量为， 所以直线的方程为， 即， 则原点到的距离. 所以选：C. 2．（24-25高二上·上海·月考）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，方程所得图形关于原点、轴对称， 若在图形上，则、、均在图形上， 显然、满足，、不满足， 又图形是对角线在坐标轴上，边长为1的正方形， 所以，点在图形上，故方程为. 故选：D 3．（25-26高二上·上海·月考）在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为．给出以下两个命题：①若直线使得，则过的内心；②存在，使得满足的直线l至少有两条．则下列说法正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】D 【详解】①设，直线， 对任意确定的，要使得 ，最小， 那么由二次函数的性质可得， 此时直线方程为， 此时直线过的点，因此过的重心，故①错误； ②由①知，取最小值时，l过的重心，不失一般性， 不妨设，其中， 此时的方程为，这里表示直线的倾斜角， 此时 ， 此时为关于的函数、定义域为的函数， 令， 则， 若或，那么函数在上有且仅有一个最小值， 这与已知条件取最小值至少有两条直线满足条件矛盾． 因此必须有且，即， 由得， 不妨取， 所以，即， 所以为等边三角形． 故存在，使得满足的直线l至少有两条，故②正确． 故选：D. 二、填空题 4．（25-26高二上·上海·期末）直线的倾斜角的大小为 ． 【答案】 【详解】可化为， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 又，所以. 故答案为：. 5．（2025·上海金山·一模）已知的三个顶点，则边上的高所在的直线方程为 ． 【答案】 【详解】由题意直线AC的斜率， 所以边上的高的斜率， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 故答案为： 6．（2025·上海奉贤·一模）已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为 ． 【答案】 【详解】因为向量，则与垂直的直线方程斜率为， 则经过点且与垂直的直线方程为， 即得 故答案为： 7．（25-26高三上·上海·期中）已知，，.若，则当时，的最大值为 . 【答案】 【详解】， 设，，，， 则表示到，，，距离之和. 由三角形三边关系，， 当且仅当为与交点时，可同时取等号， 即， 从而为与交点，直线BC斜率为：， 又直线BC过点，则BC方程为：. 直线AD方程为：，则坐标为：. 表示 到直线的距离， 又过定点，则取任意不与垂直且过K直线， 过P作该直线垂线，垂足为，则. 则当直线垂直于时， 到直线距离最大为. 故答案为：.    三、解答题 8．（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知直线：恒过点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； 【详解】（1）直线的方程化为，令，解得， 所以点的坐标为. （2）由（1）知直线恒过定点，当且仅当时，点到直线的距离最大， 而直线的斜率，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 9．（23-24高二下·上海·月考）已知直线，点 (1)求过点P，且与夹角为的直线的一般式方程. (2)设直线m过点，与轴分别交于A，B，且P为A，B中点，求直线m的一般式方程． 【详解】（1）依题意，直线的斜率为1，所求直线斜率存在，设为， 则，解得或， 所以所求直线方程为或，即或. （2）设点，由是线段的中点，得， 又点在直线上，则，解得，即，直线轴， 所以直线的一般式方程为. 10．（23-24高二上·上海浦东新·月考）已知的顶点，，且重心的坐标为． (1)求的面积； (2)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．求的欧拉线的一般式方程． 【详解】（1）设，则由重心的坐标为，有， 解得，即. 故是以为底，为高的三角形，面积.    （2）设的外心，则由外心性质可得在的中垂线上，即， 由，，， 则，即，解得，即. 又，故欧拉线的斜率为， 故的欧拉线的方程为，即.      11．（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【详解】（1）直线：，即， 由，得，所以直线必过定点，此定点坐标为. （2）依题意，，在直线：中，令，得；令，得， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，解得或， 所以或. （3）直线：的斜率为，纵截距为， 由直线不经过平面直角坐标系的第二象限，得，解得， 所以的取值范围是. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 坐标平面上的直线 知识点01：直线的倾斜角 1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度． 知识点02：直线的斜率 1．把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ . 2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 注意点： (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0. 知识点03：倾斜角和斜率的应用 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 不存在 k的增减性 随α的增大而 随α的增大而 知识点04：两条直线平行和垂直的判定 1.两条直线平行的判定 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔ 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 2.两条直线垂直的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率 ，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝－. 知识点05：直线的方程 1.直线的点斜式方程 我们把方程 称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的 ，简称点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 2.直线的斜截式方程 直线l与y轴的交点(0，b)的 叫做直线l在y轴上的截距．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 3.直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称 ． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 4.直线的截距式方程 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线 ，此时直线在y轴上的截距是 . 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 5.直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的 ，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 6.利用一般式解决直线的平行与垂直问题 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 知识点06：两条直线的交点坐标 1.相交直线的交点坐标 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组的解． 2.判断两直线位置关系的方法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)： 方程组的解 一组 无数组 直线l1与l2的公共点的个数 一个 零个 直线l1与l2的位置关系 重合 知识点07：距离公式 1.两点间的距离公式 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝＝·|x2－x1|，或|P1P2|＝|y2－y1|. 2.点到直线的距离公式：d＝. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 3.两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的 的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 注意点： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 易错提醒 1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错． 2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等． 3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.当两条直线的斜率相等时，两直线平行或重合，易忽视重合． 4．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解． 避错口诀 倾斜角，范围记，零到 π 不含 π； 斜率算，分母看，为零不存在； 点斜式，有前提，斜率存在才可以； 截距式，三不能，过原垂直都不行； 平行判，斜率等，截距不等再验证； 垂直定，积负一，一零一无也可以； 距离求，绝对值，分母开方别忘记； 含参题，分类全，存在不存在都验 易错点01：倾斜角与斜率：概念混淆与特殊情况遗漏 1．（25-26高二上·上海·月考）已知直线的一个法向量为，则直线的倾斜角 ． 2．（25-26高二上·上海·期中）已知直线的斜率不存在，则这条直线的倾斜角为 ． 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 4．（24-25高二下·上海·月考）若直线与直线的夹角为，则 . 5．（2025·上海静安·一模）已知直线与，则直线与的夹角大小是 ． 6．（24-25高二下·上海杨浦·月考）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 7．（24-25高二下·上海·期中）已知一条直线经过点 、 ，则直线 的倾斜角是 . 8．（25-26高二上·上海·月考）已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 9．（24-25高二上·上海·月考）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 易错点02: 直线方程：形式适用范围与截距概念混淆 10．（25-26高二上·上海·期中）四条不重合直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是为，则的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 11．（24-25高二下·上海宝山·期末）经过点且斜率为1的直线方程为 . 12．（24-25高二上·上海·月考）过点且倾斜角为的直线方程是 ． 13．（24-25高三上·上海·期中）经过点且法向量为的直线方程为 . 14．（25-26高二上·上海·期末）直线的一个法向量为 ． 15．（24-25高二上·上海·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的一般式方程为 ． 16．（25-26高二上·上海松江·月考）直线所过定点为 17．（24-25高二上·上海·月考）直线过，且的一个法向量，则直线的方程为 . 18．（25-26高二上·上海青浦·月考）直线过点，且直线的法向量，则的方程为 易错点03：两直线位置关系：平行 / 垂直 / 相交的判定与漏解 19．（25-26高二上·上海·期末）设常数，已知直线，直线，则“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 20．（25-26高二上·上海·月考）已知直线，直线，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．1 D．1或 21．（24-25高二下·上海·月考）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 22．（24-25高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 23．（25-26高二上·上海·期末）若直线：与直线：互相垂直，则 ． 24．（25-26高二上·上海嘉定·月考）过点且与直线垂直的直线方程为 . 25．（23-24高二下·上海·期中）已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 26．（23-24高二下·上海·月考）已知直线 (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)判断直线与直线的位置关系 (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 易错点04：距离与对称：公式误用与特殊情况忽略 27．（24-25高二下·上海·月考）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 29．（25-26高二上·上海·期末）点到直线上的距离为 . 30．（25-26高二上·上海松江·月考）直线与直线间的距离为 31．（25-26高二上·上海·期中）设，点在轴上，则的最小值为 ． 32．（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 33．（25-26高二上·上海·月考）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 . 34．（24-25高二下·上海青浦·期中）在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是 . 35．（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上. (1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）； (2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围. 易错点05：忘记分类讨论 36．（25-26高二上·上海松江·期中）直线与直线平行，则实数 ． 37．（25-26高二上·上海·月考）已知a为常数，若直线与直线平行，则 ． 38．（25-26高二上·上海·期末）设常数，若直线与直线的夹角为，则 . 39．（25-26高二上·上海·期末）已知直线，若过点的直线与直线的夹角大小为，则直线的方程为 . 40．（25-26高三上·上海徐汇·月考）直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为 ． 41．（25-26高二上·上海浦东新·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为 . 42．（25-26高二上·上海·月考）已知点，，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的一般式方程为 . 43．（24-25高二下·上海·期中）已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为 ． 44．（23-24高二上·上海·期中）已知直线过点. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等求直线的方程． 45．（25-26高二上·上海·月考）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程. 46．（24-25高二上·上海·月考）分别求经过点，且满足下列条件的直线l方程： (1)点与点到直线l的距离相等； (2)直线l被两条平行直线和截得的线段长为． 一、单选题 1．（24-25高二下·上海·月考）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·月考）以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为1的正方形的四条边的方程为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·月考）在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为．给出以下两个命题：①若直线使得，则过的内心；②存在，使得满足的直线l至少有两条．则下列说法正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 二、填空题 4．（25-26高二上·上海·期末）直线的倾斜角的大小为 ． 5．（2025·上海金山·一模）已知的三个顶点，则边上的高所在的直线方程为 ． 6．（2025·上海奉贤·一模）已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为 ． 7．（25-26高三上·上海·期中）已知，，.若，则当时，的最大值为 . 三、解答题 8．（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知直线：恒过点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； 9．（23-24高二下·上海·月考）已知直线，点 (1)求过点P，且与夹角为的直线的一般式方程. (2)设直线m过点，与轴分别交于A，B，且P为A，B中点，求直线m的一般式方程． 10．（23-24高二上·上海浦东新·月考）已知的顶点，，且重心的坐标为． (1)求的面积； (2)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．求的欧拉线的一般式方程． 11．（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $