专题04 坐标平面上的直线（14个题型）（高效培优期末专项训练）数学沪教版高二选择性必修第一册

专题04 坐标平面上的直线（14个题型） 考点01 斜率与倾斜角的变化关系 考点02 斜率公式的应用 考点03 直线与线段的相交关系求求斜率范围 考点04 直线的方程 考点05 两条直线平行关系的判定 考点06 利用直线的平行关系求参 考点07 两条直线垂直关系的判定 考点08 利用直线的垂直关系求参 考点09 点、直线间的距离问题 考点10 已知点到直线的距离求参 考点11 点与直线的对称问题 考点12 与直线方程有关的面积最值问题 考点13 直线方程的最值问题 考点14 直线方程的综合应用 考点01 斜率与倾斜角的变化关系 1．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用倾斜角的大小，结合正切函数的单调性可作出判断. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，， 则根据图象可得：， 再由正切函数的单调性可知：， 即有， 故选：D. 2．已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围. 【详解】当时，. 当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 3．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用倾斜角与斜率的关系，利用赋值法可得结论. 【详解】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，， 所以，， 取，，满足，可求得，，此时， 所以“”是“”的不充分条件； 取，，满足，但，此时， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 4．若直线的倾斜角的取值范围是，则其斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系求斜率范围. 【详解】由，则. 故答案为： 5．已知直线l的斜率，则该直线的倾斜角α的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围求倾斜角的范围. 【详解】由，得， 又，所以. 故答案为： 6．直线倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求斜率的取值范围，根据倾斜角和斜率的关系，分情况讨论即可. 【详解】由. 所以直线的斜率为：. 设倾斜角为，则（）. 所以当时，； 当时，. 综上，倾斜角的取值范围为：. 故答案为： 考点02 棱柱展开图有关的的最值问题 7．已知两点，所在直线的斜率为，则 . 【答案】 【分析】根据两点的斜率公式计算可得. 【详解】因为两点，所在直线的斜率为， 所以，解得. 故答案为： 8．已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ． 【答案】 【分析】根据直线斜率的定义和两点求斜率公式建立方程，解之即可. 【详解】由题意知， 该直线的斜率为， 解得. 故答案为：. 9．过两点的直线的倾斜角为，那么 . 【答案】1 【分析】 根据给定条件，利用直线斜率的定义及坐标公式求解作答. 【详解】 依题意，直线的斜率，又，则，解得， 所以. 故答案为：1 10．若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】结合倾斜角与斜率、两角和与差的正切公式求得正确答案. 【详解】设直线的倾斜角为、直线的倾斜角为， 由于的斜率为，即， 所以， 由于直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角不是，斜率存在，且斜率为. 所以，解得， 或，解得. 所以实数的值为或. 故答案为：或 11．已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【详解】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 12．点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】把转化为与点所成直线的斜率，作出函数在部分图象上的动点，结合斜率公式，即可求解. 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：.    13．已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 . 【答案】 【分析】由线段，，不能构成三角形知三点共线，由求得的值. 【详解】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线， 显然直线的斜率存在，故，即，解得， 故答案为：4 考点03 直线与线段的相交关系求求斜率范围 14．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 15．设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出 和的值，求出直线的斜率的取值范围. 【详解】解：如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， ∵，， ∴直线的斜率的取值范围是或 ， 故选：A. 16．已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题设，，如下图示，所以． 故选：D 17．已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式求出，再结合图形求出直线l的斜率的取值范围. 【详解】根据题中条件画出图形，如图所示，    因为，，，设直线l的斜率为， 则， 直线l与以为端点的线段相交，结合图形， 则直线l的斜率的取值范围为. 故答案为：. 18．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式求解斜率，即可结合图形求解. 【详解】因为直线的斜率，直线的斜率， 如图：所以要使直线与线段有公共点，的取值范围为． 故答案为： 考点04 直线的方程 19．下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程的含义判断A；根据直线的截距式方程的含义判断B；根据直线的两点式方程的含义判断C；直线经过第一、二、四象限，确定的符号，即可判断D. 【详解】对于A，过点的直线斜率不存在时，表示为， 当直线的斜率存在时，方程才可以表示为，A错误； 对于B，直线在轴，轴的截距分别为， 当均不为0时，则该直线方程才可写为，B错误； 对于C，当时，直线的两点式方程为， 则可化为， 当或时，直线方程为或，依然满足上式，C正确； 对于D，若直线经过第一、二、四象限，则， 则点在第二象限，D错误， 故选：C 20．如果，，那么直线不通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】结合直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系即可求解． 【详解】因为，所以，直线可化为，因为，，所以，也即，，所以直线不过第三象限． 故选：C． 21．若直线l经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则直线l的方程为 【答案】 【分析】先求得直线的斜率，然后根据点斜式方程直接可得. 【详解】由已知设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为. 因为，所以 又直线l经过点， 因此，所求直线方程为，即. 故答案为： 22．直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 【答案】 【分析】思路一：求出交点坐标得直线斜率即可求解；思路二：设所求直线l的方程为，将原点坐标代入求得的值即可. 【详解】方法1：联立，解得，所以两直线的交点为， 所以直线l的斜率为，则直线l的方程为； 方法2：设所求直线l的方程为， 因为直线l经过原点，所以，解得； 所以直线l的方程为. 故答案为：. 23．过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为 ． 【答案】和 【分析】根据截距是否为0，由待定系数法即可求解. 【详解】当在x轴、y轴上的截距为0时，设直线方程为，代入，可得 ，故，此时直线方程为， 当截距均不为0时，设直线方程为，将代入可得，解得， 故直线方程为，即， 综上可得满足条件的直线方程有：和， 故答案为：和 24．已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）令，解方程组即可得解； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【详解】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 25．已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据向量知识推出重心的坐标公式，求出顶点C坐标，再写出边所在直线的方程. （2）通过讨论截距为0和不为0两种情况即可求解. 【详解】（1）设交于，则为的中点，设， 因为点是三角形的重心， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以 ， 故，解得. 边所在直线的方程为，即. （2）当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：， 当截距不为0时， 设直线方程为：，因为点在直线上， 所以，可得， 即直线方程为：； 综上所述：直线方程为或. 考点05 两条直线平行关系的判定 26．已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】“与的平行”则有“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】因为两条直线与不重合，由“与的斜率相等”可得“与平行”； 由“与的平行”则可得“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”， 即“与的斜率相等”是“与的平行”的充分不必要条件. 故选：A. 27．已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 28．已知直线与直线 平行，则直线l 的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两直线平行，斜率相同，求已知直线斜率即可. 【详解】由题可知直线与直线斜率相同，将一般式化为斜截式，所以斜率为. 故选：D 29．直线与的位置关系为 ． 【答案】平行 【分析】由两直线的系数判断位置关系 【详解】因为直线可化为， 直线可化为， 所以两直线的斜率相等且纵轴的截距不相等，因此两直线平行. 故答案为：平行 30．设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线的位置关系并验证求得或，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】由题意知，若，则， 即，解得或或， 当时，轴，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与重合，不符合题意, 综上，或. 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 考点06 利用直线的平行关系求参 31．若直线与平行，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】B 【分析】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【详解】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B 32．已知直线，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】先讨论y的系数为零的情况是否满足题意，再讨论y的系数不为零时的情况，根据直线在一般方程形式时平行所满足的系数关系即可求解． 【详解】当或时两直线不平行， 当且时，∵，∴， 故答案为：． 33．已知直线，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出答案. 【详解】两直线平行，故且， 由得或， 由得，因此. 故答案为：2. 34．直线与直线平行，则实数 ． 【答案】或 【分析】利用两条直线平行列式计算得解. 【详解】由直线与直线平行， 得，所以或. 故答案为：或 考点07 两条直线垂直关系的判定 35．直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【详解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 36．下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【详解】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D. 37．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】B 【分析】利用韦达定理可得,即可判断两直线位置关系 【详解】由题意可设方程的两根为、，则， 所以直线与直线垂直, 故选：B 考点08 利用直线的垂直关系求参 38．已知直线，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．-2 【答案】C 【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可. 【详解】由，， 可知，解得. 故选：C 39． “”是“直线与垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分析可得，两直线垂直恒成立，结合充分条件与必要条件的定义，即可得答案. 【详解】∵对于任意，恒成立， ∴直线与垂直恒成立， ∴“”是“直线与垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 40．已知直线和互相垂直，则实数 . 【答案】2 【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 41．已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】利用直线方程的一般式表达垂直计算可得. 【详解】由两直线垂直可得，解得或1， 当时，直线不存在，故舍掉， 所以. 故答案为：1. 42．已知直线，若，则实数 . 【答案】或1 【分析】根据给定条件，利用直线垂直的充要条件列式计算即得. 【详解】，则根据直线垂直的充要条件列式得到， 解得或. 故答案为：或. 43．已知，直线，且，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由题意，根据直线垂直，先得到，再由，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8 考点09 点与直线间的距离问题 44．点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题意有：点到直线的距离为. 故选：D. 45．点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可得直线恒过定点，记点为点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式，计算可得结果. 【详解】由得， 令，则，解得， 故直线恒过定点， 记点为点，当与直线垂直时， 点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D 46．已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离. 【详解】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D 47．若直线过点，且到点和点的距离相等，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】解法1：设出直线方程，利用两点到直线的距离相等，列出方程并求解，需要根据斜率是否存在进行讨论；解法2：由题意数形结合，可推得直线或直线经过线段的中点，分别求解即可． 【详解】解法1：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即． 由题意知，解得．故直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 解法2：如图，当时，，的方程为，即． 当直线经过线段的中点时，又直线过点，故其方程为. 综上所述，直线的方程为或． 故答案为：或.    48．已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可写出直线的点斜式方程，再化为一般方程即可； （2）将直线的方程变形，求出点的坐标，再利用点到直线的距离公式可求得点到直线的距离. 【详解】（1）因为直线的斜率为，且这条直线经过点， 所以，直线的方程为，化为一般方程即为. （2）直线的方程可化为， 由，解得，即点， 所以，点到直线的距离为. 考点10 已知点到直线的距离求参 49．若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 50．若点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可. 【详解】点到直线的距离公式得，解得或． 故选：C 51．已知，两点到直线的距离相等，则 . 【答案】0或 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式列式计算得解. 【详解】依题意，，所以或. 故答案为：0或 52．已知点在直线上，若的最小值为4，则 ． 【答案】或9 【分析】根据的几何意义，结合点线距离公式求参数即可. 【详解】因为点在直线上， 那么的最小值是定点到直线的距离的平方， 所以，解得或9． 故答案为：或9 53．已知直线； (1)证明：直线l过定点； (2)已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，然后由恒等式知识得结论； （2）利用过定点与的直线和直线垂直时，距离最大可得． 【详解】（1）由直线方程可得，， ， 直线l过恒过定点. （2）由题意可知，点到直线l的距离的最大值为点到定点的距离， 此时直线l与过点与定点的直线垂直， 则过与定点的直线的斜率为，所以， 所以． 54．已知直线：；：． (1)若，求的值； (2)若，且它们的距离为，求， 的值． 【答案】(1)； (2)；或 【分析】（1）求出直线的斜率，根据直线垂直的关系，得到关于的方程，求出的值即可； （2）根据直线平行，求出的值，根据点到直线的距离求出的值即可． 【详解】（1）直线：，斜率是， 直线：，斜率是：， 若，则， 解得； （2）若，则，解得 直线：，直线：， 在直线上取点， 则到的距离是：， 解得：或． 55．已知直线，． (1)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程； (2)若坐标原点O到直线的距离为1，求实数的值． 【答案】(1)或， (2)或 【分析】（1）先求出直线与的交点，然后设出直线的方程，求出直线在两坐标轴上的截距，由截距相反列方程可求出直线的斜率，从而可求出直线的方程； （2）利用点到直线的距离公式列方程可求出实数的值. 【详解】（1）当时，直线， 由，解得， 所以直线与的交点为， 由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 当时，， 当时，， 因为直线在两坐标轴上的截距相反， 所以，即， 解得或， 所以直线的方程为或， 即或， （2）因为坐标原点O到直线的距离为1，直线， 所以， 化简得，解得或. 考点11 点与直线的对称问题 56．如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出点P关于直线与y轴的对称点，从而得到结果. 【详解】由题意易得AB所在的直线方程为，即. 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点P关于直线AB对称的点为， 点P关于y轴对称的点为，则直线MN即直线， 则直线MN的方程为， 故选：D 57．一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】先求点关于x轴的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解. 【详解】由题意得关于x轴的对称点为， 所以. 故选：D. 58．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 59．一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】由对称性，求得关于的对称点，即可求解； 【详解】点关于直线的对称点为， 由题知，入射光线所在的直线经过点和点， 且． 故答案为：． 60．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 【答案】(1). (2). (3) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【详解】（1）设，由已知条件得，解得所以. （2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点， 则解得故. 设直线m与直线l的交点为N，则由解得即. 又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 61．（1）过点作直线使它被直线和截得的线段被点平分，求直线的方程； （2）光线沿直线射入，遇直线后反射，求反射光线所在的直线方程． 【答案】（1） ；（2）． 【分析】（1）设与的交点为，则根据点关于点的对称点在上，求得的值，再根据点和的坐标求出直线的方程； （2）先求得反射点的坐标，在直线上取一点，设关于直线的对称点，求得，再利用直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程． 【详解】解：（1）设与的交点为，则由题意知，点关于点的对称点在上，代入的方程得，∴， 即点在直线上，所以直线的方程为． （2）由，得，∴反射点的坐标为． 又取直线上一点，设关于直线的对称点， 由可知，.而的中点的坐标为. 又点在上，∴. 由得， 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为. 62．已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【详解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 考点12 与直线方程有关的面积最值问题 63．已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）直线方程可化为，故直线过直线与直线的交点，联立求交点可得结论； （2）求直线与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论. 【详解】（1）由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点. （2）已知直线：， 令，得，得. 令，得，得， 则三角形面积为， 当时，分母取得最大值，则此时取到最小值. 此时，直线的方程为，即. 64．已知直线的方程为：． (1)求证：不论为何值，直线必过定点M； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于A，B两点，求面积的最小值及面积取得最小值时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)；． 【分析】（1）依题意可得，即可求出定点坐标； （2）设直线的方程为，表示出、，再由面积公式及基本不等式求出面积的最小值，从而求出的值，即可求出直线方程. 【详解】（1）由，可得， 令，解得，所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点为，， 令，得；令，得； 所以面积 ， 当且仅当，即时，的面积取得最小值为4． 此时直线的方程为． 65．已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）直线方程可化为，故直线过直线与直线的交点，联立求交点可得结论； （2）求直线与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论. 【详解】（1）由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点； （2）已知直线：， 令，得，得， 令，得，得， 则三角形面积为，， 当时，取到最小值， 此时，直线的方程为，即. 66．已知点，直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若，设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2)4 【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围. （2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 【详解】（1）因为直线，联立 所以交点， 因为C在线段AB上，所以， 即，解得 所以或 （2）因为直线，联立 所以交点； 令中，则，所以， 因为，所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为， 设， 所以， 所以当即时，S的最小值为4. 67．已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）直线方程可化为，故直线过直线与直线的交点，联立求交点可得结论； （2）求直线与坐标轴的交点，表示三角形面积，结合二次函数性质求最值可得结论. 【详解】（1）由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点. （2）已知直线：， 令，得，得. 令，得，得， 则三角形面积为，， 当时，取到最小值. 此时，直线的方程为，即. 考点13 直线方程的最值问题 68．，函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据距离公式，利用的几何意义求最小值. 【详解】表示的几何意义为平面内的点到定点的距离， 表示的几何意义为平面内的点到定直线的距离， 所以表示的几何意义是动点到定点和到定直线的距离和， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，当点在线段时，最小，最小值为. 故选：C 69．已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用对称求关于直线对称点为，结合将军饮马模型求最小值. 【详解】令关于直线对称点为，则，可得， 由，则， 当且仅当共线时取等号，故最小值为10. 故选：D 70．已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为直线上的点到点和的距离之和最小，利用对称点求解可得. 【详解】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：. 故选：B 71．函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得表示与、的距离之和，求出C关于x的轴对称点，数形结合，求解即可. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图，    所以， 所以． 故答案为： 72．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 73．已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 74．已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆心C关于x轴的对称点，先求得的最小值，结合图象进而求得的最小值. 【详解】圆，圆心，半径为， 则圆心关于x轴的对称点为， 则， 当且仅当三点共线时取得最小值， 结合图像可知. 故选：C 75．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 【答案】/ 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【详解】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 考点14 直线方程的综合应用 76．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为为平面上动点，直线经过点，记到的距离分别为，若，则称直线为的“直线”．给出以下两个命题： ①存在点，有且仅有三条“直线”； ②存在点，有且仅有四条“直线”． 则下列说法正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【答案】A 【分析】分析得到直线的斜率存在，且，满足要求，要想存在有且仅有三条“直线”，需满足只有1个根，且，此时，，从而①正确；同理，要想存在有且仅有四条“直线”，需满足有2个根，且，不妨取，此时，故，故④正确. 【详解】对于①，当直线的斜率不存在时，设为， 若时，到直线的距离之和为4，不满足要求； 若或时，到直线的距离之和大于4，不满足要求； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，，由可得， 若，则，即，解得， 此时，即， 若，则，即， 解得，此时，即， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 要想存在有且仅有三条“直线”，需满足只有1个根，且， 此时，， 故当点坐标为，此时和时，满足要求， 故存在点，有且仅有三条“直线”，①正确； 对于②，要想存在有且仅有四条“直线”，需满足有2个根，且， 不妨取，此时，故， 所以此时和，满足， 故存在点，有且仅有四条“直线”，②正确. 故选：A 77．“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为 ． 【答案】10 【分析】根据题意可得，结合对称性只研究，，作出图形即可得面积. 【详解】由可得，即， 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 根据，对称性可知，只需讨论，即可． 此时，所以， 可得轨迹在第一象限内与轴和轴所围成的面积为， 所以的面积为． 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：根据方程研究其对称性，这样只需研究，即可，分别理解和计算. 78．已知，，.若，则当时，的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由题可得表示到，，，距离之和，表示 到直线的距离，据此可得答案. 【详解】， 设，，，， 则表示到，，，距离之和. 由三角形三边关系，， 当且仅当为与交点时，可同时取等号， 即， 从而为与交点，直线BC斜率为：， 又直线BC过点，则BC方程为：. 直线AD方程为：，则坐标为：. 表示 到直线的距离， 又过定点，则取任意不与垂直且过K直线， 过P作该直线垂线，垂足为，则. 则当直线垂直于时， 到直线距离最大为. 故答案为：.    79．在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示A、B、C到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为． (1)已知定点，，，直线l的方程为，求的值； (2)已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心； (3)若对于，满足的不同直线l至少有两条，试判断的形状，并予以证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)等边三角形，证明见解析 【分析】（1）根据定义及点到直线距离公式即可求解； （2）设，，，直线，根据定义得出，由二次函数的性质得，，代入直线方程即可证明； （3）不妨设，，，，l的方程为，，得出，由反证法得出，即可证明． 【详解】（1），，， 故． （2）设，，，直线， 对任意固定的a、b，要使得 ，最小， 那么由二次函数的性质可得，， 此时直线方程为， 过的重心，因此过的重心． （3）由（2）知，取最小值时，l过的重心，不失一般性， 不妨设，，，其中， 此时l的方程为，这里θ表示直线l的倾斜角， 此时 ， 此时为关于θ的函数、定义域为的函数， 令，，， 则， 若或，那么函数在上有且仅有一个最小值，这与已知条件取最小值至少有两条直线满足条件矛盾． 因此必须有且，即， 由得， 不妨取， 所以，，， 所以，即， 所以为等边三角形． 80．已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． (1)若直线l的一个法向量为，求直线l的斜率及倾斜角； (2)若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． (3)若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的斜率为，倾斜角为； (2)证明见解析，定点为； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）直接利用直线的法向量、斜率、倾斜角定义计算即可； （2）设直线m方程，计算四边形交点，求其面积结合直线过定点计算即可； （3）设直线方程，联立直线得坐标，由弦长公式、三角形面积公式建立方程组计算参数即可说明. 【详解】（1）易知，其法向量为，则， 所以，即该直线的斜率为，倾斜角为； （2）设，直线m与l及x轴的交点分别为，l与y轴交于F点， 易知此时，则，， 显然四边形为直角梯形，其面积为， 所以，故时，恒有，即过定点； （3）设，则易知， 因为直线AB与相交，所以， 联立直线方程可知：，， ， ， 若存在满足条件的直线，则有， 则，整理得，即，与前提矛盾， 故不存在直线符合题意. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 坐标平面上的直线（14个题型） 考点01 斜率与倾斜角的变化关系 考点02 斜率公式的应用 考点03 直线与线段的相交关系求求斜率范围 考点04 直线的方程 考点05 两条直线平行关系的判定 考点06 利用直线的平行关系求参 考点07 两条直线垂直关系的判定 考点08 利用直线的垂直关系求参 考点09 点、直线间的距离问题 考点10 已知点到直线的距离求参 考点11 点与直线的对称问题 考点12 与直线方程有关的面积最值问题 考点13 直线方程的最值问题 考点14 直线方程的综合应用 考点01 斜率与倾斜角的变化关系 1．如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若直线的倾斜角的取值范围是，则其斜率的取值范围是 . 5．已知直线l的斜率，则该直线的倾斜角α的取值范围为 ． 6．直线倾斜角的取值范围是 ． 考点02 棱柱展开图有关的的最值问题 7．已知两点，所在直线的斜率为，则 . 8．已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ． 9．过两点的直线的倾斜角为，那么 . 10．若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 11．已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 12．点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 13．已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 . 考点03 直线与线段的相交关系求求斜率范围 14．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 16．已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 18．已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 ． 考点04 直线的方程 19．下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 20．如果，，那么直线不通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21．若直线l经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，则直线l的方程为 22．直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 23．过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为 ． 24．已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 25．已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 考点05 两条直线平行关系的判定 26．已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 27．已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 28．已知直线与直线 平行，则直线l 的斜率为（    ） A． B． C． D． 29．直线与的位置关系为 ． 30．设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点06 利用直线的平行关系求参 31．若直线与平行，则实数的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 32．已知直线，，若，则的值为 ． 33．已知直线，，若，则的值为 . 34．直线与直线平行，则实数 ． 考点07 两条直线垂直关系的判定 35．直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 36．下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 37．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 考点08 利用直线的垂直关系求参 38．已知直线，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．-2 39． “”是“直线与垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 40．已知直线和互相垂直，则实数 . 41．已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 42．已知直线，若，则实数 . 43．已知，直线，且，则的最小值为 . 考点09 点与直线间的距离问题 44．点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 45．点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 46．已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 47．若直线过点，且到点和点的距离相等，则直线的方程为 ． 48．已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 考点10 已知点到直线的距离求参 49．若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 50．若点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 51．已知，两点到直线的距离相等，则 . 52．已知点在直线上，若的最小值为4，则 ． 53．已知直线； (1)证明：直线l过定点； (2)已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值． 54．已知直线：；：． (1)若，求的值； (2)若，且它们的距离为，求， 的值． 55．已知直线，． (1)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程； (2)若坐标原点O到直线的距离为1，求实数的值． 考点11 点与直线的对称问题 56．如图，已知两点，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 57．一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（    ） A．4 B．5 C． D． 58．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 59．一条光线从点出发射到直线上的点B，经直线反射后，反射光线恰好经过点，则入射光线所在直线的斜率为 ． 60．已知直线，点.求: (1)点A关于直线l的对称点的坐标; (2)直线关于直线l的对称直线m'的方程; (3)直线l关于点对称的直线l'的方程. 61．（1）过点作直线使它被直线和截得的线段被点平分，求直线的方程； （2）光线沿直线射入，遇直线后反射，求反射光线所在的直线方程． 62．已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 考点12 与直线方程有关的面积最值问题 63．已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 64．已知直线的方程为：． (1)求证：不论为何值，直线必过定点M； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于A，B两点，求面积的最小值及面积取得最小值时直线的方程． 65．已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 66．已知点，直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若，设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 67．已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 考点13 直线方程的最值问题 68．，函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 69．已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．10 70．已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 71．函数的最小值为 ． 72．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 73．已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 74．已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 75．已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 考点14 直线方程的综合应用 76．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为为平面上动点，直线经过点，记到的距离分别为，若，则称直线为的“直线”．给出以下两个命题： ①存在点，有且仅有三条“直线”； ②存在点，有且仅有四条“直线”． 则下列说法正确的是（   ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 77．“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为 ． 78．已知，，.若，则当时，的最大值为 . 79．在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示A、B、C到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为． (1)已知定点，，，直线l的方程为，求的值； (2)已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心； (3)若对于，满足的不同直线l至少有两条，试判断的形状，并予以证明． 80．已知为常数．在平面直角坐标系中，直线． (1)若直线l的一个法向量为，求直线l的斜率及倾斜角； (2)若，，直线m与l及x轴的交点都在y轴右侧，且m与l、x轴及y轴围成的四边形面积为3．证明：直线m过定点，并求出该定点． (3)若，，直线为l关于x轴的对称直线，直线与的交点分别在第一、四象限，与x轴交于点M．是否存在使的面积为，且．若存在求出直线的斜率，若不存在，请说明理由． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $