精品解析：四川宜宾市翠屏区2025年秋期 学校义务教育阶段教学质量监测九年级数学

2025年秋期______学校义务教育阶段教学质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟，总分150分） 注意事项： 1.答题前，考生在答题卷上务必将自己的姓名、学校、班级、考号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的考号、姓名和科目． 2.解答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.解答填空题、解答题时，请在答题卷上各题的答题区域内作答． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 为何值时，根式有意义（ ） A. B. C. D. 2. 下列语句所描述的事件中，哪一个是不可能事件（ ） A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 春草明年绿 D. 白发三千丈 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 4. 四条线段、、、是成比例线段，其中，则的长为（ ） A. 0.75 B. 1 C. 1.5 D. 2 5. 如图，点在的边上，若添加一个条件；仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，有一斜坡，坡顶离地面的高的长为，斜坡的坡度为，现有一辆小车从点以的速度沿爬坡，当爬到坡顶处时，需要时间（ ）s A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 8. 如图，直线，直线与相交于点，若，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 10. 如图，在菱形中，垂直平分，若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 11. 如图，在和中，，，，，点在直线上运动，运动过程中，的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 12. 如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、交于点、，连接，以下结论：①；②；③，④．正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 13. 化简：______． 14. 某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：绿灯开启42秒，紧接着黄灯开启3秒，再紧接着红灯开启75秒；按此规律循环下去，如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向行驶到该路口时，遇到红灯的概率是______． 15. 某校积极实施劳动教育课程，建设校园农场．如图，该矩形农场长米，宽米，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为米．设道路的宽为米，则可列方程为______．（只列方程） 16. 如图，在中，是边上的高，将折叠，使点与点重合，折痕交、于点、，若，则______． 17. 若一元二次方程的两根为、，则的值为______． 18. 如图，已知中，，，点为中点，点在上，点在上，若，，，则______． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点为位似中心，在原点另一侧画出，使 （2）写出的坐标______． （3）的面积是______． 22. 为更好地促进学生身心健康发展，宜宾市2025年秋期在全省率先实施“春秋假”．秋假期间，小明制定了研学计划：某天上午，小明从三个人文景点（分别为：A.宜宾市科技馆；B.李庄古镇；C.宜宾市博物馆）中随机选择一个参观；下午，再从两个自然景点（分别为：D.翠屏山；E.江北公园）中随机选择一个参观． （1）小明上午从人文景点中选中“宜宾市科技馆”的概率是______； （2）请用树状图或列表法，求小明当天恰好选择“宜宾市博物馆”和“江北公园”的概率． 23. 图1是某体育中心运动场主席台侧面，若顶棚顶端与看台底端的连线，，测得看台的长为16米，，在点观测到顶棚点的仰角为． （1）求看台高度； （2）求顶棚到地面的距离． 24. 关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若是关于的方程的两个根，且，求的值． 25. 在中，为内部一点，且； （1）求证：； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期______学校义务教育阶段教学质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟，总分150分） 注意事项： 1.答题前，考生在答题卷上务必将自己的姓名、学校、班级、考号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的考号、姓名和科目． 2.解答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.解答填空题、解答题时，请在答题卷上各题的答题区域内作答． 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（注意：在试题卷上作答无效） 1. 为何值时，根式有意义（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，需根据被开方数为非负数列一元一次不等式求解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵根式有意义， ∴， 解得， 故选：A． 2. 下列语句所描述的事件中，哪一个是不可能事件（ ） A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 春草明年绿 D. 白发三千丈 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不可能事件的定义，即一定条件下必然不会发生的事件，需结合生活常识判断各选项的事件类型． 【详解】解：∵不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件． A选项“黄河入海流”符合自然规律，是必然发生的事件，属于必然事件． B选项“大漠孤烟直”在特定环境下可能发生，属于随机事件． C选项“春草明年绿”符合自然生长规律，是必然发生的事件，属于必然事件． D选项“白发三千丈”违背现实常识，必然不会发生，属于不可能事件． 故选：D． 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 提取公因式得：， 即， ∴或， 解得，． 故选：D． 4. 四条线段、、、是成比例线段，其中，则的长为（ ） A. 0.75 B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，根据成比例线段的定义，结合比例的基本性质求解a的长度即可． 【详解】解：∵四条线段a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得； 故选A． 5. 如图，点在的边上，若添加一个条件；仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得出结果，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，，∴，故不符合题意； B、添加，并结合，不能得出，故符合题意； C、∵，，∴，故不符合题意； D、添加，并结合，能得出，故不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数定义的应用，解此题的关键是求出的长．根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据锐角三角函数的定义得出，代入求出即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，有一斜坡，坡顶离地面的高的长为，斜坡的坡度为，现有一辆小车从点以的速度沿爬坡，当爬到坡顶处时，需要时间（ ）s A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理．利用斜坡的坡度为求出，再利用勾股定理求，进而求解即可． 【详解】解：∵，斜坡的坡度为，坡顶离地面的高的长为， ∴， ∴， ∴， ∵小车从A点以的速度沿爬坡 ∴当爬到坡顶B处时，需要时间为． 故选：B． 8. 如图，直线，直线与相交于点，若，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理,利用平行线分线段成比例定理列出比例式，依此构建关于的方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴ , 即, ∴ , 解得． 故选：D． 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是关于的一元二次方程，可知，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且． 10. 如图，在菱形中，垂直平分，若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由菱形的性质得出，结合垂直平分，得出是等边三角形，根据勾股定理列式计算，得出，即可作答． 【详解】解：如图：连接交于一点O ∵四边形是菱形 ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴是等边三角形 ∴ 在中， ∴ 故选：C 11. 如图，在和中，，，，，点在直线上运动，运动过程中，的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．在上取点，使，证明，求得，推出点在射线上运动，当时，取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 在上取点，使， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，取得最小值， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：B． 12. 如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、交于点、，连接，以下结论：①；②；③，④．正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，把绕点逆时针旋转，得到．进而证明，得出，即可证明①正确；证明，得出，即可判断②，进而可得是等腰直角三角形，得出，即可判断③，证明，结合，进而判断，即可判断④，即可求解． 【详解】解：∵，四边形是正方形， ∴ 把绕点逆时针旋转，得到． ， 、、在同一直线上， ，， ． ，， ， ， ．故①正确． ∵四边形是正方形，是对角线 ∴ ∵， 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，故②正确， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴，故③错误， ∵， ∴ ∵把绕点逆时针旋转，得到． ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴，故④正确 故选：C． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 13. 化简：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：绿灯开启42秒，紧接着黄灯开启3秒，再紧接着红灯开启75秒；按此规律循环下去，如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向行驶到该路口时，遇到红灯的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率．根据概率的定义，遇到红灯的概率等于红灯开启时间与总循环时间的比值． 【详解】解：总循环时间为秒，红灯开启时间为秒，因此遇到红灯的概率为． 故答案为：． 15. 某校积极实施劳动教育课程，建设校园农场．如图，该矩形农场长米，宽米，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为米．设道路的宽为米，则可列方程为______．（只列方程） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得试验田为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程即可． 【详解】由题意得，， 故答案为：． 16. 如图，在中，是边上的高，将折叠，使点与点重合，折痕交、于点、，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，三角形中位线的性质与判定，勾股定理求得，根据折叠的性质进而得出是的中位线，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据折叠可得： ∴ ∵是边上的高， ∴ ∴， ， ∴， ∴ ∴ ∴ 17. 若一元二次方程的两根为、，则的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．先根据题意得到，，则，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2025． 18. 如图，已知中，，，点为中点，点在上，点在上，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，由勾股定理可得，从而得出，作，交于点，则，则为等腰直角三角形，结合勾股定理计算得出，从而可得，由正切的定义可得，作平分，交于点，作，交于点，则，结合，得出，从而可得，进而得出，设，则，由角平分线的性质定理可得，根据三角形的面积公式求出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵点为中点， ∴， 如图，作，交于点，则， ， 则为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作平分，交于点，作，交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质定理，解直角三角形，三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）25 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，零次幂、特殊角的三角函数值． （1）根据平方差公式计算即可求解； （2）根据零次幂、特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，核心是通过因式分解将二次方程转化为一元一次方程求解． （1）方程的二次项系数为1，常数项可拆分为两个数的乘积，且这两个数的和等于一次项系数的相反数，因此选用因式分解求解； （2）方程两边均为完全平方形式，可移项后利用平方差公式因式分解即可求解． 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：移项得， 因式分解得， ∴或， 解得或． 21. 如图，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点为位似中心，在原点另一侧画出，使 （2）写出的坐标______． （3）的面积是______． 【答案】（1）如图，为所求． （2）；（3）10 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的性质即可以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使； （2）结合（1）即可写出A1的坐标； （3）根据网格利用割补法即可求出的面积． 【详解】（1）略 （2）由图可知：． 故答案为：． （3）的面积是：． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了作图−位似变换，解决本题的关键是掌握位似图形的性质． 22. 为更好地促进学生身心健康发展，宜宾市2025年秋期在全省率先实施“春秋假”．秋假期间，小明制定了研学计划：某天上午，小明从三个人文景点（分别为：A.宜宾市科技馆；B.李庄古镇；C.宜宾市博物馆）中随机选择一个参观；下午，再从两个自然景点（分别为：D.翠屏山；E.江北公园）中随机选择一个参观． （1）小明上午从人文景点中选中“宜宾市科技馆”的概率是______； （2）请用树状图或列表法，求小明当天恰好选择“宜宾市博物馆”和“江北公园”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得：小明上午从人文景点中选中“宜宾市科技馆”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图为： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中小明当天恰好选择“宜宾市博物馆”和“江北公园”的情况有种， ∴小明当天恰好选择“宜宾市博物馆”和“江北公园”的概率为． 23. 图1是某体育中心运动场主席台侧面，若顶棚顶端与看台底端的连线，，测得看台的长为16米，，在点观测到顶棚点的仰角为． （1）求看台高度； （2）求顶棚到地面的距离． 【答案】（1）看台高的长米 （2）顶棚到地面的距离的长为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）根据可得为直角三角形，根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）如图所示，过点作于点，可得四边形是矩形，可得， 在中，根据正切值的计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴，则，， ∴看台高的长米． 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，在上取一点，使得 ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴ ∴ ∴， 则， ∴（米）， ∴顶棚到地面的距离的长为米． 24. 关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若是关于的方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟记一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，由已知得到或，代入整理得到，然后解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵（时取等号），（时取等号）， ∴， ∴不论为何值，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴且或， ∴， 当时，，（舍去）， 当时，，， ∴，， ∴，即， 解得或． 25. 在中，为内部一点，且； （1）求证：； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据，得出，结合，得出，结合，即可证明； （2）作于点，求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，，再由，利用相似三角形的判定和性质即可证明结论成立； （3）先利用三角形内角和定理求得，设，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：作于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即； 【小问3详解】 解：作于点， 设，∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， 由（2）得， 在中，由勾股定理得，即， 解得（负值已舍）， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $