11.3 二次根式的加减（第2课时 二次根式的混合运算）同步练习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

11.3二次根式的加减 （第2课时 二次根式的混合运算）同步练习 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各数中，与的积是有理数的是（   ） A． B． C． D． 3．在直角三角形中，若两条直角边的长度分别为和，则斜边的长度为（   ） A． B． C． D． 4．我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（   ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 5．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．下列比较大小结果正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A． B． C．29 D．3 8．若，，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D．2 9．下列运算与的结果相同的是（        ） A． B． C． D． 10．估计的运算结果应在（   ） A．1到2之间 B．3到4之间 C．5到6之间 D．7到8之间 11．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 12．计算的结果是（   ） A．12 B． C． D．6 13．已知，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 14．计算的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 二、填空题 15．计算： ． 16．已知 ，，则 ． 17．计算：＝ ． 18．已知、是有理数，且，则 ． 19．若，且a、m、n均为正整数，则的值是 ． 20．设实数的整数部分为a，小数部分为b．则的值为 ． 21．计算： ． 22．若，则的值为 ． 三、解答题 23．计算下列各式： (1)． (2)． (3)． 24．计算： (1)； (2)． 25．计算（其中，）： (1) ． (2) ． 26． 先化简，再求值：，其中． 27．已知，求的值．小华是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)求的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 28．为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． (1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________； (2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值． (3)若，为正实数，且．求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需要根据二次根式的运算法则逐一判断选项的正确性． 【详解】解：A、是有理数，是无理数，二者不是同类二次根式，不能合并，所以，不符合题意； B、根据二次根式的除法法则（，），则，符合题意； C、根据二次根式的乘法法则，则，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，解题关键是掌握同类二次根式才能合并，以及二次根式乘除运算的法则． 2．D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，有理数的定义，正确计算是解题的关键． 将各选项的数分别与相乘，求出结果并判断是否为有理数即可． 【详解】解：A、，是无理数，不符合题意； B、，是无理数，不符合题意； C、，是无理数，不符合题意； D、，是有理数，符合题意， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，计算后化简即可． 【详解】解：∵ 在直角三角形中，两直角边分别为 和 ， ∴ 斜边， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查完全平方公式和二次根式的化简，关键是将结果化为指定形式． 先利用完全平方公式展开，再化简二次根式，得到结果的形式后判断类型． 【详解】解： ， 故为型无理数， 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式混合运算．先求出，，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：C 6．C 【分析】本题主要考查二次根式大小的比较，熟练掌握二次根式大小比较的方法是解题的关键．根据二次根式的大小分别判断各个选项即可． 【详解】解：A选项中， ， ∴， ∴， 故A选项不符合题意； B选项中，， ∵， ∴， 故B选项不符合题意； C选项中，，， ∵， ∴， 故C选项符合题意； D选项中， ， ， ∵， ∴． 故D选项不符合题意． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是关键． 首先根据的整数部分，确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解： 的整数部分 则小数部分是：，则 则 故选：D． 8．C 【分析】此题主要考查了整体代入在代数求值中的应用． 将代数式 展开，利用已知条件和直接代入计算． 【详解】解：∵ ， ∵ ，， ∴ ． 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．运用分配律和根式乘法规则计算即可求解． 【详解】解： ； 故选：C． 10．B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先算乘法，再算减法，最后用平方法估算平方根的取值范围． 【详解】解： = ∵ ， ∴ ， ∴ ∴ 结果在 3 到 4 之间． 故选：B． 11．C 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了二次根式的混合运算． 先根据算术平方根的定义得到，可得，然后把x、y的值代入，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：， ， 的整数部分为1，小数部分为， ， ． 故选：C． 12．A 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用二次根式的化简方法，及二次根式的乘法法则，加减运算法则进行求解即可． 【详解】解：∵ , , , , ∴ 括号内为 , ∴ 原式  . 故选：A． 13．C 【分析】本题考查了二次根式的化简与同类二次根式的合并，掌握将二次根式化为最简形式并合并同类二次根式，结合二次根式有意义的条件求解方程是解题的关键． 本题通过简化方程，将各项转化为的倍数，然后求解． 【详解】解：∵， ，， ∴原方程化为， ∴， 两边平方得， ∴ 故选：C． 14．B 【分析】本题考查了积的乘方逆用及二次根式的混合运算．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 15．/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．利用完全平方公式展开即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 16． 【分析】本题考查了平方差公式和二次根式的混合运算，因式分解得，代值计算，即可求解；熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ； 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．在二次根式的混合运算中，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径是解题的关键．将分式中的分子分别除以分母进行化简，然后进行减法运算 【详解】解： 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，负整数指数幂，能够结合有理数加减后仍是有理数这一性质列出二元一次方程组是解题关键． 化简题目中方程可得，根据m，n是有理数，可知，列方程求解即可求出m，n的值，代入即可求出答案． 【详解】解： ， ， ， m，n是有理数， ， 解得． ∴ 故答案为：． 19．12或28 【分析】本题考查完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用是解答的关键． 先利用完全平方公式将展开，再等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解． 【详解】解：， ，， ， a、m、n均为正整数， 或， 当时，， 当时，， 综上可知，a的值为12或28， 故答案为：12或28． 20．3 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，熟练掌握无理数的估算，二次根式的混合运算是解题的关键．根据可得，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴小数部分为， ∴，， ∴． 故答案为：3． 21． 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先计算分母的差值，通过通分合并为单一分数，然后利用除以分数等于乘以倒数的规则，最后有理化分母得到结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 22．/ 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的混合运算． 根据算术平方根的非负性，求出a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：因为，且和， 所以和． 解得， ∴． 故答案为． 23．(1) (2) (3) 【分析】本题综合考查了二次根式的化简、乘除运算及同类二次根式的合并，同时涉及绝对值的化简、负整数指数幂的运算规则，还要求掌握乘法分配律在二次根式混合运算中的应用，是对二次根式混合运算综合能力的全面考查． （）先化简所有根式，再做乘除，最后合并同类二次根式， （）分模块计算根式乘法、绝对值、负整数指数幂，再合并化简， （）用乘法分配律去括号，化简各根式乘积，最后合并同类二次根式消去同类项． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3） ． 24．(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式，完全平方公式进行计算，再计算加减即可； （2）先将各二次根式化简，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是准确化简． （1）根据二次根式的运算法则化简计算即可； （2）根据二次根式的运算法则化简计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： 故答案为：． 26．， 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和二次根式的混合运算，根据二次根式有意义的条件求出的值，再进行二次根式混合运算即可． 【详解】解：∵， ， ， ；   ； 当时，原式． 27．(1)3 (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． （1）结合题意，求得，然后化简求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）通过比较两式倒数的大小来判断原两式的大小，计算其倒数时可使用分母有理化，比较与的大小，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解：原式 ． （3）解：， 理由：， ， ， ， ． 28．(1)10 (2) (3) 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，二次根式的混合运算，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． （1）连接，根据两点之间线段最短，得到的最小值为的长，作，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）仿照题干方法，将代数式的最小值转化为两条线段和最小的问题，利用勾股定理进行求解即可； （3）根据，得到，进而将转化为，类比题干方法进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，作，由题意，得， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为10； （2）解：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $