2026年山东省青岛市中考数学自编模拟试题4

2026年青岛市中考数学模拟试题——4 一.选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1．（3分）下列四个数中，属于有理数的是（　　） A． B． C．π D．﹣ 2.（3分）随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（　　） A．6.5×107 B．6.5×10﹣6 C．6.5×10﹣8 D．6.5×10﹣7 3．（3分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　） 4．（3分）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）如图，AB是⊙O直径，C、F为⊙O上的点，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠ADB＝50°，则∠BFC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．20° 6．（3分）如图，已知点A（1，3），B（4，1），将线段AB绕点M逆时针旋转到A′B′，点A与A′是对应点，点B与B′是对应点，则点M的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，0） C．（﹣1，1） D．（1，﹣3） 7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD，AE与BC相交于点E、与BD相交于点F，则下列结论中正确的有（　　） ①OB＝OE ②∠BOE＝75° ③OE2＝OF•OD ④若OE＝1，则EC＝ ⑤若∠AOB≠60°，△BOE的面积是矩形ABCD面积的，则BC＝AB A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＞0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．正确结论的序号为（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 9．（3分）计算：（﹣）÷＝　 　． 10．（3分）一个不透明的口袋中装有若干个红球，小明又放入10个黑球，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则估计口袋中红球的数量为 　 　个． 11．（3分）某水果店搞促销活动，对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤．设该种水果打折前的价格为x元/斤，根据题意可列方程为 　 　． 12．（3分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　． 13．（3分）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣1，2），将△AOB绕点A顺时针旋转90°，点O的对应点D恰好落在双曲线y＝上，则k的值为　 　． 14．（3分）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，，以点C为圆心，AC的长为半径画弧交AB于点D，交BC于点E，以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交AB于点F，交弧AE于点G，则图中阴影部分的面积为 　 　． 15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列选项说法正确的有 　 　.（填序号） ①EG＝DF； ②∠AEH+∠ADH＝180°； ③△EHF≌△DHC； ④若，则S△EDH＝13S△CFH．#ZZ01A 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16．（4分）已知：∠O及其一边上的两点A，B． 求作：以AB为底的等腰△ABC，使点C在∠O的内部，且∠BAC＝∠O． 四、解答题（本大题共8小题，共71分） 17．（8分）（1）化简：（x﹣）÷； （2）解不等式组： 18．（6分）端午节放假期间，小明和小华准备到景点A、景点B、景点C、景点D中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．用画树状图或列表的方法求小明和小华都选择去同一景点游玩的概率． 19．（8分）某校组织了一次“创文创卫”安全知识竞赛，现从七、八年级各随机抽取100名同学的竞赛得分（满分100分），分为5个组（x表示得分，x取整数）A组：x≥90；B组：80≤x＜90； C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：0≤x＜60，将得分进行统计，得到如下信息： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.3 b 83 八年级 81.3 78.5 82 ①100名七年级学生中B组得分从高到低排列，排在最后的10个得分是82，82，81，81，81，81，80，80，80，80； ②七、八年级得分的平均数、中位数、众数如表； ③100名七年级学生得分条形统计图如图； ④100名八年级学生得分扇形统计图如图． 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）根据以上信息填空：a＝　 　，b＝　 　，并补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的安全知识掌握得更好？并说明理由； （3）若该校有七年级学生800名，八年级学生1000名．若得分在90分及其以上为优秀，请估计该校七、八年级竞赛成绩为优秀的学生人数． 20．（8分）为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚AB长为4米，从点A看棚顶顶点B的仰角为20°，靠墙端离地高BC为5米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为50°时，求凉荫处CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 21．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AF＝DC； （2）△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？并证明你的结论． 22．（10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了，批发销售总额比去年增加了20%． （1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．工商部门规定，该水果利润率不得超过40%，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计，并且售价为整数） 2424.223. （11分）【问题提出】计算（其中是正整数） 【问题探究】为解决上面的数学问题，我们可以运用数形结合的思想方法，借助图1所示的三角形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来进行探究.图1中， 第1行圆圈中的数为1，即； 第2行两个圆圈中数的和为2+2=2×2， 即； 第3行三个圆圈中数的和为3+3+3=3×3 即； ……； 第行个圆圈中数的和为，即.所有圆圈中数的和为. 要解决上面的问题，我们不妨先从特例入手： 探究一：计算. 将图2按逆时针方向两次旋转得到图3、图4.观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是5（如图5），而图5共有（1+2）个这样的圆圈，因此图5中所有数字之和为5×（1+2）.则图2中所有数字之和为，所以得到等式. 探究二：计算 仿照上述方法，将图6按逆时针方向两次旋转得到图7、图8.观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是___________（如图9），而图9共有___________个这样的圆圈，因此图9中所有数字之和为___________.那么图6中所有数字之和为___________，所以得到等式___________.（仿照上述方法，写出探究得出的式子）. 探究三：计算_____________.（仿照上述方法，直接写出结果）. 【问题解决】___________.（仿照上述方法，直接写出探究得出的式子，用含的代数式表示） 【拓广应用】 计算：___________.（直接写出结果） 24．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝6cm．点P从点A出发，沿DA方向匀速运动，速度为3cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为4cm/s．过点Q作QE∥AB交BC于点E，连接PE，交AB于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜2）．解答下列问题： （1）当t为何值时，BE＝2EC？ （2）设五边形AFEQD的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式； （3）连接DE．是否存在某一时刻t，使点F在DE的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 2026年青岛市数学中考模拟试题4解析 一.选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 1．（3分）下列四个数中，属于有理数的是（　　） A． B． C．π D．﹣ 【分析】根据有理数和无理数统称为实数，判断即可． 【解答】解：A、是有理数，故A符合题意； B、是无理数，故B不符合题意； C、π是无理数，故C不符合题意； D、﹣是无理数，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． 2.（3分）随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（　　） A．6.5×107 B．6.5×10﹣6 C．6.5×10﹣8 D．6.5×10﹣7 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.00000065＝6.5×10﹣7． 故选：D． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3．（3分）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：中国银行标志：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 中国工商银行标志：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 中国人民银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 中国农业银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 中国建设银行标志：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 4．（3分）将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的和看不到的棱都应表现在左视图中． 【解答】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线， 故选：D． 【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 5.（3分）如图，AB是⊙O直径，C、F为⊙O上的点，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠ADB＝50°，则∠BFC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．20° 【分析】连接OC，根据圆的对称性质和等腰三角形的性质，得∠ABD＝∠OCB，根据切线和直角三角形的两锐角互余的性质，推导得∠OCB＝∠ABD＝40°，再根据三角形内角和定理和圆周角定理可得答案． 【解答】解：连接OC， 根据题意，得：OB＝OC， ∴∠ABD＝∠OCB， ∵AE是⊙O的切线， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ADB＝50°， ∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝40°， ∴∠OCB＝∠ABD＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣∠ABD﹣∠OCB＝100°， ∴∠BFC＝BOC＝50°， 故选：B． 【点评】此题考查了切线的性质、圆周定理及三角形内角和定理，解题的关键是掌握圆的对称性． 6．（3分）如图，已知点A（1，3），B（4，1），将线段AB绕点M逆时针旋转到A′B′，点A与A′是对应点，点B与B′是对应点，则点M的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，0） C．（﹣1，1） D．（1，﹣3） 【分析】因为旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心，据此可解决问题． 【解答】解：因为线段A′B′由线段AB绕点M逆时针旋转得到， 所以AA′和BB′的垂直平分线经过旋转中心M． 如图所示，画出线段AA′和BB′的垂直平分线， 所以点M的坐标为（﹣1，1）． 故选：C． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，熟知旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心是解题的关键． 7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AE平分∠BAD，AE与BC相交于点E、与BD相交于点F，则下列结论中正确的有（　　） ①OB＝OE ②∠BOE＝75° ③OE2＝OF•OD ④若OE＝1，则EC＝ ⑤若∠AOB≠60°，△BOE的面积是矩形ABCD面积的，则BC＝AB A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据矩形的性质可得∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，再利用角平分线的性质可得∠BAE＝45°，从而可得AB＝BE，再根据∠AOB＝60°，可得△AOB是等边三角形，然后利用等边三角形的性质AB＝OB，∠ABO＝60°，从而可得OB＝BE，∠OBE＝30°，即可判断①；根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形内角和定理，即可判断②；根据三角形的内角和定理可求出∠AFB的度数，从而求出∠OFE的度数，进而可得∠OFE＝∠BEO＝75°，然后利用两角相等的两个三角形相似证明△OFE∽△OEB，再利用相似三角形的性质即可判断③；过点E作EG⊥OC，垂足为G，根据平角定义可求出∠EOC＝45°，从而可得△OGE是等腰直角三角形，进而求出EG的长，然后根据OB＝OC，求出∠OBC＝∠OCB＝30°，从而求出EC的长，即可判断④，过点O作OJ⊥BC，垂足为J，利用等腰三角形的三线合一性质可得BJ＝JC，从而可得OJ是△ABC的中位线，进而可得OJ＝AB，然后再根据已知△BOE的面积是矩形ABCD面积的，进行计算即可判断⑤． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠BAD＝45°， ∴△AEB是等腰直角三角形， ∴AB＝BE， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB，∠ABO＝60°， ∴OB＝BE，∠OBE＝∠ABE﹣∠ABO＝30°， ∴OB≠OE， 故①不正确； ∵OB＝BE，∠OBE＝30°， ∴∠BOE＝∠BEO＝75°， 故②正确； ∵∠BAE＝45°，∠ABF＝60°， ∴∠AFB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABF＝75°， ∴∠OFE＝∠AFB＝75°， ∴∠OFE＝∠BEO＝75°， ∵∠BOE＝∠FOE， ∴△OFE∽△OEB， ∴＝， ∴OE2＝OB•OF， ∵OB＝OD， ∴OE2＝OD•OF， 故③正确； 过点E作EG⊥OC，垂足为G， ∵∠AOB＝60°，∠BOE＝75°， ∴∠EOC＝180°﹣∠AOB﹣∠BOE＝45°， ∴△OGE是等腰直角三角形， ∴GE＝＝， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴EC＝2GE＝， 故④正确； 过点O作OJ⊥BC，垂足为J， ∵OB＝OC， ∴BJ＝JC， ∵OA＝OC， ∴OJ是△ABC的中位线， ∴OJ＝AB， ∵△BOE的面积是矩形ABCD面积的， ∴BE•OJ＝AB•BC， ∵AB＝BE， ∴AB•AB＝AB•BC， ∴BC＝AB， 故⑤正确； 所以，上列结论中正确的有4个， 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的中位线的定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＞0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．正确结论的序号为（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【分析】依据题意，由抛物线经过（﹣2，0），再结合二次函数的性质可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断③，由x＝1时y取最大值可判断④． 【解答】解：由题意，∵对称轴是直线x＝1，a＜0， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大． ∵﹣2＜﹣1，抛物线过点（﹣2，0）， ∴当x＝﹣1时y＝a﹣b+c＞0，故①正确． ∵a＜0， ∴抛物线开口向下． 又点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，且点（6，y3）到对称轴的距离最大，点（2，y2）到对称轴的距离最小， ∴y3＜y1＜y2，②错误． ∵方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2， ∴抛物线与直线y＝﹣1的交点的横坐标为x1，x2． 由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（4，0）， ∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣2，0），（4，0）， ∵抛物线开口向下，x1＜x2， ∴x1＜﹣2，x2＞4，故③正确． ∵﹣＝1， ∴b＝﹣2a． ∵4a﹣2b+c＝0， ∴c＝2b﹣4a＝﹣8a， ∵抛物线的最大值为a+b+c， ∴若m为任意实数，则am2+bm+c⩽a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a， ∴am2+bm+c⩽﹣9a，故④正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 9．（3分）计算：（﹣）÷＝　　． 【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【解答】解：原式＝（3﹣）÷ ＝÷ ＝． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 10．（3分）一个不透明的口袋中装有若干个红球，小明又放入10个黑球，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则估计口袋中红球的数量为 　15　个． 【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.4左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案． 【解答】解：∵不断重复这一过程后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右， ∴估计摸到黑球的概率为0.4， 设袋中红球的个数为x， 根据题意，得：＝0.4， 解得x＝15， 经检验x＝15是分式方程的解， 所以袋中红球的个数约为15， 故答案为：15． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 11．（3分）某水果店搞促销活动，对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤．设该种水果打折前的价格为x元/斤，根据题意可列方程为 　　． 【分析】可根据“若用50元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤“列出方程即可． 【解答】解：依题意得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找出等量关系是解决问题的关键． 12．（3分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＞﹣　． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2k+1）2﹣4×1×k2＝4k+1＞0， ∴k＞﹣． 故答案为k＞﹣． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 13．（3分）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣1，2），将△AOB绕点A顺时针旋转90°，点O的对应点D恰好落在双曲线y＝上，则k的值为　﹣3　． 【分析】因为点D在双曲线y＝上，求出点D的坐标即可，根据A（﹣1，2）和旋转，可以求出相应线段的长，根据相应线段的长转化为点的坐标，代入反比例函数的关系式即可． 【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长CD交x轴于点E，则CE⊥x轴，A（﹣1，2） ∵△AOB绕点A顺时针旋转90° ∴△AOB≌△ADC，∠BAC＝90° 又∵∠C＝∠ABO＝90°， ∴四边形ACEB是矩形， ∴AC＝DF＝EB＝AB＝2，CD＝BC＝AF＝1， ∴DE＝BF＝AB﹣AF＝2﹣1＝1，OE＝OB+BE＝2+1＝3， ∴D（﹣3，1） ∵点D恰好落在双曲线y＝上， ∴k＝（﹣3）×1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】考查旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征以及矩形的性质，合理地转化，将线段的长转化为点的坐标是关键所在． 14．（3分）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，，以点C为圆心，AC的长为半径画弧交AB于点D，交BC于点E，以点E为圆心，CE的长为半径画弧，交AB于点F，交弧AE于点G，则图中阴影部分的面积为 　　． 【分析】如图，连接CG，GE，根据S阴＝S扇形GCD+（S扇形CEG﹣S△CEG）+S△ABC﹣S扇形DCE﹣S△ACD，求解即可． 【解答】解：如图，连接GC，GE， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝2， ∴AC＝BC•tan30°＝2，∠A＝60°， ∴AB＝2AC＝4， ∵CG＝CE＝EG＝CA＝2，AC＝CD＝2， ∴△ECG≌△ACD，且△ECG和△ACD都是等边三角形， ∴∠GCE＝∠ACD＝60°， ∴∠ACG＝∠GCD＝∠DCB＝30°， ∴S阴＝S扇形GCD+（S扇形CEG﹣S△CEG）+S△ABC﹣S扇形DCE﹣S△ACD ＝S扇形GCD+S扇形CEG﹣S△CEG+S△ABC﹣S扇形DCE﹣S△ACD ＝S扇形CEG﹣2S△CEG+S△ABC ＝﹣2××2×+×2×2 ＝． 故答案为：． 【点评】本题考查扇形的面积公式，含30度角的直角三角形，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积． 15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列选项说法正确的有 　①②③④　.（填序号） ①EG＝DF； ②∠AEH+∠ADH＝180°； ③△EHF≌△DHC； ④若，则S△EDH＝13S△CFH．#ZZ01A 【分析】①根据题意可知∠ACD＝45°，则GF＝FC，则EG＝EF﹣GF＝CD﹣FC＝DF； ②由SAS证明△EHF≌△DHC，得到∠HEF＝∠HDC，从而∠AEH+∠ADH＝∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC＝180°； ③同②证明△EHF≌△DHC即可； ④若＝，则AE＝2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG＝∠DHF且EH＝DH，则∠DHE＝90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM＝x，则DM＝5x，DH＝x，CD＝6x，则S△DHC＝×HM×CD＝3x2，S△FHC＝x2，S△EDH＝×DH2＝13x2． 【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD， ∴EF＝AD＝CD，∠ACD＝45°，∠GFC＝90°， ∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF＝FC， ∵EG＝EF﹣GF，DF＝CD﹣FC， ∴EG＝DF，故①正确； ②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD， 在△EHF和△DHC中， ， ∴△EHF≌△DHC（SAS）， ∴∠HEF＝∠HDC， ∴∠AEH+∠ADH＝∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC＝∠AEF+∠ADF＝180°，故②正确； ③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD， 在△EHF和△DHC中， ， ∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确； ④∵＝， ∴AE＝2BE， ∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH＝GH，∠FHG＝90°， ∵∠EGH＝∠FHG+∠HFG＝90°+∠HFG＝∠HFD， 在△EGH和△DFH中， ， ∴△EGH≌△DFH（SAS）， ∴∠EHG＝∠DHF，EH＝DH，∠DHE＝∠EHG+∠DHG＝∠DHF+∠DHG＝∠FHG＝90°， ∴△EHD为等腰直角三角形， 过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示： 设HM＝x，则DM＝5x，DH＝x，CD＝6x， 则S△DHC＝×HM×CD＝3x2，S△EDH＝×DH2＝13x2， ∵DF：CF＝2：1， ∴S△FHC＝S△DHC＝x2 ∴S△EDH＝13S△CFH，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16．（4分）已知：∠O及其一边上的两点A，B． 求作：以AB为底的等腰△ABC，使点C在∠O的内部，且∠BAC＝∠O． 【分析】作AB的垂直平分线，然后作∠BAC＝∠O交AB的垂直平分线于C点． 【解答】解：如图，点C为所作． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质． 四、解答题（本大题共8小题，共71分） 17．（8分）（1）化简：（x﹣）÷； （2）解不等式组：． 【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可确定出不等式组的解集． 【解答】解：（1）原式＝• ＝• ＝； （2）， 由①得：x＜2， 由②得：x≥﹣1， 则不等式组的解集为﹣1≤x＜2． 【点评】此题考查了分式的混合运算，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（6分）端午节放假期间，小明和小华准备到景点A、景点B、景点C、景点D中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．用画树状图或列表的方法求小明和小华都选择去同一景点游玩的概率． 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小华都选择去同一景点游玩的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小明和小华都选择去同一景点游玩的结果有4种， ∴小明和小华都选择去同一景点游玩的概率为＝． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 19．（8分）某校组织了一次“创文创卫”安全知识竞赛，现从七、八年级各随机抽取100名同学的竞赛得分（满分100分），分为5个组（x表示得分，x取整数）A组：x≥90；B组：80≤x＜90； C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：0≤x＜60，将得分进行统计，得到如下信息： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.3 b 83 八年级 81.3 78.5 82 ①100名七年级学生中B组得分从高到低排列，排在最后的10个得分是82，82，81，81，81，81，80，80，80，80； ②七、八年级得分的平均数、中位数、众数如表； ③100名七年级学生得分条形统计图如图； ④100名八年级学生得分扇形统计图如图． 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）根据以上信息填空：a＝　10　，b＝　80　，并补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的安全知识掌握得更好？并说明理由； （3）若该校有七年级学生800名，八年级学生1000名．若得分在90分及其以上为优秀，请估计该校七、八年级竞赛成绩为优秀的学生人数． 【分析】（1）根据百分比之和为100%可得a的值，根据各组人数之和等于总人数求出B组人数，再根据中位数的定义求解可得b的值； （2）根据平均数和中位数的意义求解可得答案； （3）总人数分别乘以七、八年级优秀人数所占比例，再求和即可得出答案． 【解答】解：（1）a＝100﹣（40+25+18+7）＝10， 七年级B组人数为100﹣（14+28+13+6）＝39， 则b＝＝80， 补全图形如下： 故答案为：10，80； （2）七年级更好，理由如下： 由表格数据知，七、八年级成绩的平均数相等，而七年级成绩的中位数大于八年级， 所以七年级高分人数多于八年级； （3）800×+1000×10%＝212（人）， 答：估计该校七、八年级竞赛成绩为优秀的学生有212人． 【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键． 20．（8分）为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚AB长为4米，从点A看棚顶顶点B的仰角为20°，靠墙端离地高BC为5米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为50°时，求凉荫处CD的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 【分析】过点A作AF⊥BC，垂足为F，过点A作AG⊥CE，垂足为G，根据题意可得：CF＝AG，AF＝CG，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF和AF的长，从而求出CF的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点A作AF⊥BC，垂足为F，过点A作AG⊥CE，垂足为G， 由题意得：CF＝AG，AF＝CG， 在Rt△ABF中，AB＝4米，∠BAF＝20°， ∴BF＝AB•sin20°≈4×0.34＝1.36（米）， AF＝AB•cos20°≈4×0.94＝3.76（米）， ∴AF＝CG＝3.76米， ∵BC＝5米， ∴CF＝AG＝BC﹣BF＝5﹣1.36＝3.64（米）， 在Rt△ADG中，∠ADG＝50°， ∴DG＝≈3.06（米）， ∴CD＝CG﹣DG＝3.76﹣3.06≈0.7（米）， ∴凉荫处CD的长约为0.7米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AF＝DC； （2）△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？并证明你的结论． 【分析】（1）根据条件证明△AEF≌△DEB可得到AF＝BD，再中线的性质可得到AF＝DC； （2）可添加AC＝BC，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质可证明∠ADC＝90°，可得到四边形ADCF为矩形． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E为AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AFE和△DBE中 ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF＝BD， 又AD为中线， ∴BD＝CD， ∴AF＝CD； （2）△ABC是等腰三角形，即AC＝AB， ∵AF＝CD，且AF∥CD， ∴四边形ADCF为平行四边形， 当AC＝AB时，∵AD为BC边上的中线， 在△ADC与△ADB中 ， ∴△ADC≌△ADB（SSS） ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴四边形ADCF为矩形． 【点评】本题主要考查特殊四边形的判定，掌握平行四边形、矩形、菱形的判定方法是解题的关键，注意区别这几种四边形的判定方法． 22．（10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了，批发销售总额比去年增加了20%． （1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．工商部门规定，该水果利润率不得超过40%，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计，并且售价为整数） 【解答】（1）由题意，设这种水果去年每千克的平均批发价是x元，则今年的批发价为（1﹣）x元， 今年的批发销售总额为10（1+20%）＝12万元， ∴+1000＝， 解得：x＝25， 经检验x＝25是原方程的根， ∴x＝24（元）， 答：这种水果今年每千克的平均批发价是24元； （2）设每千克的平均售价为m元，依题意，由（1）知平均批发价为24元，则有： w＝（m﹣24）（×180+300） ＝﹣60m2+4200m﹣66240 ＝﹣60（m﹣35）2+7260， ∵﹣60＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当0≤m≤35时，w随x的增大而增大， ∵×100%≤40%， ∴m≤33.6，且m为整数， ∴当m＝33元时，w取最大值，最大值为7020， 答：每千克的平均销售价为33元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7020元． 2424.223. （11分）【问题提出】计算（其中是正整数） 【问题探究】为解决上面的数学问题，我们可以运用数形结合的思想方法，借助图1所示的三角形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来进行探究.图1中， 第1行圆圈中的数为1，即； 第2行两个圆圈中数的和为2+2=2×2， 即； 第3行三个圆圈中数的和为3+3+3=3×3 即； ……； 第行个圆圈中数的和为，即.所有圆圈中数的和为. 要解决上面的问题，我们不妨先从特例入手： 探究一：计算. 将图2按逆时针方向两次旋转得到图3、图4.观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是5（如图5），而图5共有（1+2）个这样的圆圈，因此图5中所有数字之和为5×（1+2）.则图2中所有数字之和为，所以得到等式. 探究二：计算 仿照上述方法，将图6按逆时针方向两次旋转得到图7、图8.观察这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是___________（如图9），而图9共有___________个这样的圆圈，因此图9中所有数字之和为___________.那么图6中所有数字之和为___________，所以得到等式___________.（仿照上述方法，写出探究得出的式子）. 探究三：计算_____________.（仿照上述方法，直接写出结果）. 【问题解决】___________.（仿照上述方法，直接写出探究得出的式子，用含的代数式表示） 【拓广应用】 计算：___________.（直接写出结果） 【答案】[ 探究二]7，，，，；[ 探究三]； [问题解决]； [拓广应用] 【解析】 【分析】[ 探究二]根据[探究一]的方法可知观察图6、图7、图8，这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是7，进而根据[探究一]的方法求解即可； [ 探究三]根据[ 探究二]的方法直接求得的结果即可； [问题解决]根据上述规律写出结果即可； [拓广应用]分别求，作差求解即可 【详解】[ 探究二] 观察图6、图7、图8，这三个图形，可以发现同一位置圆圈的数字之和都是7，而图9共有个这样的圆圈，因此图9中所有数字之和为.那么图6中所有数字之和为，所以得到等式 故答案为：7，，，，； [ 探究三] 根据探究二可得： 故答案为： [问题解决] 故答案为： [拓广应用] 故答案为： 24．（12分）.24.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝6cm．点P从点A出发，沿DA方向匀速运动，速度为3cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为4cm/s．过点Q作QE∥AB交BC于点E，连接PE，交AB于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜2）．解答下列问题： （1）当t为何值时，BE＝2EC？ （2）设五边形AFEQD的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式； （3）连接DE．是否存在某一时刻t，使点F在DE的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）如图1，过D作DG∥AB，交BC于点G， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BG＝6，AB＝DG， ∴CG＝BC﹣BG＝6， ∵QE∥AB， ∴QE∥DG， ∴， ∴， ∴EC＝3t，BE＝12﹣3t， ∵BE＝2EC， ∴12﹣3t＝2×3t， t＝， ∴当t为s时，BE＝2EC； （2）如图2，过点F作HM⊥BC，交BC于点H，交AD为M， ∴∠MHB＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠MHB＝∠C， ∴MH∥CD， ∵AD∥BC， ∴四边形MHCD是矩形， ∴MH＝CD＝8，HM⊥AD， ∵AD∥BC， ∴∠PAF＝∠B，∠APF＝∠FEB， ∴△APF∽△BEF， ∴，即， HF＝8﹣2t， ∴y＝S五边形AFEQD＝S四边形ABCD﹣S△EFB﹣S△ECQ， ＝﹣﹣， ＝﹣9t2+24t+24， ∴y与t的函数关系式是：y＝﹣9t2+24t+24（0＜t＜2）； （3）存在， 如图3，过E作EN⊥AD，垂足为N，连接DF，则ND＝EC＝3t，EN＝CD＝8， ∴PN＝AD+AP﹣DN＝6+3t﹣3t＝6， ∴PE＝＝10， ∵HF＝8﹣2t， ∴FM＝8﹣（8﹣2t）＝2t， ∵∠C＝90°， ∴AB＝DG＝＝＝10， ∵△APF∽△BEF， ∴， ∴，PF＝t， ∴EF＝10﹣t， ∵PF＝t，FM＝2t， ∴PM＝＝t， ∴MD＝6+3t﹣t＝6+t， ∴FD2＝MD2+FM2＝（6+t）2+（2t）2， 若点F在DE的垂直平分线上， 则FE＝FD时，FE2＝FD2， ∴， t＝， ∴当t＝s时，点F在DE的垂直平分线上． 学科网（北京）股份有限公司 $