云南省昆明市云南师范大学附属中学2027届高三第五次学科体验数学试题

云南师大附中2027届高三数学第五次学科体验 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。 1.已知命题p:3x∈[1，+∞)，x2-x+2≥0，则命题p的否定为() A.x∈[1，+∞)，x2-x+220 B.x∈[l,+∞)，x2-x+2<0 C.xe(-∞，1)，x2-x+2≥0 D.x∈(-∞，)，x2-x+2<0 2.已知复数z=i(3-i),则z的虚部为() A.1 B.3 C.-i D.3i 3.已知向量a=(1,2),b=(2,m),若a⊥i,则a+=() A.√0 B.3 c.√7 D.5 4.有三个数：a=2,b=sinl,c=log23,大小顺序正确的是（) A.c>a>b B.a>c>b C.a>b>c D.b>a>c 5.已知直线4：(k-3)x+(4-k)y+1=0与直线4：2(k-3)x-2y+3=0.“k=3”是“4‖”的（) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三 角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第n层比第n-1层多n个球，则第100层球的个数为() A.4949 B.4950 C.5049 D.5050 ,已知双曲线C:二名=1(a>0,6>0),R,乃分别为其左、右焦点，过R且领斜角为60°的直线1与C在 第一象限的交点为P,线段PE上一点2满足PF2F=PgEF引，且Pg=22F引，则该双曲线的离心 率是() A.1+5 C.1+V5 D.2+V5 2 B.1+5 2 8.在aABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b, c cosA'cos B'cosC 成等差数列，则smA cos Bcos C 的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是() A.若事件C、D满足P(C),P(D)e(O,),且P(DC)=P(D),则C、D相互独立 试卷第1页（共4页） B.数据2、3、4、6、7、8、9、10、11、12、14、16的第75百分位数为11 C.变量y关于变量x的经验回归方程为y=3x+2,则样本点(2,7)的残差为1 D.回归分析中，决定系数R越大，说明残差平方和越小，回归方程的拟合效果越好 10.如图，正方体ABCD-AB,CD,的棱长为1，E是DD的中点，则() A.BC⊥BD B.三棱锥C-B,CE的体积为2 C.若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足DP=1,则动点P的轨迹的长度为兀 D.由B,C,E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为3y2+5 2 1.已知函数f()的定义域为R,尸(+()-f(x+)(-列=4，)=1,2x+引为奇函数， 则() A.f(0)=±2 B.f(x)为偶函数 C.f(3+)=f(3-x) 1倒-3 D. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.已知数列{an}是等比数列，若a1+a2=4,a2十4=12，则a+a6= 13.甲盒装有2个红球、4个白球，乙盒装有3个红球、3个白球掷一枚质地均匀的骰子，若向上的点数 为1或2，从甲盒中随机摸出2个球，否则从乙盒中随机摸出2个球则摸到2个白球的概率为 14.若函数f(x)=x+4x+ax(a∈R)的图象存在对称轴，则f(x)的最小值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过 程及演算步骤。 15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=2V3 sinxcosx+2sin2x-1, (I)求∫(x)的最小正周期及单调递增区间： (2)在△ABC中，f(A)=2,b=3,c=2,若∠A的平分线交BC于D,求AD的长 试卷第2页（共4页) 16.(本小题满分15分)如图，在长方体ABCD-4BCD中，AB=BC=2,A4=4,A2,B2,C2,D2分别为棱 BB,BC,CD,DD的中点. C B C B D (1)证明：A2,B2,C2,D2四点共面； (②)P为边CG上一点，若平面P4D,与平面ABCD所成夹角的余弦值为V5 ，求CP的 D 长度 17.（本小题满分15分)把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数1，-1，i,-i(1为虚数单位)的正 四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为a,第二次出现底面朝下的复数记为b. (1)计算i++i+…+202的值： (2)用A表示“ab=-1”这一事件，求事件A的概率P(): (3)设复数ab的实部为5，求5的分布列及数学期望. 试卷第3页（共4页） 18.（本小题满分17分)已知函数f(x)=x血(x-1)-x+21,其中1>0. (1)当1=1时，求函数f(x)在(2，f(2)处的切线方程： (2)已知f(x)有三个零点，分别为：，名，(：<：<)， ()求t的取值范围： (i)证明：为(：-1)(3-1)=2. 19.(本小题满分17分)现有一系列曲线Cn（n∈N),Cn的方程为x2+2y2=n2(n>0),从原点出发的射 线1：y=c(1>0,x之0)与曲线Cn交于点Pn,过Pn作曲线Cn的切线与曲线Cn1交于点An,Bn. (1)求曲线Cn的离心率： (2)记OAB的面积为Sn, (i)求数列{Sn}的通项公式： (i)求证： 1116 +…十 85,S,3 2. 试卷第4页（共4项） 《云南师大附中2027届高三数学第五次学科体验》参考答案 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D AD BCD 8.B【详解】由题知a 2b 由正弦定理得sim4,sinC_2sinB 即 cosA cosC cosB cos4 cosC cosB sin AcosC+cos Asin C sin(4+C) sin B 2sin B 因为Be(0,π)，sinB>0,所以 cosAcosC cosAcosC cosAcosC cosB cosB=2 cos AcosC,又cosB=-cos(A+C)=-cos AcosC+sin Asin C,所以 -cos AcosC+sin Asin C=2 cos AcosC,得tan AtanC=3,所以A,C最多有一个是钝角，所以 tan 0,tan C sinA=sin(BC=sin BcosC+cos BsinC=tan Btan C cosBcosC cosBcosC cosBcosC =-tan(4+C)+tanC=- tan 4+tan C 1-tan 4tan C +tanC=1 乞tamA+空tanC,由基本不等式得 +tnCx2 3 二tan Atan C=3,当且仅当 5如A=3anc 4 ,即tanA=3,tanC=l时等号成立，所以 tan Atan C=3 sinA 的最小值为3故选：B cosBcosC 11.BCD【详解】由f(x)+f(y)-f(x+y)f(x-y)=4,令x=y=0,得(0)+f2(0)-f(0)f(0)=4, 即f0=4,fo-业，由f2+引为商商数。可得/2x+引-2x+引即 x+引-+引，即--+列，所以函数f国关于点侵0对称，令x=2可得 f(2)=-f()=-1,令x=y=1,得f()+f()-f(2)f(0)=4,可得f(0)=2,故A错误：令x=0, 可得f(0)+f(y)-f(y)f(-y)=4,即f(y)-f(y)f(-y)=0,则fy)[fy)-f(-y]=0,所以yeR, f(y)=0或(y)-f(-y)=0,当f(y)≠0时，f(y)-f(-y)=0,当fy)=0时，用-y替换y得 f(-y)[f(-y)-fy]=0,所以f(-y)=0,解得f(-y)=0,满足fy)-f(-y)=0,所以y∈R, f(y)-f(-y)=0,即fy)=f(-y),则f(x)为偶函数，故B正确：由f(x)=f(-x),f(x)=-(x+3), 可得f(x)=-f(x+3),即f(x+3)=-∫(x+6),所以f(x)=f(x+6),则f(x)是以6为周期的周期函数， 则fx+3)=f(-x-3)=f(-x+3),故C正确：由f(0)=2,f()=1,f(2)=-1,f(-x)=-f(x+3),f() 为偶函数，是以6为周期的周期函数，可得∫(3)=-∫(0)=-2，(4)=-∫(-)=-∫()=-1， f(5)=-f(-2)=-f(2)=1,f(6)=f(0)=2,所以 /)=37×[/0+/a刨+/)+f4+/+/6]+/0+)+/创+/4=37x0-3=-3,故D正确 12.324 13.5 14.4【详解】设f(x)的对称轴为x=b,则f(2b-x)=f(),即 答案第1页（共4页） (2b-x)+42b-x)3+a(2b-x)=x+4x3+m,化简得(4b2-4bx+x2)2+4(4b2-4bx+x2)2b-x)+a(2b-x)=x+4x+a, (4b2-4bx+x2)(4b2-4bx+x2+8b-4x)+a(2b-x)=x+4x2+m, -(8b+8)x+(2462+24b)x2-(32b°+48b2+2ax+16b+32b°+2ab=0, 8b+8=0 故需满足 326+4862+2a=0，解得a=-8 24b2+24b=0 6故f倒=+4以-8x,令x+1=1,故x=1-, 16b+32b3+2ab=0 则f)=g(0)=(-1)°+4-1°-81-1)=-612+5=(-32-4，故当2=3时，即x=±5-1时， f(x)=g()取得最小值，最小值为-4.故答案为：-4 15.（1)函数/-=25nesx+2n3x-1=in2x-co2x=2n(2x-令，最小正周期7-受-x, 由-受+2版≤2x-名5受+2，keZ,解得-名+版≤x≤背+a,ke乙，即y的单调递增区间为 6 [+a+]eez …（6分) a)由0-2得2m24-引-2，即24-君引-1，因为A为BC的内角，故4E0小.则 24-音司管)因此24-管-受解得A=学因为D是A的角平分线，所以∠B0=C0 6 由面积关系Sac=.m+8.m,则有besin=c~ADsi血∠BAD+5b:AD.sin∠CMD, 2-2 .(13分) 16.(1)证明：连接B2C2,BD,AD2,因为A,B2,C2,D2分别为棱BB,BC,CD,DD,的中点， 所以B,A2I1DD2,且BA2=DD2,所以四边形B,ADD,为平行四边形，所以BD/1AD2,又 B2C2/1BD,所以B2C2/1A2D2,所以A2,B2,C2,D2四点共面..（7分) (2)如图，以C为原点，以CD,CB,CC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由 AB=BC=2,AA=4,A2,B2,C2,D2分别为棱BB,B,C1,CD,DD的中点，可得A(0,2,2),D2(2,0,2) C(0,0,0),C(0,0,4),设P(0,0,00≤1≤4)，则C℃=(0,0,4)，42D2=(2,-2,0),PA=(0,2,2-), 设平面P4D2的法向量为m=(x,y,z),则 4D2m=2x-2y=0 zm=2yt2-2=0可取m=h己，CG=0,09为平面 ABCD的法向量，又平面PAD,与平面ABCD所成夹角的余弦值为6，设平面P4P,与平面ABC所成夹 3 答案第2页（共4页） 8 角为8，则o0-a(.c同不+1* cC·m -2 3,解得1=1或3，所以CP长度为1或3.(15分) 4 (-2) 17.（1)因为+1=i,in*2=一1，i*3=-i,it4=1,所以+1+*2+n+3+nt4=0(n∈)， 因为2027=506×4+3，所以i+2++…+2027=506x0+i2025+i2026+2027=i+i2+i=-1…（4分） (2)所有的基本事件个数有4×4=16（个）， 包含的基本事件有1D、-)、G,)、,-0共4个，所以P(0=6=4…(8分 (3)由题意可知，随机变量5的可能取值为-1、0、1,5=-1所包含的基本事件有：(-1，)、0，)、(，)、 (-i,-),共4个5=0所包含的基本事件有：(L,)、()、(-1,i)、,-1)、4-)、（-1,1)、（-1,-)、(-i,-), 共8个，5=1所包含的基本事件有：)、(-1-、G,-)、(0,共4个，所以，PG=-》=4=, 1641 P(5=0)= 5的分布列为 16 5 -1 0 1 P 1-2 4 所以(5)=-1x4+0x2+1×40. 4 4 …（15分)） 18)当1=1时，（倒=油x-少x+2,所以f2)=0,则f()-n(x-+所以曲线y= 在点2，f2)处的切线斜率了2)=h1+2=l,又切点为(2,0)，所以所求切线方程为y=x-2（4分) (2)(①函数f()的定义域为(，+)，由f()=xh(-)-x+21=0,得n(x-1)+24-4=0. 令间=-小兰，微题意，则脂黄因有3个得点g内日兰号，方限 x2-2r+21=0,△=412-81.当△≤0，即0<1≤2时，g(x)≥0，函数g(x)在(1，+∞)上单调递增，g(x)最 多一个零点，不符合题意：当△>0，即1>2时，方程x2-2x+21=0的两个根为a=1-V2-2, b=1+vP-21.又P-21=√-21>-2}=1-2，则1-P-2i<2,又a-1=u-1)-V-1'-1>0, 则1<a<2<b.当1<x<a,x>b时，g'(x)>0:当a<x<b时，g(x)<0,所以函数g(x)在(l,a),(b,+o) 上单调递增，在(a,b)上单调递减，则g(回>g(2)>8(o),面g2)-h(2-)+4-0,因比ga)>0, g(b)<0,又当x→1+时，g(x)→-0，当x→+∞时，g(x)→+oo,则函数g(x)在(l,a),(a,b),(6,+∞) 各有一个零点，故函数g(x)有3个零点，即函数f(x)有3个零点综上，1>2…(10分) 答案第3页（共4页) (i)由(i)得，1<x<2,为=2，为>2. f小高e是a =hl+要-04-2x=0,a8t-o,顶tk-0所e+-0 可也是函数8因的一个零点，又1+>2，函数g(倒只有3个零点，所以名=1+ 则1+ 所以56--=24-+小24-小=2，因宽--0=2㎡分 x2.y2 19.1D由曲线C,的方程为+2y=a>0),即京+=1(a>0), 所以指线C的离心率为层-号-号 [d2=2 所以 …(4分） (2)(i)由于1>0，故直线A,Bn的斜率一定存在，设直线A,Bn的方程为y=kx+mn,联立 [y=kx+m x2+2y2=n2' 消去y可得（1+2k)x2+4k,m,x+2m-n2=0,由于直线A,Bn与曲线Cn相切，故 △=(4kmn}-41+2)(2m-m2)=0,化简得2m=n2(1+2),联立 y=kx+m 2+2y2=(a+,消去y可得 △，=(4k,m,}-40+2k)[2m-(n+1]=41+2k)00+2n)>0 +2)x+4k,mx+2m-n+1=0,所以*号 ，所以 2-a+y 1+2k日 4B-+及+n}-4=+店 4km。 4.2城-+=+E 8㎡2(+2)4㎡2(+2k)-(n+} 1+2k2 1+2k2 (（1+2k) 1+2K _2+8 V1+2k 2n+i,又点0到直线A,Bn的距离为 +店，所以。04，的面积为 5.-118.mltk 22小+2迟_22m+:a仙 1+k好V+2k好 1+g 2 (i) 1221 N2n+mN2nnm-i后n-1nn+ 2 园-点砖号 n-inn+n-可n-h S3 n 3 答案第4页（共4页）