精品解析：河南新乡市封丘县2025—2026学年第一学期九年级学科素养评估 数学(华东师大版)

2025—2026学年第一学期九年级学科素养评估 数学（华师版） 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列事件中，属于随机事件的是 （ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 煮熟的鸭子飞了 C. 全运会射击运动员射击一次命中靶心 D. 在标准大气压下，水的沸点是 2. 使代数式 有意义的x的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 3. 如图，是的直径，点，在上，点是的中点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 一元二次方程 的根的情况是 （ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 下列二次函数中，当时，y随x的增大而增大的是 （ ） A. B. C. D. 7. 已知m是一元二次方程 的一个根，则 的值为 （ ） A. 2021 B. 2023 C. 2027 D. 2029 8. 如图，在中，，若，则 （ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 9. 如图，将半径为4的沿折叠，与垂直的半径交折叠后的劣弧于点D，且，则折痕的长为 （ ） A. B. C. D. 10. 已知反比例函数 的图象与一次函数的图象如图所示，那么二次函数 的图象应为 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标是_____． 12. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点，，则菱形的周长为________． 13. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则_____________． 14. 如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 15. 如图，在中，D为的中点，E为的中点，连接，，，与相交于点O．有下列结论：①；②；③； ④．其中一定正确的有____________ ．（填序号） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： ； （2）解方程： ． 17. 从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，5，7，．将这四张牌背面朝上，洗匀． （1）从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是奇数的概率为__； （2）小明先从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，背面朝上，洗匀，然后小雪再从中随机抽出一张牌，记下牌面数字．请利用画树状图或列表的方法，求他们两次抽出的牌上的牌面数字之和是偶数的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知 的顶点都在网格点上，，，． （1）画出将向左平移4个单位长度后得到的； （2）以点O为位似中心，在第四象限画出放大到原来的2倍后得到的，并写出点的坐标． 19. 2026年1月1日至1月3日，开封铁塔景区推出了一系列精彩活动，此次活动不仅融合了传统文化与现代科技，而且营造了浓厚的节日氛围．某数学小组想要用无人机测量开封铁塔的高度，如图，先控制无人机从地面点C处出发，向右上方（与地面成 ）的方向匀速飞行到达空中点D处，再调整飞行方向，继续匀速飞行到达塔顶点A处附近（与点A的距离可忽略不计）．已知无人机的速度为，，且点A，B，C，D在同一平面内，请你帮他们求出开封铁塔的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 20. 如图，， （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 如图，为的直径，为上一点，点为 的中点，过点作，交的延长线于点． （1）求证: 是的切线； （2）若，的半径为，求的长． 22. 某水果批发商销售每箱进价为50元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于75元．市场调查发现，若每箱以60元的价格销售，平均每天销售100箱，价格每提高1元，平均每天少销售5箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为x元（）．（不考虑其他支出） （1）当每天的利润为1000元时，求x的值； （2）当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点，，与轴交于点C． （1）当时，的取值范围是______； （2）求二次函数的解析式； （3）在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期九年级学科素养评估 数学（华师版） 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列事件中，属于随机事件的是 （ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 煮熟的鸭子飞了 C. 全运会射击运动员射击一次命中靶心 D. 在标准大气压下，水的沸点是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据随机事件的定义判断即可． 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余一定发生，属于必然事件； B、煮熟的鸭子飞了是不可能出现的情况，属于不可能事件； C、全运会射击运动员射击一次命中靶心，结果可能命中也可能不命中，属于随机事件； D、在标准大气压下，水的沸点是是确定的自然规律，一定发生，属于必然事件； 故选：C． 2. 使代数式 有意义的x的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，要使给定代数式有意义，需同时满足二次根式被开方数非负和分式分母不为0的条件，据此确定x的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵代数式有意义 ∴ 解不等式，得 解不等式，得 ∴x的取值范围是且， 选项中只有5满足该范围， 故选：D． 3. 如图，是的直径，点，在上，点是的中点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理；连接，利用弧中点得到等弧，进而得到对应圆心角相等，再根据圆周角定理求解圆周角的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 4. 如图，在中，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．由题意得到，据此即可求出答案． 【详解】解：在中，， ∴ ，即 ∴ 故选：B． 5. 一元二次方程 的根的情况是 （ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 6. 下列二次函数中，当时，y随x的增大而增大的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数的开口方向与对称轴判断即可． 【详解】解：选项A：，，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，不符合要求； 选项B：，，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，不符合要求； 选项C：，，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，符合要求； 选项D：，，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，不符合要求； 故选：C． 7. 已知m是一元二次方程 的一个根，则 的值为 （ ） A. 2021 B. 2023 C. 2027 D. 2029 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，利用根的定义得到相关代数式的值，再通过整体代入法计算所求式子的值即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根 ∴ ∴ ∵ ． 故选：A． 8. 如图，在中，，若，则 （ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质． 根据平行四边形的性质得到，，证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方作答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9. 如图，将半径为4的沿折叠，与垂直的半径交折叠后的劣弧于点D，且，则折痕的长为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及折叠的性质，解决本题的关键是添加辅助线设出未知数，求出的长度． 设，即可得，根据折叠的性质可得，由此可求解x的值，根据垂直半径所在的直线可得，由垂径定理结合勾股定理求解即可． 【详解】解：延长交于点E，交于点F，如图， 设， ∵半径为4， ∴， ∵，即， 由折叠可得，， ∴，解得， ∴， ∵垂直半径所在的直线，即， 在中，， ∴． 故选：B ． 10. 已知反比例函数 的图象与一次函数的图象如图所示，那么二次函数 的图象应为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质. 根据反比例函数的图象的两个分支位于二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限，可知，，然后即可判断二次函数的图象开口方向和对称轴所在的位置，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：反比例函数的图象的两个分支位于二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴， 故选：D 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握的顶点坐标为是解题的关键． 根据二次函数的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点，，则菱形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据是的中位线，即可得到的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得解． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理的运用，关键是掌握：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分． 13. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则_____________． 【答案】b 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质、数轴，熟练掌握二次根式的性质是解答的关键． 先由数轴得到，，再根据二次根式的性质化简并代值求解即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴， ∴， 故答案为：b． 14. 如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：4． 15. 如图，在中，D为的中点，E为的中点，连接，，，与相交于点O．有下列结论：①；②；③； ④．其中一定正确的有____________ ．（填序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质等知识，熟练掌握相关性质是解答的关键． 先根据三角形的中位线性质得到，，可判断③；再根据相似三角形的判定与性质可判断①②；不能证明，进而可得答案． 【详解】解：∵在中，D为的中点，E为的中点， ∴，， ∵和不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵， ∴，，故①正确； ∴，即，故②正确； 现有条件不能证明，故④不正确， 综上，正确的是①②． 故答案为：①②． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算： ； （2）解方程： ． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握二次根式的性质以及解一元二次方程的方法是解答的关键． （1）先根据二次根式的性质和乘法运算法则计算，再加减运算即可求解； （2）利用公式法计算即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵， ∴， 所以， 即． 17. 从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，5，7，．将这四张牌背面朝上，洗匀． （1）从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是奇数的概率为__； （2）小明先从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，背面朝上，洗匀，然后小雪再从中随机抽出一张牌，记下牌面数字．请利用画树状图或列表的方法，求他们两次抽出的牌上的牌面数字之和是偶数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查随机事件的概率计算，涉及简单随机事件和有放回的两步随机试验的概率求解． （1）关键是明确总情况数和符合“牌面数字是奇数”的情况数，利用等可能事件的概率公式计算即可； （2）是有放回的重复抽取，需通过列表法列出所有等可能的结果，再根据“奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数”的规律，找出两次数字之和为偶数的结果数，最后代入概率公式计算． 【小问1详解】 解：从4张牌中随机抽取一张，共有4种等可能的结果，其中牌面数字为奇数的是3、5、7，共3种结果， ∴该事件的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：用列表法列出所有可能的抽取结果如下： 3 5 7 3 和为 和为 和为 和为 5 和为 和为 和为 和为 7 和为 和为 和为 和为 和为 和为 和为 和为 由表格可知，总共有种等可能的结果． ∵两次牌面数字之和为偶数的结果共有种， ∴两次抽出的牌上的牌面数字之和是偶数的概率为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知 的顶点都在网格点上，，，． （1）画出将向左平移4个单位长度后得到的； （2）以点O为位似中心，在第四象限画出放大到原来的2倍后得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 即为所求： （2）如图，即为所求．点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了画平移图形，画位似图形，写出平面直角坐标系中点的坐标． （1）根据平移方式作图即可； （2）根据要求画出位似图形，进而根据平面直角坐标系作答即可． 【小问1详解】 解：将向左平移4个单位长度后，，，． 【小问2详解】 略 19. 2026年1月1日至1月3日，开封铁塔景区推出了一系列精彩活动，此次活动不仅融合了传统文化与现代科技，而且营造了浓厚的节日氛围．某数学小组想要用无人机测量开封铁塔的高度，如图，先控制无人机从地面点C处出发，向右上方（与地面成 ）的方向匀速飞行到达空中点D处，再调整飞行方向，继续匀速飞行到达塔顶点A处附近（与点A的距离可忽略不计）．已知无人机的速度为，，且点A，B，C，D在同一平面内，请你帮他们求出开封铁塔的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】开封铁塔的高度约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键． 过点D作于点E，过点C作于点F．先证明四边形为矩形得到 ，再根据平行线的性质得到，则，进而利用锐角三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E，过点C作于点F． 由题意，得，． ， ∴四边形为矩形，． ． ． ， ． ． ． 答：开封铁塔的高度约为． 20. 如图，， （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． ， ； （2）9 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先得到，再根据相似三角形的判定可得结论； （2）证明得到，进而代值求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 21. 如图，为的直径，为上一点，点为 的中点，过点作，交的延长线于点． （1）求证: 是的切线； （2）若，的半径为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等弧所对的圆周角相等，得，通过角的关系证明，进而得到，即得证； （2）作，证出，得，的长，再由勾股定理求出，即为的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为点， 则． ， ． ， ． ． ， ． 的半径为10， ． ． ． ． 【点睛】本题主要考查等弧所对的圆周角相等，平行线的判定，切线的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 22. 某水果批发商销售每箱进价为50元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于75元．市场调查发现，若每箱以60元的价格销售，平均每天销售100箱，价格每提高1元，平均每天少销售5箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为x元（）．（不考虑其他支出） （1）当每天的利润为1000元时，求x的值； （2）当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）60或70 （2）当每箱苹果的销售单价定为65元时，平均每天的销售利润最大，最大利润是1125元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，以及二次函数最值的求解，解决本题的关键是根据题意表示出利润与销售单价x元的函数关系式． （1）先表示出每天的销售量，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）先表示出利润与销售单价x元的函数关系式，再由二次函数的性质求解最值即可． 【小问1详解】 解：设该水果批发商每箱苹果的销售单价为x元， 则每天的销售量为． 根据题意，得， 即， 解得． 答：x的值为60或70． 【小问2详解】 解：设平均每天的销售利润为w元． 根据题意，得 ． ， 当时，w取最大值1125． 答：当每箱苹果的销售单价定为65元时，平均每天的销售利润最大，最大利润是1125元． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点，，与轴交于点C． （1）当时，的取值范围是______； （2）求二次函数的解析式； （3）在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）或； （2）； （3）存在，点的坐标为和 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数解析式的求解、三角形面积的综合应用． （1）根据抛物线开口方向与轴交点，确定函数值小于0时的取值范围：开口向下的抛物线，函数值小于0的部分在轴交点的两侧； （2）利用交点式结合轴上的点求解析式，核心是利用已知点坐标建立方程确定二次函数的系数； （3）先计算的面积，再根据面积关系转化为点的纵坐标条件，结合抛物线的最值判断纵坐标的可能值，最后代入解析式求点的坐标，关键是将面积关系转化为点的坐标特征． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象与轴交于、，且开口向下， ∴当时，的取值范围是或； 故答案为：或． 【小问2详解】 解：∵二次函数图象与轴交于、， ∴设二次函数的交点式为， ∵函数图象与轴交于点， ∴将，代入得，解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的纵坐标为， ∴，解得， ∵二次函数，其最大值为， ∴不符合抛物线的取值范围，舍去； 当，解得， ∴点的坐标为和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $