2.6 有理数的混合运算 寒假巩固2025-2026学年浙教版数学七年级上册

浙教版（2024）七年级上册 2.6 有理数的混合运算 寒假巩固 【题型1】有理数四则混合运算 【典型例题】有下列各式：①－(－2)；②－|－2|；③－(－2)2；④－22。其中计算结果为负数的是(　　) A.①②③ B.②③④ C.②④ D.③④ 【举一反三1】计算×(－3)÷×3的结果是(　　) A.－3 B.1 C.9 D.27 【举一反三2】        ． 【举一反三3】计算：      ． 【举一反三4】计算：. 【举一反三5】计算： (1)－24－16×＋2÷； (2)(－48)×－1.85×6＋3.85×6。 【题型2】含乘方的有理数混合运算 【典型例题】计算42×2 026+48×2 026+62×2 026的结果为 A.2 026 B.20 260 C.202 600 D.2 026 000 【举一反三1】计算（    ） A.2 B. C.0.5 D. 【举一反三2】已知+|b+2|=0，则(a×b)2 026=　　　　.  【举一反三3】小红与小亮两位同学计算-32-6×的过程如图， 请判断他们的解法是否正确，并写出你的解答过程. 【题型3】新定义型运算 【典型例题】用“*”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定，如，则的值为（    ） A. B.8 C.4 D. 【举一反三1】现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝．如5*3＝2×5﹣3＝7，*1＝﹣2×1＝﹣，若x*3＝5，则有理数x的值为（　　） A.4 B.11 C.4或11 D.1或11 【举一反三2】现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（    ） A. B. C.7 D.13 【举一反三3】如果a，b是任意两个不等于零的有理数，定义新运算“⊕”：a⊕b＝，那么(－1)⊕(2⊕3)的值为 　。  对于任意有理数m，n定义一种新运算：m⊕n＝(n－m)－|m＋n|。 【举一反三4】(1)若a＝－6，b＝7，求a⊕b的值。 (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为－1，x，且A，B两点的距离是7，y是－[－(－5)]的相反数，求[x⊕y]⊕(－1)的值。 【举一反三5】计算： (1)(－1)2 025＋|－22＋4|－×(－24)； (2)÷×(－1)6－×48； (3) ×|3－(－3)2|－。 【题型4】有理数混合运算在程序流程图中的应用 【典型例题】按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A.0 B.7 C.14 D.49 【举一反三1】如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则输出y值为1．若输出的y值为4，那么输入的x的值为（　　） A.10 B.10或1 C.10或3 D.10或3或1 【举一反三2】如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是       ． 【举一反三3】按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为－2，则输出的值为　 　。  【举一反三4】如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入时．输出的结果是______； (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数； (3)你认为当输入______时，其输出结果是0． 【题型5】算“24”点 【典型例题】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数(每个数只能用一次)进行加减乘除运算，使其结果等于24.现有四个有理数：3，4，-6，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是 A.4×3-(-6)+10 B.4-(-6÷3×10) C.10-(-6×3)-4 D.(4-6+10)×3 【举一反三1】 “24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【举一反三2】 “算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A.1，6，8，7 B.1，2，3，4 C.4，4，10，10 D.6，3，3，8 【举一反三3】算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为        ． 【举一反三4】在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是             （写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 【举一反三5】有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【题型6】有理数混合运算的实际应用 【典型例题】已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．小红在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（    ） A.19元 B.20元 C.21元 D.23元 【举一反三1】对于不同的两个数a，b规定如下运算：a*b＝ab＋b，如2*3＝2×3＋3＝9。计算[(－4)*(－1)]*(＋2)的值为(　　) A.8 B.－2 C.－6 D.－1 【举一反三2】区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1~12，另一只手用五根手指表示1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是．若当其左手伸出两根手指，右手大拇指掐中第五指关节时，表示的十进制数字是（    ） A.7 B.25 C.21 D.29 我们知道写成小数形式即0.，反过来，无限循环小数0.写成分数形式即。一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式。以无限循环小数0.为例：设0.＝x，由0.＝0.777…可知，10x＝7.777…，所以10x－x＝7，解方程，得x＝，于是0.。 【举一反三3】运用上述方法，可求得0.写成分数形式为  　。 已知符号p表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：p＝－2，p＝3，p＝－，p……根据以上运算规律，计算2×p－p(－2)＝　 　。  【举一反三5】如图，在一个长8 cm、宽5 cm、高6 cm的长方体中，从顶面到底面取出一个底面半径是2 cm的圆柱，回答下列问题(结果保留π)。 (1)原长方体的体积是多少? (2)剩下部分的体积是多少? (3)剩下部分的表面积是多少? 浙教版（2024）七年级上册 2.6 有理数的混合运算 寒假巩固（参考答案） 【题型1】有理数四则混合运算 【典型例题】有下列各式：①－(－2)；②－|－2|；③－(－2)2；④－22。其中计算结果为负数的是(　　) A.①②③ B.②③④ C.②④ D.③④ 【答案】B 【举一反三1】计算×(－3)÷×3的结果是(　　) A.－3 B.1 C.9 D.27 【答案】C 【举一反三2】        ． 【答案】 【解析】， 故答案为：． 【举一反三3】计算：      ． 【答案】 【解析】原式， 故答案为：． 【举一反三4】计算：. 【答案】解：原式 ， ， ， ． 【举一反三5】计算： (1)－24－16×＋2÷； (2)(－48)×－1.85×6＋3.85×6。 【答案】解：（1）原式＝－16－16×＋2÷ ＝－16＋10＋2÷ ＝－6＋24＝18。 （2）原式＝(－48)×＋(－48)×＋(－48)×＋6×(－1.85＋3.85) ＝8＋3－36＋12＝－13。 【题型2】含乘方的有理数混合运算 【典型例题】计算42×2 026+48×2 026+62×2 026的结果为 A.2 026 B.20 260 C.202 600 D.2 026 000 【答案】C 【解析】原式=2 026×(42+48+62) =2 026×100 =202 600. 【举一反三1】计算（    ） A.2 B. C.0.5 D. 【答案】B 【解析】． 故选：B． 【举一反三2】已知+|b+2|=0，则(a×b)2 026=　　　　.  【答案】1 【解析】因为+|b+2|=0， 所以a-=0，b+2=0， 所以a=，b=-2， 所以(a×b)2 026==1. 【举一反三3】小红与小亮两位同学计算-32-6×的过程如图， 请判断他们的解法是否正确，并写出你的解答过程. 【答案】解　两人的解法均不正确.正确的解答过程如下： 原式=-9-6×+6×=-9-3+2=-10. 【题型3】新定义型运算 【典型例题】用“*”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定，如，则的值为（    ） A. B.8 C.4 D. 【答案】D 【解析】根据， 可得， 故选：D． 【举一反三1】现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝．如5*3＝2×5﹣3＝7，*1＝﹣2×1＝﹣，若x*3＝5，则有理数x的值为（　　） A.4 B.11 C.4或11 D.1或11 【答案】A 【解析】当x≥3，则x*3＝2x﹣3＝5，x＝4； 当x＜3，则x*3＝x﹣2×3＝5，x＝11，但11＞3，这与x＜3矛盾，所以此种情况舍去． ∴若x*3＝5，则有理数x的值为4， 故选：A． 【举一反三2】现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（    ） A. B. C.7 D.13 【答案】B 【解析】根据题意，得， 故选：B． 【举一反三3】如果a，b是任意两个不等于零的有理数，定义新运算“⊕”：a⊕b＝，那么(－1)⊕(2⊕3)的值为 　。  【答案】 【解析】 原式＝(－1)⊕＝(－1)⊕。 对于任意有理数m，n定义一种新运算：m⊕n＝(n－m)－|m＋n|。 【举一反三4】(1)若a＝－6，b＝7，求a⊕b的值。 (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为－1，x，且A，B两点的距离是7，y是－[－(－5)]的相反数，求[x⊕y]⊕(－1)的值。 【答案】解：(1)因为a＝－6，b＝7， 所以a⊕b＝(－6)⊕7＝[7－(－6)]－|－6＋7|＝13－1＝12， 即a⊕b＝12。 (2)因为点A，点B在数轴上表示的数分别为－1，x，且A，B两点的距离是7， 所以点B表示的数为－8或6， 所以x＝－8或6。 因为y是－[－(－5)]的相反数，所以y＝5。 ①当x＝－8时，x⊕y＝(－8)⊕5＝(5＋8)－|－8＋5|＝13－3＝10， 所以[x⊕y]⊕(－1)＝10⊕(－1)＝(－1－10)－|10＋(－1)|＝－11－9＝－20； ②当x＝6时，x⊕y＝6⊕5＝(5－6)－|6＋5|＝－1－11＝－12， 所以[x⊕y]⊕(－1)＝(－12)⊕(－1)＝(－1＋12)－|－12＋(－1)|＝11－13＝－2。 综上所述，[x⊕y]⊕(－1)＝－20或－2。 【举一反三5】计算： (1)(－1)2 025＋|－22＋4|－×(－24)； (2)÷×(－1)6－×48； (3) ×|3－(－3)2|－。 【答案】解：（1）原式＝－1＋0＋12－6＋3＝8。 （2）原式＝×16×1－ ＝1－(66＋64－132) ＝1－(－2)＝3。 （3）原式＝×|3－9|＋ ＝×6＋ ＝×6＋ ＝×6＋ ＝－11＋ ＝－10。 【题型4】有理数混合运算在程序流程图中的应用 【典型例题】按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A.0 B.7 C.14 D.49 【答案】D 【解析】输入的的值是， 则，返回继续运算， ，输出结果， 故选：D． 【举一反三1】如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则输出y值为1．若输出的y值为4，那么输入的x的值为（　　） A.10 B.10或1 C.10或3 D.10或3或1 【答案】B 【解析】∵开始输入，则输出y值为1 ∴， 解得， 令， 解得：， 令， ， 解得或（舍去） 综上所述，或． 故选：B. 【举一反三2】如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是       ． 【答案】 【解析】把代入可得：， 再把代入可得：， 所以y， 故答案为：． 【举一反三3】按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为－2，则输出的值为　 　。  【答案】7 【解析】 (－2)2×3－5＝7。 【举一反三4】如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入时．输出的结果是______； (2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数； (3)你认为当输入______时，其输出结果是0． 【答案】解：（1）根据题意得： 当小明输入2时，输出的结果是； 当小明输入6时，输出的结果是； 当小明输入时．输出的结果是； 故答案为：2；1；； （2）由图表知，不管输入正数、0或者负数，输出的结果都是非负数．所以输出的数应为非负数，不可能输出负数． 故答案为：负； （3）∵0的相反数及绝对值均为0，且， ∴输入0时，输出结果为0； ∵当输入的数大于4时要加上再重新输入，一直需要循环到小于4时， ∴只要输入的数是7的正整数倍数即可输出0， ∴应输入0或（n为自然数）． 故答案为：0或（n为自然数）. 【题型5】算“24”点 【典型例题】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数(每个数只能用一次)进行加减乘除运算，使其结果等于24.现有四个有理数：3，4，-6，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是 A.4×3-(-6)+10 B.4-(-6÷3×10) C.10-(-6×3)-4 D.(4-6+10)×3 【答案】A 【举一反三1】 “24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【答案】D 【解析】①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【举一反三2】 “算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A.1，6，8，7 B.1，2，3，4 C.4，4，10，10 D.6，3，3，8 【答案】A 【解析】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【举一反三3】算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为        ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】如等. 故答案为：（答案不唯一）. 【举一反三4】在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是             （写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】． 故答案为：（答案不唯一）． 【举一反三5】有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【答案】解：（1）答案不唯一，如 ； （2）①答案不唯一，如 ； ②答案不唯一，如 ； （3）答案不唯一，如 ． 【题型6】有理数混合运算的实际应用 【典型例题】已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．小红在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（    ） A.19元 B.20元 C.21元 D.23元 【答案】A 【解析】根据题意得：元， ∴小红在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费19元． 故选：A． 【举一反三1】对于不同的两个数a，b规定如下运算：a*b＝ab＋b，如2*3＝2×3＋3＝9。计算[(－4)*(－1)]*(＋2)的值为(　　) A.8 B.－2 C.－6 D.－1 【答案】A 【解析】 因为(－4)*(－1) ＝(－4)×(－1)＋(－1) ＝4－1＝3， 所以[(－4)*(－1)]*(＋2) ＝3*(＋2) ＝3×2＋2 ＝6＋2＝8。 【举一反三2】区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1~12，另一只手用五根手指表示1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是．若当其左手伸出两根手指，右手大拇指掐中第五指关节时，表示的十进制数字是（    ） A.7 B.25 C.21 D.29 【答案】D 【解析】由题意，得：当其左手伸出两根手指，右手大拇指掐中第五指关节时，表示的十进制数字是， 故选D． 我们知道写成小数形式即0.，反过来，无限循环小数0.写成分数形式即。一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式。以无限循环小数0.为例：设0.＝x，由0.＝0.777…可知，10x＝7.777…，所以10x－x＝7，解方程，得x＝，于是0.。 【举一反三3】运用上述方法，可求得0.写成分数形式为  　。 【答案】 【解析】设0.＝x， 即x＝0.636 363…， 则100x＝63.636 363…， 所以100x－x＝63， 解得x＝。 已知符号p表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：p＝－2，p＝3，p＝－，p……根据以上运算规律，计算2×p－p(－2)＝　 　。  【答案】－3 【解析】由题意，得2×p－p(－2) ＝2× ＝－ ＝－3。 【举一反三5】如图，在一个长8 cm、宽5 cm、高6 cm的长方体中，从顶面到底面取出一个底面半径是2 cm的圆柱，回答下列问题(结果保留π)。 (1)原长方体的体积是多少? (2)剩下部分的体积是多少? (3)剩下部分的表面积是多少? 【答案】解：(1)8×5×6＝240(cm3)， 所以原长方体的体积是240 cm3。 (2)8×5×6－π×22×6＝(240－24π)cm3， 所以剩下部分的体积是(240－24π)cm3。 (3)因为剩下部分的表面积与原来相比是增加了2π×2×6－2π×22＝16π(cm2)，所以剩下部分的表面积是2×8×5＋2×8×6＋2×5×6＋16π＝(236＋16π)cm2。 学科网（北京）股份有限公司 $