精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题

高一数学 (120分钟 150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则的子集的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 地震发生时会释放大量能量，这些能量是造成地震灾害的元凶．研究表明地震释放的能量E(单位:焦耳)的常用对数与震级M之间满足线性关系．若4级地震所释放的能量为焦耳，6级地震所释放的能量为焦耳，则5.5级地震所释放的能量约为（ ）(参考数据:) A. 焦耳 B. 焦耳 C. 焦耳 D. 焦耳 6. 函数 ，的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有且只有一个零点，则实数A的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，，下列结论正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. C. D. 或 11. 设函数，其中表示中的最大者，则下列结论正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数的最小值为2 C. 函数的最大值为4 D. 方程有4个根 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，且，则的最小值为___________． 13. 已知函数，则不等式的解集为___________． 14. 如图所示的是函数的部分图象，，则函数的单调递增区间是___________，其图象的对称轴方程为___________． 四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求． （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16. 在平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点． （1）求和的值; （2）若，化简并求的值． 17. 已知函数，若将的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到了新的图象，此图象对应的函数为奇函数． （1）求与函数的单调递增区间; （2）求当时，方程的根． 18. 物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． （1）求出与的解析式． （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 19. 已知为上的偶函数，为上的奇函数，且，其中． （1）求函数和的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，使成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 (120分钟 150分) 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则的子集的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，化简集合，再利用交集的定义求出即可. 【详解】依题意，， ，则， 所以的子集的个数为. 故选：A 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用抽象函数定义域性质求解. 【详解】由，得， 又，可得，所以函数的定义域为． 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解对数不等式和指数不等式，结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】解不等式可得， 解不等式可得， 由可推出，但不可推得， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简可得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为， 所以， 所以，故， 故. 故选：C. 5. 地震发生时会释放大量能量，这些能量是造成地震灾害的元凶．研究表明地震释放的能量E(单位:焦耳)的常用对数与震级M之间满足线性关系．若4级地震所释放的能量为焦耳，6级地震所释放的能量为焦耳，则5.5级地震所释放的能量约为（ ）(参考数据:) A. 焦耳 B. 焦耳 C. 焦耳 D. 焦耳 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用待定系数法求出方程，再把代入计算即可. 【详解】设， 则，解得， 所以，则， 当时，． 故选：B． 6. 函数 ，的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合余弦函数的性质逐一排除即可. 【详解】当， ， 所以该函数是奇函数，图象关于原点对称，排除AD. 当时，，可以排除C. 故选：B 7. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性、单调性解不等式可得答案. 【详解】因为，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数， 因为在定义域上单调递减， 所以在定义域上单调递减， 则不等式，即， 则，解得，即实数的取值范围是． 故选：C. 8. 已知函数有且只有一个零点，则实数A的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式形式判断函数的对称性，结合函数零点的定义进行求解即可. 【详解】因为， ， 所以， 因此该函数关于直线对称， 又因为该函数有且只有一个零点， 所以. 故选：B 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，可举例判断，当时，；对于B，若，则即可判断；对于CD，通过作差比较即可判断． 【详解】选项A中，a，b的符号不确定，例如：当时，，故A不正确； 选项B中，若，则，故B不正确； 选项C中，若，则，故C正确； 选项D中，， ，， 即，即，故D正确． 故选：CD． 10. 已知，，下列结论正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. C. D. 或 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，θ为第三象限角，则是第二或第四象限角，且利用同角三角函数的基本关系求解. 【详解】由条件可知，，则θ为第三象限角， 即， 则，故选项A错误； 因为θ为第三象限角，则， ，所以，故选项B正确； 因为，所以，故选项C错误； ，联立方程， 解得或 则或，故选项D正确． 故选：BD． 11. 设函数，其中表示中的最大者，则下列结论正确的是（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数的最小值为2 C. 函数的最大值为4 D. 方程有4个根 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出的图象，由图象及偶函数的定义及性质可一一判断. 【详解】由，在同一坐标系作出,和的图象， 如图所示， 由当时，令可求得； 当时，令，可求得. 由题意可知，其图象是图中实线部分． 对于选项A，由图可知函数的图象关于轴对称，是偶函数，故A正确； 对于选项B，C，由题可知，函数有最小值2，无最大值，故C错误，B正确； 对于选项D，结合图象，显然有4个根，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，，且， 则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 13. 已知函数，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】令，则不等式可化为，求出，再根据指数函数单调性解出即可求出答案. 【详解】因为，， 所以 令，则， 即，解得或， 则或，解得或， 则不等式的解集为. 故答案为：. 14. 如图所示的是函数的部分图象，，则函数的单调递增区间是___________，其图象的对称轴方程为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据周期求的值，再将点代入求，可得，令和，可得单调区间和对称轴. 【详解】由题图可知，，则，， 又因为过点，则， 则，又，则，所以， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是． 令，得， 故函数的图象的对称轴方程为． 故答案为：； 四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求． （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，求出集合，再求并集即可； （2）根据题意可知集合A是集合B的真子集，再分、、三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：因为，所以． 因为， 所以． 【小问2详解】 解：由（１）知． 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合A是集合B的真子集， 当时，，此时集合A不是集合B的真子集，不符合题意； 当时，，此时集合A不是集合B的真子集，不符合题意； 当时，， 又集合A是集合B的真子集，所以， 综上，实数a的取值范围为． 16. 在平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点． （1）求和的值; （2）若，化简并求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数定义得到正弦和正切值； （2）利用诱导公式和同角三角函数关系化简得到，代入求值. 【小问1详解】 ∵角α的终边经过点， (其中O为坐标原点)，. 【小问2详解】 . 17. 已知函数，若将的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到了新的图象，此图象对应的函数为奇函数． （1）求与函数的单调递增区间; （2）求当时，方程的根． 【答案】（1）2， （2） 【解析】 【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数图象的变换规律求得的解析式，根据为奇函数求得的值，进而求得的单调递增区间； (2)先解关于的二次方程，并根据的值域舍去增根，再求解符合条件的的值. 【小问1详解】 =， 函数． 因为为奇函数，所以，解得． 因为，所以，， 要求函数的单调递增区间，只需满足条件，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，解得或1， 当时，，这时不成立， 当时，， 因为，所以， 所以，所以， 所以方程的根为． 18. 物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． （1）求出与的解析式． （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】（1），. （2）仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【解析】 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【小问1详解】 由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 19. 已知为上的偶函数，为上的奇函数，且，其中． （1）求函数和的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若，，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性得到方程组，求出两函数解析式； （2）根据函数奇偶性和单调性得到不等式，求出答案； （3）根据函数单调性和恒成立，存在性问题得到不等式，求出参数的取值范围 【小问1详解】 由题意知，则， 因为为上的偶函数，为上的奇函数， 所以，联立， 解得，． 【小问2详解】 函数为增函数，函数为减函数， 所以函数为增函数， 因为为奇函数，， 故在上恒成立， 则不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 设， 因为，，使成立， 则， 因为函数为增函数， 则当时，， 函数在上的最小值记为， 则， 令，函数为增函数， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 则， 由得，即，解得， 因为，则， 由得， 即，解得 因为，所以， 则； 当时，函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以， 又，， 则当时，恒成立． 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $