精品解析：山东济宁市2025-2026学年高二第一学期质量检测数学试题

2025—2026学年度第一学期质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名，考生号，座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名，考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案必须使用2B铅笔《按填涂样例》正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整､笔迹清晰． 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导函数直接计算得解. 【详解】由题可得，所以. 故选：B 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列基本量计算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则，即所以，所以， 故选：B 3. 将一颗质地均匀的正方体骰子，先后抛掷两次，将落地时面朝上的点数分别记为，则的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】连续抛两次骰子样本总量为， 由点数均为正整数，可得 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，不符合题意舍去， 所以满足题设条件的样本点有， 即的概率， 故选：C. 4. 已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由抛物线经过的点求出p，再由抛物线定义即可直接计算得解. 【详解】由题可得， 所以. 故选：A 5. 在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算可得结果. 【详解】如图所示： . 故选：C. 6. 已知圆，圆，则它们公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先要将两圆的方程化为标准方程，然后求出两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差作比较，根据比较结果来确定两圆的位置关系，进而得出公切线的条数. 【详解】将，化为标准方程得到； 则圆心，半径； 将，化为标准方程得到； 则圆心，半径； 圆心距， 因为， 所以两圆内切，公切线有1 条. 故选：A. 7. 已知直线，直线相交于点，则的最大值为（ ） A. B. C. 8 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】先由题设求出两条直线垂直及其所过的定点，进而求出点P的轨迹为圆，再将转化为圆上点到原点距离的平方即可分析求解. 【详解】因为，所以， 又直线：，则过定点， 直线：，则过定点， 因为且交于，所以， 所以点P的轨迹是圆心为AB中点、半径为的圆， 所以点的轨迹方程为， 表示该圆上的点到原点的距离的平方， 又圆上点到原点的最大距离为， 所以最大值为. 故选：D 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，由，得到， 在直角三角形中，可得，得到，再由双曲线的定义，解得，利用双曲线的离心率的定义，即可求解. 【详解】设切点为N，连接ON，作作，垂足为A， 由，且为的中位线，可得， 即有， 在直角三角形中，可得，即有， 由双曲线的定义可得，可得， 所以，所以，故选A. 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分 9. 记数列的前项和为，若，且数列是等比数列，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设的公比为q，先求出等比数列的通项公式，得到，再利用 与的关系得到即可逐项求解. 【详解】因为，所以， 设的公比为q，则， 即，解得 所以， 即，得到，选项A正确； ， 由，选项B错误； 当 时，， 当时，也满足上式，故，选项C错误； ，选项D正确； 故选：AD. 10. 已知曲线的两个焦点分别为，点为曲线上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，曲线长轴长为4 B. 当时，若曲线的渐近线为，则曲线的焦距为 C. 当时，使为直角三角形的点有6个 D. 当时，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据椭圆方程的特点即可判断；对B，根据双曲线渐近线方程公式即可判断；对C，分直角顶点讨论即可判断；对D，根据双曲线定义即可判断. 【详解】当时，曲线表示椭圆， 若，焦点在x轴上，长轴长； 若，焦点在y轴上，长轴长，选项A错误； 当时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线：，渐近线为， 已知渐近线为，所以，所以， 此时，焦距为，选项B正确； 当时，曲线C为椭圆， 焦点， 直角在或：过​作x轴垂线，各交椭圆于2点，共4个点； 直角在P：以为直径作圆，与椭圆方程联立解得，共2个点， 所以使为直角三角形的点有6个，选项C正确； 当时，曲线C为双曲线：， 由双曲线的定义得到， 根据对称性不妨假设左焦点为，右焦点为， 因为右支上的点到左焦点的最小距离为，故P在左支， 所以，所以，选项D正确； 故选：BCD. 11. 已知正方体的棱长为1，点为正方体表面上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若点在上，则四面体的体积为定值 B. 在面（含边界）内，存在点使得 C. 若点在面（含边界）内，且满足的面积为，则点的轨迹为椭圆的一部分 D. 若点在面（含边界）内，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先根据线面平行的性质求出点到平面的距离与点到平面的距离相等，再通过建立空间直角坐标系求点到面的距离，进而求出四面体的体积；对于B，利用向量垂直的性质判断；对于C，根据三角形面积公式和椭圆的定义判断；对于D，根据线面夹角的向量求法进行计算. 【详解】对于A，因为平面，平面， 所以平面， 因为点在上，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等， 如图以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以平面的法向量为， 所以到平面的距离为 又为边长为的等边三角形，所以， 所以四面体的体积为，故A正确； 对于B，根据A可知设， 所以， 若，则，即，解得， 不满足， 所以在面（含边界）内，不存在点使得，故B错误； 对于C， 设点到的距离为，则，又， 所以，所以点到的距离为， 设，， 所以， 即， 所以点的轨迹为椭圆的一部分，故C正确； 对于D，设， 则， 设平面的法向量为，则， 解得，令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确； 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 假设，且与相互独立，则__________． 【答案】0.7## 【解析】 【分析】根据条件结合独立事件定义求，利用和事件的概率公式即可求出结论. 【详解】因为与相互独立，所以， 所以， 故答案为：0.7 13. 曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由两直线平行斜率相等得到方程，解得即可. 【详解】因为，所以，则， 直线的斜率为， 依题意可得，解得. 故答案为： 14. 数学课上，小明同学给出了一种用数字1，2生成新数列的方法：每次都在相邻的两数之间插入一个数，若相邻两数的和为奇数，则插入数字1；若相邻两数的和为偶数，则插入数字2．即第一次生成数列；第二次生成数列；第三次生成数列；如此继续下去，记第次生成数列的项数为，第次生成数列的所有项的和为，则__________，__________． 【答案】 ①. 2026 ②. 【解析】 【分析】第一空，给出第四次生成数列为：，得，，且，即可求解；第二空，由当为奇数时，，当为偶数时，，得当且为奇数时，得，而，则数列为等比数列，进行求解即可． 【详解】第一空；由题可得， 则第四次生成数列为：， 得，， 得， 所以， 则数列是首项为、公比为2的等比数列， 所以，即， 得 得． 第二空：由题可得, , , , , 依次类推， 当为奇数时，，当为偶数时，， 则当且为奇数时，， 令，得， 得，得， 得，而， 则当为奇数时，数列为等比数列，且首项为，公比为4， 由于为奇数，则，得， 当为偶数时，， 故， 故答案为：2026， 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）直线与圆相交于两点，且，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）方法1：设圆的标准方程为，根据题意建立方程组解出即可；方法2：先求线段的垂直平分线的方程，联立两条直线方程解出圆心坐标，然后计算圆的半径即可； （2）利用点到直线距离公式，结合圆中弦长的几何法求解公式即可. 【小问1详解】 方法1：设所求方程，则 ，解得， 所以圆的方程是． 方法2：由，则线段的中点为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即． 联立，解得， 所以圆心，圆的半径， 所以圆的方程是． 【小问2详解】 圆心到直线的距离， 所以， 解得或． 16. 在数列中，，，记． （1）证明：为等差数列，并求的通项公式； （2）设为的前项和，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，两边同除，即可得到，结合等差数列的定义即可证明，求出的通项公式，即可求出的通项公式； （2）首先求出，即可得到，利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以，则， 又，即， 所以数列是首项，公差为的等差数列． 所以，即， 所以，即数列的通项公式为． 【小问2详解】 因为，所以， 所以 所以 . 17. “石头､剪刀､布”是群众喜闻乐见的一种猜拳游戏，每局比赛的游戏规则是：双方同时出拳一次，若手势不同，则“石头”胜“剪刀”､“剪刀”胜“布”､“布”胜“石头”；若手势相同，则为平局．假设每局比赛中，每人出各种手势的可能性相同． （1）若甲､乙两人进行一局比赛，求甲获胜的概率； （2）若甲､乙两人进行三局比赛，假设每局比赛相互独立，求甲获胜局数多于乙获胜局数的概率． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用列举法求古典概型的概率，即可得； （2）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲获胜局数多于乙获胜局数的概率. 【小问1详解】 用分别表示甲､乙两人出拳手势，则可以用表示一局比赛的结果， 以分别表示出拳手势为石头､剪刀､布， 则甲､乙两人进行一局比赛的结果包含的基本事件有：共9种， 记事件“甲､乙进行一局比赛甲获胜”，则包含基本事件有共3种， 所以，即甲获胜的概率为； 【小问2详解】 记事件“甲､乙两人进行三局比赛，甲获胜局数多于乙获胜局数”， 则包含甲胜三局，甲胜两局负一局，甲胜两局平一局，甲胜一局平两局四种情况， 由（1）可知，一局比赛甲获胜概率为，同理乙获胜概率为，平局概率为， 所以，甲胜三局的概率， 甲胜两局负一局的概率， 甲胜两局平一局的概率， 甲胜一局平两局的概率， 所以，即甲获胜局数多于乙获胜局数的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中，为的中点，为上的动点． （1）求证：平面； （2）当为的中点时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）当到平面的距离为时，与平面的交点为，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，向量法证明，，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）求出两个平面的法向量，再利用向量的夹角公式求二面角的余弦值； （3）设先根据点到平面的距离求出参数t，确定平面的法向量，再利用线面交点的性质求出交点坐标，最后计算线段长度. 【小问1详解】 由已知，以 D原点，DA、DC、DP 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， 各点坐标为：, 向量, ，所以， ，所以， 因为，且平面， 所以平面. 【小问2详解】 当 F 为 PC 中点时，， 则， 设平面的法向量为， 则，令 ，得到， 由（1）知平面， 所以取平面的法向量； 设平面与平面夹角为 ， 则. 【小问3详解】 因为为上的动点，所以设， 所以，， 平面的法向量为， 则，令，则. 因为到平面的距离为， 所以， 化简得到，解得或（舍去）， 所以，， 设 ，令 ， 则 ，所以， 即， 所以，即， 化简得到，所以， 所以. 19. 椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，为椭圆的右焦点，且． ①证明：直线过定点； ②设点关于原点的对称点为，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为．证明：为定值． 【答案】（1） （2）①证明见解析 ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率和椭圆性质建立关于的方程求解即可； （2）①直线的方程为．联立直线和椭圆方程得，求解，，进而结合韦达定理化简求解即可； ②连接，由椭圆的对称性可得为的重心，进而求得，即得，再求解即可. 【小问1详解】 依题意：因，所以， 因为，所以， 则， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）当直线的斜率不存在时，，此时直线的方程为． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为． 由，消得， 由，得 所以 由（1）可知，， 则， 同理， 所以， 化简得， 代入（式得：，即， ，所以或． 当时，直线过定点，与直线斜率不存在时为相矛盾，不合题意． 当时，直线过定点，满足，符合题意． 所以，直线过定点； （ii）连接，由椭圆的对称性，为的中点， 因为， 所以为的重心， 所以为的中点，即， 所以， 由， 所以． 所以为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名，考生号，座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名，考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上． 2．选择题答案必须使用2B铅笔《按填涂样例》正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整､笔迹清晰． 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 等差数列中，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 3. 将一颗质地均匀的正方体骰子，先后抛掷两次，将落地时面朝上的点数分别记为，则的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（ ） A. B. C D. 6. 已知圆，圆，则它们公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知直线，直线相交于点，则的最大值为（ ） A. B. C. 8 D. 18 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（　　） A. B. 2 C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分 9. 记数列前项和为，若，且数列是等比数列，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线的两个焦点分别为，点为曲线上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当时，曲线的长轴长为4 B. 当时，若曲线的渐近线为，则曲线的焦距为 C. 当时，使为直角三角形的点有6个 D 当时，若，则 11. 已知正方体的棱长为1，点为正方体表面上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若点在上，则四面体的体积为定值 B. 在面（含边界）内，存在点使得 C. 若点在面（含边界）内，且满足的面积为，则点的轨迹为椭圆的一部分 D. 若点在面（含边界）内，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 假设，且与相互独立，则__________． 13. 曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 14. 数学课上，小明同学给出了一种用数字1，2生成新数列的方法：每次都在相邻的两数之间插入一个数，若相邻两数的和为奇数，则插入数字1；若相邻两数的和为偶数，则插入数字2．即第一次生成数列；第二次生成数列；第三次生成数列；如此继续下去，记第次生成数列的项数为，第次生成数列的所有项的和为，则__________，__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）直线与圆相交于两点，且，求的值． 16. 在数列中，，，记． （1）证明：为等差数列，并求的通项公式； （2）设为的前项和，求数列的前项和． 17. “石头､剪刀､布”是群众喜闻乐见的一种猜拳游戏，每局比赛的游戏规则是：双方同时出拳一次，若手势不同，则“石头”胜“剪刀”､“剪刀”胜“布”､“布”胜“石头”；若手势相同，则为平局．假设每局比赛中，每人出各种手势的可能性相同． （1）若甲､乙两人进行一局比赛，求甲获胜概率； （2）若甲､乙两人进行三局比赛，假设每局比赛相互独立，求甲获胜局数多于乙获胜局数的概率． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中，为的中点，为上的动点． （1）求证：平面； （2）当为的中点时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）当到平面的距离为时，与平面的交点为，求的长． 19. 椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆交于两点，为椭圆的右焦点，且． ①证明：直线过定点； ②设点关于原点的对称点为，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为．证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $