精品解析：江西上饶市铅山县2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试题

2025-2026学年第一学期期末考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 3. 现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 或 6. 二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（　　） A. B. 若两点都在抛物线的图像上，则 C. D. 若且，则 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 点关于坐标原点对称点坐标为___________． 8. 若是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 10. 如图，正方形的边长为6，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为___________． 11. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 12. 如图，在中，，，以为直径的半圆，圆心为点，为半圆上一点，连接，，若为等腰三角形，则的度数为___________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1）； （2） 14. 如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． （1）直接写出的长为___________； （2）若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 15. 一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外无其他差别，小明做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，获得数据如下表所示： 摸球的次数 50 100 200 500 1000 1500 摸到黑球的次数 22 42 78 199 399 601 摸到黑球的频率 0.440 0.420 0.390 0.398 0.399 0.401 （1）估计摸一次球能摸到黑球的概率是___________（精确到0.1），袋中黑球的个数约为___________个； （2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，求小明后来放进了多少个黑球？ 16. 已知抛物线与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点． （1）直接写出：点的坐标为___________，点的坐标为___________． （2）若点恰好落在抛物线上，求的值． 17. 如图，在的正方形网格中，内接于，且点，均在格点上，请使用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中找到一个格点（点不与点重合），作出，使； （2）在图2中作出的直径，使． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为___________． 19. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 20. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在课余时间制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是______； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若的边恰好为的直径，延长至点，使得，连接．求证：直线为的切线． 22. （1）已知，如图1，在等边中，点在的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，过点作，垂足为． ①求证：； ②求证： （2）拓展：如图2，在中，，，点在的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，过点作，垂足为，猜想：线段之间的数量关系为___________．（请直接写出结论，不需要证明） 六、（本大题12分） 23. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示： … 0 2 … … 0 12 … （1）求二次函数的解析式并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （2）求当时，此二次函数的最大值与最小值的差； （3）将二次函数图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值差为15，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形，轴对称图形的概念是关键．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 【详解】解：A．选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C．选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．选项图形是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，通过计算判别式的值，根据与0的大小关系判断根的情况即可． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 故选：C． 3. 现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率等知识点，用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解决此题的关键． 【详解】解：将所有结果列表格如下： 声母 韵母 a e i d da de di t ta te ti l la le li 所有可能的组合为9种，符合条件的情况仅1种，故两张卡片刚好拼成“德”字读音de的概率为． 故选：A． 4. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，从而得出答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为． 5. 分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，，求解，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案. 【详解】解：如图，连接，， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故选：D 6. 二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（　　） A. B. 若两点都在抛物线的图像上，则 C. D. 若且，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据图象判断系数之间的关系，从图象获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，故选项A，C正确，不符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若两点都在抛物线的图象上， ∵， ∴，故选项B错误，符合题意； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴直线对称， ∴，故选项D正确；不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 点关于坐标原点对称点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标都变为其相反数，掌握这一特征是解题的关键，根据这一特征求解即可． 【详解】点关于坐标原点对称，其横坐标取相反数为，纵坐标取相反数为， 因此对称点的坐标为． 故答案为：． 8. 若是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握当一元二次方程的两根为和，则是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）来求解两根之和． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ， 故答案为：． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，则，由旋转的性质得出，，则为等腰直角三角形，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，则， ， ∵点的坐标为， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ∴点对应点的坐标为， 故答案为：． 10. 如图，正方形的边长为6，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，能将阴影部分的面积进行巧妙的转化是解题的关键． 根据所给图形，先将阴影部分的面积进行转化，再进行计算即可． 【详解】解：如图所示， ∵正方形的边长为6， ∴正方形的面积为， ∴的面积为． 又∵上方以为直径的半圆面积为：， ∴图中①②两部分的面积之和为， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 11. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 12. 如图，在中，，，以为直径的半圆，圆心为点，为半圆上一点，连接，，若为等腰三角形，则的度数为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及四点共圆的判定，关键是利用直径所对圆周角为直角得出、、、四点共圆，再分三种等腰三角形情况讨论，结合圆心角与圆周角的关系求解的度数． 【详解】解：∵，为直径， ∴点在以为直径的圆上，即、、、四点共圆，圆心为． ∵，， ∴， ∴． 分三种情况讨论为等腰三角形： ①当时，， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴． 综上，的度数为或或； 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ∴，． 14. 如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． （1）直接写出的长为___________； （2）若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 15. 一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外无其他差别，小明做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，获得数据如下表所示： 摸球的次数 50 100 200 500 1000 1500 摸到黑球的次数 22 42 78 199 399 601 摸到黑球的频率 0.440 0.420 0.390 0.398 0.399 0.401 （1）估计摸一次球能摸到黑球的概率是___________（精确到0.1），袋中黑球的个数约为___________个； （2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，求小明后来放进了多少个黑球？ 【答案】（1）0.4，20 （2）25个 【解析】 【分析】本题主要考查频率与概率的关系，概率公式的应用，解分式方程，读懂题意，能根据概率公式建立方程是做题的关键． （1）根据大量重复试验中事件发生的频率可近似看作事件发生的概率，即可解答； （2）设小明后来放进了个黑球，根据题意列出方程，再解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意和表格可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定到0.4左右，故摸到黑球的频率接近0.4， 估计摸一次球能摸到黑球的概率是0.4， 袋中黑球的个数约为（个）． 故答案为：0.4，20． 【小问2详解】 解：设小明后来放进了个黑球，则袋中球的总数为个，黑球的个数为个， 根据题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 小明后来放进了个黑球． 16. 已知抛物线与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点． （1）直接写出：点的坐标为___________，点的坐标为___________． （2）若点恰好落在抛物线上，求的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练运用相关知识是解答本题的关键； （1）令得，求解方程即可得解； （2）把代入解析式即可解答． 【小问1详解】 解：令，则， 解得或， ∵点在点的左侧， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， 整理得， 解得或． 17. 如图，在的正方形网格中，内接于，且点，均在格点上，请使用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中找到一个格点（点不与点重合），作出，使； （2）在图2中作出的直径，使． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，正方形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据圆周角定理，取圆上格点，连接，则； （2）取格点，连接并延长，交于点，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求 【小问2详解】 解：取格点，连接并延长，交于点，则即为所求，如图： 连接， 由网格可知，，， ∴四边形为正方形， ∴，即． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别是，，． （1）将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为___________． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （3）利用旋转变换的性质求解，连接交于一点，这点即为旋转中心，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，旋转中心的坐标为， 故答案为：． 19. 如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 20. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在课余时间制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是______； （2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出抽取两张卡片内容均为化学变化的结果，最后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意可列表格如下， A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 根据表格可知共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有和，2种， ∴抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若的边恰好为的直径，延长至点，使得，连接．求证：直线为的切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，首先结合三角形的内心定义可得，，进而结合角的和差关系以及三角形的外角性质进行角的运算即可推出，得到； （2）连接，利用相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，得到，进而推出，即，得证． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，连接． 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴直线是的切线． 【点睛】本题主要考查三角形内心的定义，外角的性质，等腰三角形的性质和判定，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，切线的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． 22. （1）已知，如图1，在等边中，点在的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，过点作，垂足为． ①求证：； ②求证： （2）拓展：如图2，在中，，，点在的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，过点作，垂足为，猜想：线段之间的数量关系为___________．（请直接写出结论，不需要证明） 【答案】（1）①见解析②见解析（2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键： （1）①旋转，推出，证明，即可得出结论；②全等，得到，进而得到，得到，进而得到，根据线段的和差关系即可得出结论； （2）证明，得到，求出，得到，进而得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：（1）①证明：∵等边， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴． 六、（本大题12分） 23. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示： … 0 2 … … 0 12 … （1）求二次函数的解析式并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； （2）求当时，此二次函数的最大值与最小值的差； （3）将二次函数图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值差为15，请求出的值． 【答案】（1）二次函数解析式为；图象见解析 （2）21 （3）1或6 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）利用待定系数法即可得二次函数解析式，再画出函数图象即可； （2）依据题意，结合（1），可得顶点坐标为，进而可以作图得解； （3）依据题意，由二次函数的图象向右平移n个单位长度后，则新函数为，故此时对称轴是直线，函数图象开口向上，然后分三种情形分别讨论计算，进而可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，， 把，，代入，得： ， 解得 ∴二次函数解析式为； ∴， ∴抛物线顶点坐标为， 结合表格中的数据，作图如下： 【小问2详解】 解：由图象知，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∴在时，当时有最小值，为0； 当时有最大值，为， ∴最大值与最小值的差为； 【小问3详解】 解：由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后， ∴新函数为． ∴此时对称轴是直线，函数图象开口向上． ①当时，即，在范围内随的增大而增大， 当时取最小值，为； 当时取最大值为； 差值为：， 解得：； ②当（即）时，最小值在对称轴，为； 最大值在或处， 当时，，； 当 时， 差值为：或 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； ③当（即）时，在范围内随的增大而减小， 当时取最大值，为； 当时取最小值为； 差值为：， 解得：； 综上，的值为1或6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $